极限抽样误差

第二节极限抽样误差
石家庄市第一职业中专学校石艳格050000
一、教学目的与要求：
1．知识目的：理解和熟练掌握极限抽样误差的概念和计算方法，让学生学会运用极限
误差对总体数据做出区间估计。

2．能力目的：从学生熟悉的实例出发，研究总体出极限误差的概念，让学生在自学的
过程中品尝获得成功的喜悦，从而激发他
们浓厚的学习兴趣。

二、教学过程
师：前面我们学习了抽样误差的概念及计算方法，明确了抽样误差是可以计算并且可以加以控制的，那如何对抽样误差进行控制呢？就是我们这节课要解决的问题。

首先，请同学们想一想，如何控制抽样误差呢？（创设问题情境，让学生自主思考）
生甲：误差当然越小越好了！误差太大了，那我们用样本统计量估计的总体参数就没有意义了。

（大部分同
学意见）
生乙：抽样误差是随机误差，是避不可免要产生的，我们不可能让它无限度地缩小。

师：大家说的都对，我们对抽样误差加以控制，它不能太大，这是我们很容易理解的，但它也是不可能无
限度地小。

因为误差小，就意味着对总体参数估计
的精确度会很高，当我们没有50%以上的把握程度
去达到它要求的精确度时，我们也不再去做了。

所
以抽样误差不能过大，也不能过小。

我们把它可扩
大或缩小的倍数称为概率度，用符号t来表示。

概
率度和概率（把握程度）之间有着数量对应关系。

概率越大，则概率度的值也越大，反之，概率越小，则概率度的值也越小。

由此我们得到概率F（t）与
概率度t之间的对应关系。

（幻灯片）我们常用的：t=1时，F（t）=68.27% t=2 时，F（t）=95.45% t=3
时，F（t）=99.73%
师：抽样误差的概念是什么？其计算公式是什么？
生：抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的平均离
差程度。

用“u ”表示。

生：抽样误差计算公式共有4个，平均数的有2个，成
数的有2个。

分别为：
u x =
2n δ u x =)1(2N n n -δ n p p u P )1(-= )1()1(N
n n p p u p --= 师：很好。

请同学们考虑什么是极限抽样误差呢？它的
计算公式又是什么呢？
生甲：极限误差应该是个误差范围。

生乙：极限误差是个可允许的误差。

生丙：极限误差是t 倍的抽样误差。

师：你们说的都不错，我们用样本统计量估计总体参数
时，总是要发生误差的，两者完全相等的情况，几乎是不可能的，抽样极限误差就是指样本统计量和总体参数之间抽样误差的可能范围，由于总体参数是一个确定的数，而样本统计量是随机变量，样本统计量则围绕总体参数上下变动，它与总体参数产生正离差称为上限，产生负离差，称为下限，因此
我们用样本统计量变动的上限或下限与总体参数之差的绝对值表示抽样误差的可能范围，称为极限抽样误差或允许误差，用“∆ ”表示。

（总结学生的说法。

用规范的语言给出极限抽样误差的概念及表示方法。

）
师：现在请同学们自己写出极限抽样误差的计算公式。

（让学生自己思考、探究，也可以相互交流，教师巡视后，找同学到黑板去板演。

）
生1：平均数的极限抽样误差： 重复抽样：n t t u x x δ2==∆ 不重复抽样：)1(2N
n n t t u x x -==∆δ 生2：成数的极限抽样误差： 重复抽样：n
p p t t u p p )1(-==∆ 不重复抽样：)1()1(N n n p p t
t u p p --==∆ 师：对学生写出的公式，给予评价，指出优点与不足，
并加以纠正。

（完全由学生自主探索，就是让他们去
经历新知识的产生过程，尽管这对多数学生来说是个艰苦的过程。

）
例1：对20000头牛，按照随机原则进行抽样调查，抽
取了1000头牛调查结果是：平均体重为225千克，标准差为15千克，试求概率为95。

45%的条件下，其极限抽样误差为多少？
分析：做这类题，先要写出题中给的已知条件，再根据
让我们求的什么，去选择合适的公式，代入数值，就可以了。

解：已知N=20000，n=1000, x =225千克，F （t ）=95.45%
对应t=2 s x =15千克
重复抽样的极限抽样误差为：
n t x δ2=∆=t n s 2
=2×1000152
= 2×0.474=0.948（千克）
不重复抽样的极限抽样误差为：
)1(2N n n t x -=∆δ=2×)2000010001(1000152
-=2×
0.462=0.924（千克）
练习：某地区种植了10000亩小麦，随机抽取了100亩
进行实割实测，测得100亩小麦的平均亩产量为550千克，标准差为10千克，试以95。

