组合数学之容斥原理

| A4 A5 | | A4 A6 | | A5 A6 | | A4 A5 A6 |
5334
12
例 n个不同的球分放m个不同的盒子里，每盒 不空，求分放总数f(n,m).
解：以X记所有无约束条件的放球方法
记Ai为第i盒空的放法全体，则
m
m
f (m, n) Ai | X | | Ai |
26
分析: 如果把第1天排队的同学按次序编 号为1,2,3,4,5. 我们所要求的排列为其 中不出现模式12, 23, 34, 45的全部排列. 31425是一个符合要求的排列, 而25341 不符合要求. 因为出现的34模式.
这个问题可以利用容斥原理来解决.
设Ai表示出现i(i+1)模式的全体排列, i=1,2,3,4. 符合要求的排列是这些模式 都不出现. 用Q5来表示符合要求的排列 总数.
k 0
2n k
（座位不编号）
n
T (n) 2 n! (1)k
2n
C(2n k, k)(n k)!
k 0
2n k
（座位编号）
15
证明：首先让女宾入座，每两个女宾之间 留下一个空位，其入座方法数为(n-1)!，然 后让男宾入座，其入座方法数记为Un，把 女宾依顺时针方向自1至n编号，第i号女宾 的丈夫编为第i号，为i号男宾；i号女宾的左 手空位编号为i号座位。令 A1：1号男宾坐在n号座位
●学两门外语的人数为|AB|, 只学一门 外语的人数为|AB|-|AB|, 没参加学习 的人数为|U|-|AB|.
3
在一些计数问题中, 经常遇到间接计算 一个集合中具有某种性质的元素个数 比起直接计算来得简单.
例: 计算1到700之间不能被7整除的整数 个数.
直接计算相当麻烦,间接计算非常容易. 先计算1到700之间能被7整除的整数个ຫໍສະໝຸດ i 1i 1| Ai1
Ai2 |
|Ai1 Ai2 Ai3 | (1)m | A1
Am |
mn m(m 1)n C(m, 2)(m 2)2 C(m,3)(m 3)n
m1
(1)m (m m)n (1)i C(m,i)(m i)n
i0
13
第二类Stirling数的展开式
第二类Stirling数：把 n个有区别的球放到k个 相同的盒子中, 要求无空盒, 其方案数为S(n,k).
Q5 | A1 A2 A3 A4 | 5!C(4,1) 4!C(4,2) 3!C(4,3) 2!C(4,4)1!
53.
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这个问题可推广到一般情形:
Qn | A1 A2 An | n!C(n 1,1) (n 1)! C(n 1,2) (n 2)! C(n 1,3) (n 3)! (1)n1C(n 1, n 1)1!
《组合数学》
第六讲
容斥原理
1
一. 引言
●容斥原理是组合数学中的一个重要 原理,它在计数问题中占有很重要地位.
●容斥原理所研究的问题是与若干有 限集的交、并或差有关的计数.
●在实际工作中, 有时要计算具有某种 性质的元素个数.
例: 某单位举办一个外语培训班, 开设 英语, 法语两门课.
2
●设U为该单位所有人集合, A,B分别为 学英语, 法语人的集合, 如图所示.
A1 A2
7! A1 A2 A1 A2 7!5!6!4! 4224
25
3. 相对禁位排列
在错排问题中,每个元素不许出现在原 来的位置, 这是一种绝对的禁位排列. 还有一类是相对禁位排列.
例6.3 有5个学生每天要排成一列去散步. 除第一个学生之外, 每个学生前面都有 一个学生. 每天都是同一个人在自己前 面走显得单调,第2天他们决定改变排队 次序, 使得每个同学前面的人与第1天 不同. 问有多少种不同的排队方式?
21
Dn A1 A2 An
n!C(n,1)(n 1)!C(n,2)(n 2)!
C(n,3)(n 3)! (1)nC(n, n)0!
n! n! n! n! (1)n n!
1! 2! 3!
n!
n!1 1 1 1 (1)n 1 .
