对数函数及其基本性质

对 数 函 数

（1）对数函数的定义：指数函数y a a a x =>≠()01且的反函数y x a =l o g x

∈+∞(,)0叫 做对数函数。其中x 是自变量，对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，不是对数函数，

而只能称其为对数型函数．

○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． （2）对数函数的图象：由于对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数，所以x y a log =的图象与x a y =的图象关于直线x y =对称因此，

我们只要画出和

x a y =的图象关于

x y =对称的曲线，就

可以得到x y a log =的图象，然后根据图象特征得出对数函数

的性质

01

1

A

1

1

（3）对三个对数函数y x y x

==l o g l o g 212

，，y x =lg 的图象的认识。

（4）对数函数的性质：:由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质

图象特征与函数性质

对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）： （1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是y x =l o g 2与y x =lg 在点（1,0）曲线是交叉的，即当x >0时，y x =l o g 2的图象在y x =lg 的图象上方；而01<；l o g .l g .2

0101<。 （2）y x

=l o g 2的图象与y x =log 12

的图象关于x 轴对称。 （3）通过y x

=l o g 2，y x =lg ，y x =log 12

三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如作y x =l o g 3的图象，它一定位于y x

=l o g 2和y x =lg 两个图象的中间，且过点（1,0），x >0时，在y x =lg

的上方，而位于y x =l o g 2的下方，01<

的示意图。

因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

（5）指数方程与对数方程

定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。

由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。 指数方程的题型与解法：

对数方程的题型与解法：

例题精讲：

例1：求下面函数的定义域： （1）2

64log x （2）x -4log 64

例2：比较下面每组数的大小。 （1）4.3log 64和5.8log 64 （2）8.1log 3.0和7.2log 3.0

（3）1.5log a 和9.5log a （)10(≠>a a 且）

8已知log a x ＝2，log b x ＝1，log c x ＝4(a ，b ，c ，x ＞0且≠1)，则log x (abc )＝( )

A.47

B.27

C.72

D.74

11．已知函数f (x )＝2log 1

2

x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义

域是( )

A ．[22，2]

B ．[－1,1]

C ．[12，2]

D ．(－∞，2

2

]∪[2，

＋∞)

13．当a >1时，在同一直角坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象只能是下图中的( )

14．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.

15．已知log 12b

2

c ，则( )

A ．2b >2a >2c

B ．2a >2b >2c

C ．2c >2b >2a

D ．2c >2a >2b

16．函数y ＝x

|x |

log 2|x |的大致图象是( )

17．函数y ＝log a (x ＋2)＋3(a ＞0且a ≠1)的图象过定点________． 18. 已知0a >，且1a ≠，函数x a y =与)x (log y a -=的图象只能是图中的（ ）

10．方程log 3(2x －1)＝1的解为x ＝________.

11．函数y ＝log 2x －2的定义域是( )

A ．(3，＋∞)

B ．[3，＋∞)

C ．(4，＋∞)

D ．[4，＋∞)

12．已知f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上递减，那么f (x )在(1，＋∞)上( )

A ．递增无最大值

B ．递减无最小值

C ．递增有最大值

D ．递减有最小值

13．函数y ＝log 1

3

(－x 2＋4x ＋12)的单调递减区间是________．

14．若log a 2<1，则实数a 的取值范围是( )

A ．(1,2)

B ．(0,1)∪(2，＋∞)

C ．(0,1)∪(1,2)

D ．(0，1

2

)