高中数学建模教学探究 活动

实
际
检验结果
合乎实际
实际结果
数学建模核心素养的教育价值
数学建模是高中数学的一条主线
函数
几何与代数
统计与概率
数学的应用(数学建模、数学探究) 数学文化
说明：数学探究是数学知识在数学内部的联系和应用； 数学建模是数学知识在数学外部的联系和应用。
三个基本概念
• 数学应用 • 数学建模 • 数学建模活动
新课程必修一中的“3.2 函数模型应用实例”这节课是 数学建模的入门课。这是一道生活中的建模实例，借助图 形计算器，综合分析对比一次函数、二次函数、指数函数、 对数函数、幂函数在实际生活中应用的优缺点，为以后的 数学建模打基础，使学生全面认识数学建模的全过程。从 实际问题出发，通过分析探究、交流合作、小组展示、总 结归纳、深化反思等数学活动引导学生建立完整的数学模 型解决实际问题，从而深化数学建模思想.
在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽 象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分 析 等数学学科核心素养。
通过高中数学课程的学习， 学 生 能 提高学习数学的兴 趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯 ， 发展自主学习的能力；树立敢于质疑、善于思考、严谨求 实的科学精神；不断提高实践能力，提高创新意识；认识 数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。
销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖
励，且奖金 y（单位：万元）随销售利润 x
（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数
不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%. 现有三个奖励模型：
y 0.25x, y 1.002x , y log7 x 1
其中哪个模型能符合公司的要求？
2 课中探究
应用；
在章节复习中出现⑤的要求
⑥ 教师或教材给出问题情境，学生自主提出实际问题，师生一起完成
“建立模型”和“模型求解”的主要过程的数学活动；
⑦ 全过程（选题、开题、做题、结题）、学生部分自主（发现提出问题，
模型的选择和建立，求解模型，给出模型结果的解释，在这些环节中，
教师部分参与，给予指导和支持）的数学建模活动；
⑧ 全过程、全自主（学生自主发现提出问题，自主完成数学化的建模过
程，自主求解模型，自主给出模型结果的解释，在整个过程中可以自
主决定是否寻求教师的帮助）的数学建模活动
⑥⑦⑧
是数学建模的专项要求
• 若干问题
（1）从应用问题到建模问题
对熟悉的应用题进行改造，将数学建模的元素纳入现有的 课程中。
（2）技术在数学建模与数学探究活动中的作用
实际问题的函数建模
3·2 函数模型应用实例
1 创设情境
每一个路口的红绿灯时间 设置是一样的吗？对于这个问 题，我们可能思考过，焦虑过， 这些红绿灯秒数是如何设置的？ 一天中它们又是如何变化的？ 其实跟许多因素都有关系，核 心内容就是数学上的建模知识。
学习目标
1.通过探究一，借助图形计算器，能找 出合适的数学模型，初步总结出数学建模的 过程.
用建模实例感染、激励学生 学习数学建模有难度，发现问题难，走进实际生 活调查、实验难。 同学的建模成果和经历是极好的“教材”，具有 强烈的感染力和示范性。
百度文库
让学生经历数学建模活动全过程
• 数学建模活动是个过程，从发现问题开始，一步步 展开，即便是研究小组多人解决一个问题，分工担 责，仍然需要组内的每一个人都参与选题，都参与 每一个阶段的研讨。
x 480 3436 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 ycd x
(2015年全国卷1, 19 )某公
司为确定下一年度投入某种 产品的宣传费 ，需了解年宣 传费x对年销售量y的影响 ， 对近8年的年宣传费xi和年销 售量yi (i＝1，2，···，8) ，数
据作了初步处理 ，得到下面 的散点图.
• 1993年，美国的数字化电视问世，支持电视数字化的是一种数学技术——小 波技术，它能将庞大的数据压缩到最低限度，使得图像的数字传输成为可能。
• 华为的“突围”。
• 2018年3月，科大讯飞董事长刘庆峰在“代表通道”上秀出讯飞翻译机二代新 品。现在我国每年1.3亿人出国，讯飞翻译机让中英翻译达到大学六级口语言 水平，未来在算法进步和海量翻译语料积累的推动下，将会达到专业八级水平， 这对中华民族在全球各地的交流起到很大的推进作用。
一、数学建模素养
高中数学课程目标 数学建模的涵义与教育价值 数学建模主线 三个基本概念
高中数学课程目标
通过高中数学课程的学习， 学 生 能 获得进一步学习以及 未来发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、 基本活动经验(简称“四基”)；提高从数学角度发现和提 出问题的能力、分析和解决问题的能力(简称“四能”)。
3 课中探究
问题：你能完善数学建模的过程么？
3 课中结论
实际 问题
提出 问题
数学 模型
数学 结果
N 检验
Y
可用 结果
3 课中探究
问题：你能总结数学建模的概念吗？
数学建模是运用数学思想、知识和 方法建立数学模型来解决实际问题 的过程
4 反馈练习1
y
620 600 580 560 540 520 500
学习目标
1.通过探究一，借助图形计算器，能找 出合适的数学模型，初步总结出数学建模的 过程.