1! 2! 3!
n!
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例 小王要为公司审阅7本书，于是他雇了7 个人来审阅它们。他希望每本书有两个审 阅者，于是在第一个星期，他给每人一本书 来审阅，接着在第二个星期开始重新分配。 一共有多少种方式可以完成这两次分配，使 得每本书有两个不同的审阅者？
| A || S | | A | 或 | A || S | | A |
其中A表示A在S中的补集或余集 .
5
●我们的目的并不仅仅是讨论这样 一个简单的原理, 而是讨论这个原 理的一个重要推广, 称之为容斥原 理,并且将它运用到若干问题上去, 其中包括： 错位排列、有限制的排列、禁
位排列和棋阵多项式等.
6
二. 容斥原理
DeMorgan定理: 设A, B为全集U的任意 两个子集, 则
(a) A B A B (b) A B A B
DeMorgan定理的推广: 设A1,A2,,An为 U的子集, 则
(a) A1 A2 An A1 A2 An (b) A1 A2 An A1 A2 An
2500,|
A4
A5
|
10000 4 5
500
|
A4
A6
|
10000 [4,6]
833,|
A4
A5
A6
|
10000 [4,5,6]
166
| A5 | 2000,| A6 | 1666,| A5 A6 | 333
| A4 A5 A6 | 10000 (| A4 | | A5 | | A6 |)
解 设A1, A2分别为出现模式ace和模式df 的排列的集合, 则有
|A1|=5! (☺=ace, A1为☺, b,d,f,g的排列); |A2|=6! (= df, A2为, a,b,c,e,g的排列);
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|A1A2|=4! ( A1A2为 ☺, , b, g的全部排列). 由容斥原理, 模式ace和模式df都不出现 的排列个数为:
解 满足要求的分配方式有
7!D7=(7!)2(1-1+(1/2!)-(1/3!)+…+(1/7!))
23
2. 有限制的排列
所谓有限制的排列, 顾名思义, 就是对 排列加上某种或某些限制.
例6.2 求字母a,b,c,d,e,f和g具有下列性质 的排列个数：在这些排列中, 模式ace 和df都不出现.
A2i-1：i号男宾坐在i-1号座位；i=2,3,…,n
A2i：i号男宾坐在i号座位；i=1,2,…,n
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2n
2n
Un Ai n! | Ai |
i 1
i 1
| Ai1
Ai2 |
|Ai1 Ai2 Ai3 | (1)2n | A1
A2n |
|Ai|=(n-1)!
Ai Ai1 A1 A2n ,i 1,,2n 1
则排列12n的所有错位排列组成集合:
A1 A2 An
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Aj=(n-1)!, j=1,2,3,,n. AiAj=(n-2)!, i,j=1,2,3,,n, 但ij. 对于任意整数k且1kn, 则有
| Ai1 Ai2 Aik | (n k )!
因为{1,2,3,,n}的k组合为C(n,k)个, 应用容斥原理得到:
则 f(n, k)=k!S(n, k)
所以
S(n, k) 1
k
(1)ki C(k, i)i n
k! i0
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*夫妻围坐问题：n对夫妻围坐在一圆桌边， 圆桌边有2n个座位，则满足男女相间，夫妻 不相邻的入座方法数为：
n
T (n) (n 1)! (1)k
2n
C(2n k, k)(n k)!
7
1. 两个集合的容斥原理
设A和B是分别具有性质P1和P2的元素 的集合, 则
AB A B AB
例6.1 求1到500之间能被5或7整除的正 整数个数.