45%的概率保证程度估计其极限抽样误差为多少？
生：解：已知N=10000，n=100，x=550千克，s=10千
克，F （t ）=95.45% 对应t=2
重复抽样极限抽样误差为：
n t x δ2=∆=t n s 2
=2×100102
=2(千克)
不重复抽样的极限抽样误差为：
)1(2N n n t x -=∆δ=2×)100001001(100102
-=2×
0.9945=1.99（千克）
师：大家掌握得很好，接下来我们看成数极限抽样误差
的计算。

例2：对10000件产品，按照随机原则进行抽样调查，
抽取600件产品进行质量检验，发现有48件是废品，试求概率为95。

45%的条件下，这些产品的抽样极限误差。

分析：和平均数的分析过程是一样的。

解：已知N=10000 n=600
n 1=48 F （t ）=95.45% 对应t=2
先计算p= n 1
/n ×100%=48/600×100%=8% 重复抽样极限抽样误差为：
n p p t p )1(-=∆=2×600
%)81(*%8-=2×0.011 =0.022 即2.2%
不重复抽样的极限抽样误差为：
)1()1(N n n p p t p --=∆=2×)100006001(600%)81%(8-- =2×0.01=0.02 即2%
通过做这道题，请同学们仔细观察一下，平均数的极限抽样误差与成数的极限抽样误差有什么区别与联系。

（一方面培养提高了学生的观察能力，一方面让学生体会到类比的方法在本节课中的作用）
生：它们的解题思路是一致的，都是写出已知条件，先
求出抽样误差，再算出极限抽样误差的公式。

生：它们不同之处是平均数的极限抽样误差是有计量单
位的，而成数的极限抽样误差没有计量单位。

师：同学们观察得很仔细，非常好！（学生思维的发展水平取决于自身参与教学活动的过程，给学生思维活动的素材，悉心引导学生积极主动地参与教学活动中，在活动中发现问题，解决问题，这样符合学生的认识规律，能促进学生思维的发展，提高学生的创新能力）注：平均数的极限抽样误差是有计量单位的，而成数的极限抽样误差没有计量单位，通常用百分数来表示。

综合练习：某灯泡厂从一批10000只灯泡中随机抽取100只，检验其耐用时数，按规定灯泡耐用时数在950
小时以上者为合格品，有关抽样结果及其整理数据
如下表：
试求在概率保证程度为95。

45%下计算这批灯泡平
均耐用时数及合格品率的极限抽样误差。

（学生在练习薄上做完后，教师给出标准答案） 解：平均数抽样误差的计算
（1） 样本平均耐用时数：
∑∑=f xf x =100
105700=1057（小时） （2） 样本耐用时数标准差:
1.62100
385100)(2===∑∑-f f x x s x (小时) （3）不重复抽样方式下耐用时数的抽样平均误差为: 17.6100001001*100
1.621.=-=-=
N n n s u x x （小时）
（4）极限误差的计算
==∆u x x t 2×6.17=12.34(小时)
成数抽样误差的计算：
（1） 样本合格品率：p=n n 1=100
971003100=-=97% （2） 样本合格品率标准差
%)971%(97)1(-=-=p p s p =1.71%
（3） 合格品率的抽样平均误差为：
)10000
1001(100%)971%(97)1()1(--=--=N n n p p u p =1.7% （4） 合格品率的允许误差为：
==∆u p p t .2×1.7%=3.4%
小结：本节课我们重点学习了极限抽样误差的计算，通过本节课的学习，让学生亲身体验知识产生与形成的艰辛，培养他们学习的坚毅品质，而让他们获取成功，必将更有力地增强他们对统计学习的兴趣和信心。

作业：习题册中的第1、8、9题 `。