2.通过探究二，能根据实际情况检验数 学模型，完善数学建模的过程，深化数学建 模的思想.
3.经历数学建模解决实际问题全过程， 从实际生活出发，思考数学建模的意义，体 会数学来源于生活又服务于生活的魅力.
• 每一个人都能对参与的数学建模整个过程心中有数， 能够讲出数学建模的报告中的主要结论。
新课标背景下
数学建模是高中数学新课程中新增的研究 性学习的内容，《课程标准》中没有对数学 建模的内容做具体安排，只是建议将数学建 模穿插在相关模块的教学中，要求通过数学 建模，了解和经历解决实际问题的全过程， 体验数学与日常生活的联系.而以函数为模型 的应用题是中学数学中最重要的内容之一， 从应用题中抽象出问题的数学特征，找出函 数关系，解决实际问题也是中学数学教学的 重要任务之一.
过程 设疑——讨论——实验——分析——总结
课后作业
1.教材106页A组第1题；B组第2题 2.每一个路口的红绿灯时间设置是一样的吗？这些 红绿灯秒数是如何设置的？一天中它们又是如何变化 的？请以小组为单位，查找相关数据，结合本节所学 数学建模知识，撰写一个研究性学习报告。 3.课外阅读：《数学建模入门》《数学建模方法》
2.通过探究二，能根据实际情况检验数 学模型，完善数学建模的过程，深化数学建 模的思想.
3.经历数学建模解决实际问题全过程， 从实际生活出发，思考数学建模的意义，体 会数学来源于生活又服务于生活的魅力.
2 课中探究
1．10≤x≤1000 实际情境
2．y≤5
3．y≤25%x
某公司为了实现1000万元利润的目标， 准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在
画出 y 0.25x, y log7 x 1, y 1.002x ,
三个函数图象（借助图形计算器） 1．10≤x≤1000 2．y≤5 3．y≤25%x
y log7 x 1
3 课中探究
问题：你能总结出数学建模的一般过程吗？
实际 情境
提炼 问题
数学 模型
数学 结果
可用 结果
3 课中探究
“在数学建模活动与数学探究活动中，鼓励学生使用信 息技术”（《课标2017》P.36）
• 数据拟合、优化问题、模拟（数学建模） 案例1 刹车距离问题（《课标2017》P.116）
• 动态图像、符号推理（数学探究） 案例2 函数不动点与迭代法求方程的近似解 案例3 探究抛物线焦点弦的端点处切线的交点轨迹
② 直接套用数学概念、函数、定理、公式等，给出有实际意义的结果 （如函数值），或者解释、说明、得到结果的实际意义；
③ 通过简单的变换，间接套用数学概念、函数、定理、公式等，给出 有实际意义的结果；
④ 教师或教材给出实际问题，并带领（教材是引领）学生完成数学化 的、简单具体的数学应用；
⑤ 教师或教材给出实际问题，学生自主完成数学化的、简单具体的数学
三、数学建模教学的建议
突出数学的应用价值 用建模实例感染、激励学生 让学生经历数学建模全过程 设计进阶的数学建模学习进程
突出数学的应用价值
• 数学无处不在 • 数学是社会发展的原动力 • 数学建模是公民必备的素养 • 建模从应用做起
• 1979年，诺贝尔医学奖授予美国的柯马克和英国的洪 斯费尔德，褒奖他们运用数学上的拉东变换原理，设 计了CT层析仪。
(Ⅰ)根据散点图判断，
y＝a＋bx 与 y c d x ,
哪一个适宜作为年销售量 y
关于年宣传费 x 的回归方程 类型？( 给出判断即可 ，不
必说明理由 )
4 反馈练习2
你能找出周围的数学建模实例吗？
5 回顾总结
知识
实际情境—提炼问题—数学模型— 数学结果—检验—可用结果
方法 数形结合、归纳转化、特殊到一般
数学应用是外延比较大的概念， 数学建模属于数学应用的范畴。 数学建模活动是学习数学建模、体验
数学建模的必要的课程形式。
数学建模活动的关键词
• 综合实践活动 • 四个渐进的环节：
选题 → 开题 → 做题 → 结题
二 数学建模过程
• 数学建模教学的推进层次
① 为了帮助学生理解、建立概念，掌握函数、定理、公式等而有意设 计的实际情境；
数学建模核心素养的涵义
数学建模是对现实问题进行抽象，用数学的语言表达 问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建 模过程主要包括： 在实际情境中从数学的视角发现问 题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计 算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。
实际情境
提出问题
建立模型
不 合
乎
求解模型
思考二：
请分析 y log7 x 1
的增长趋势，试想如果你 是公司的领导，你会不会 选择如此的激励政策？你 能计算出符合实际情况的 函数模型么？（保留到小 数点后四位）
3 课中探究
y=a·(bx-1)
(变一变)问题三： 把题中“在销售利润达到10万 元时，按销售利润开始进行 奖励”这句话删掉，你得到的 指数函数模型还符合实际情 况吗？如果不符合，你能设 计出符合题意的条件么？ （指数型函数模型）