解 设A为被5整除的整数集合, B为被7 整除的整数集合, 用[x]表示x的整数 部分, 则有
8
|
A
|
500 5
100,
|
B
|
500 7
BC ABC
3. n个集合上的容斥原理:
设A1,A2,,An是有限集合, 则有
n
n
A1 A2 An Ai
Ai Aj
i 1
i1 ji
n
Ai Aj Ak (1)n1 A1 A2 An
i1 ji k j
10
4. 容斥原理的余集形式
| A1 A2 An | N A1 A2 An
27
Q5 | A1 A2 A3 A4 |
5! | A1 | | A2 | | A3 | | A4 | | Ai Aj |
| Ai Aj Ak | | A1 A2 A3 A4 |
容易计算出:
|Ai|=4!, i=1,2,3,4. |A1A2|中排列含有模式123, 其中排列的 总数={123,4,5}排列总数. 所以,
31
| Ai Aj |
n pi p j
,i,
j 1,2,, k, i
j.
| Ai Aj Ah |
n ,1 i pi p j ph
j h k.
(n) |
A1
A2
Ak
|
n
n p1
n pk
n p1 p2
n pk1 pk
n p1 p2 pk
n1
1 p1
1
1 p2
1
1 pk
32
因此，如i1,i2,…,ik在园排列(1,2,…,2n,1)中若 有相邻者，则Ai1∩Ai2∩…∩Aik=Φ，否则
Ai1 Ai2 Aik (n k)!
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从(1,2,…,2n,1)中取k个，两两不相邻的取法 个数为
2n C(2n k,k) 2n k
所以
Un
n
(1)k
k 0
2n 2n
n
n
N Ai Ai Aj
i 1
i1 ji
n
Ai Aj Ak i1 ji k j
(1)n A1 A2 An
11
例求在1到10000的整数中不能被4,5,6整除的数的个数.
解：令Ai(i=4,5,6)表示1到10000的整数中能被i整 除的数的个数，则
|
A4
|
10000 4
5. 棋盘多项式*
(1) 棋盘布局问题:
k
C(2n
k, k)(n
k )!
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三. 容斥原理的应用实例
1. 错排问题
上一讲利用递归关系讨论了错排问题. 现在利用容斥原理再次讨论这个问题.
可以看出容斥原理解决这个问题更容 易, 而且利用容斥原理很容易理解错 排数列通项公式的组合意义.
我们再重申一下, 排列i1i2in是排列
12n的一个错排当且仅当i11, i22,
数=700/ 7=100, 所以1到700之间不能被 7整除的整数个数=700-100=600.
4
因此, 当直接求解受阻或无法达到目的 时, 应考虑间接求解方法. 所谓“曲径 通幽”, 说的就是这个道理.
上面举的间接计数的例子是利用了如 下原理：如果A是集合S的子集, 则A中 的元素个数等于S中的元素个数减去不 在A中的元素个数, 这个原理可写成
|A1A2| =(5-2)!=3! 类似有: |AiAi+1|=(5-2)=3!, i=2,3.
28
|AiAj| (j>i+1)中的排列包含有i(i+1), j(j+1), 这样总数等于这两个模式和其余
5-4=1个数的排列数目=3!
类似的分析可以得到:
|AiAj Ak|= (5-3)!=2!, |A1A2 A3A4|=(5-4)!=1.
71,
同时被5和7整除的整数个数
|
A
B
|
500 5 7
14.
故能被5或7整除的整数个数
| A B || A | | B | | A B |
100 71 14 157. 9
2. 三个集合上的容斥原理 设A, B, C为任意三个集合, 则有
ABC A B C AB AC
, inn.
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我们曾把12…n全部不同错排的数目
记为Dn. 当时得到的结论如下.
Dn
n!1
1 1!
1 2!
1 3!
1n
1 n!
可以用容斥原理证明:
设S={1,2,3,,n}, S0为S的所有n!个排列 的集合. 令Aj表示排列12n中使j位置上 的元素恰好是j的排列的集合, j=1,2,,n.
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4. 欧拉函数
欧拉函数(n)表示小于n且与n互素的 正整数的个数. 可利用容斥原理给出其 计算公式.
可设n可分解为不同的素数p1,p2,,pk之
积：
n
pa1 1
pa2 2
pak k
令Ai表示N={1,2, ,n}中能被pi整除的 数的集合, i=1,2,,k. 则|Ai|=n/pi, i=1,2,,k. 由于当ij 时pipj, 故