第14讲 时变电磁场(2)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第14讲时变电磁场（2）
本节内容：
一，坡印廷定理和坡印廷矢量
二，时谐场
三，复介电常数与复磁导率
一，坡印廷定理和坡印廷矢量
电磁场是一种物质，并且具有能量。
交变场中电场、磁场均随时间变化，所以电场能量密度、磁场能量密度也必随时间变化，而空间各点电磁能量密度的变化说明能量发生了转移或转化。
电磁能量按照一定的分布形式储存于空间，并且随着电磁场的变化在空间传输。
下面从麦克斯韦方程出发，导出表征电磁能量守恒和转换关系的坡印廷定理，以及描述能量转移情况的电磁能流矢量——坡印廷矢量。
1，电磁能量守恒——坡印廷定理
（1）由麦克斯韦第一、二方程：
t
D J H ∂∂+
=⨯∇ （5.5-1）
t B
E ∂∂-
=⨯∇
（5.5-2）
（5.5-2）H
⋅-（5.5-1）E
⋅得：
t D E E J t B H H E E H ∂∂⋅
-⋅-∂∂⋅-=⨯∇⋅-⨯∇⋅
（5.5-3）
而：()()t w H B t H B t t H H t B H m
∂∂=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅∂∂=⋅∂∂=∂∂⋅=∂∂⋅ 2121μ
同理：()()t w D E t D E t t D E t D E e
∂∂=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅∂∂=⋅∂∂=∂∂⋅=∂∂⋅ 2121ε
∴ ()E J w w t
H E E H m e ⋅-+∂∂
-
=⨯∇⋅-⨯∇⋅
由矢量恒等式：
()H E E H H E ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇
()()E J w w t
H E m e ⋅-+∂∂
-
=⨯⋅∇E J t w ⋅-∂∂-= 上式两边积分：
()⎰
⎰⎰
⋅-
∂∂-=⨯⋅∇V
V V
dV
E J dV t
w
dV H E
即：
⎰
⎰⋅
-
∂
∂
-
=
⋅
⨯
V
S
dV
E
J
t
W
S
d
H
E
即：
⎰
⎰⋅
+
⋅
⨯
=
∂
∂
-
V
S
dV
E
J
S
d
H
E
t
W
—坡印廷定理
下面解释一下上式各项的物理意义。
由焦耳定律，单位体积内的损耗功率为E
J
⋅，显然右边第
二项为体积V 内的损耗功率。左边为电磁能量的减少率。而体积V 内电磁能量的减少不外乎两种原因，一是损耗掉而转化为其它形式的能量，另一是转移到V 之外。显然，式中第一项代表的是通过S 流出体积V 的功率。若媒质为无耗的（0=σ），则02
==
⋅⎰
⎰
V
V
dV E dV E J σ
，此时，V
内功率的减少就等于流出V 的
表面S 的功率。
坡印廷定理体现了电磁场中的能量守恒关系。
（2）假设电磁场在一有耗的导电媒质中，媒质的电导率为ς，电场会在此有耗导电媒质中引起传导电流J =ςE 。根据焦耳定律，在体积V 内由于传导电流引起的功率损耗是
⎰
⋅=
V
EdV
J P
由麦克斯韦方程式
t D
H J ∂∂-
⨯∇=
dV t D E H E EdV J V
V
⎰
⎰
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
∂∂⋅-⨯∇⋅=⋅)(
利用矢量恒等式
)()()(H E E H H E ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇
)()
()()(H E t B H H E E H H E ⨯⋅∇-⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-⋅=⨯⋅∇-⨯∇⋅=⨯∇⋅
dV H E t D E t B H EdV
J V
V ⎰
⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯⋅∇+∂∂⋅+∂∂⋅-=⋅)(
利用散度定理上式可改写为
dV
E J t
D E t
B H dS H E dV H E t D E t B H EdV J V
S
V
V
⎰⎰
⎰
⎰⋅+∂∂⋅
+∂∂⋅
=⋅⨯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯⋅∇+∂∂⋅+∂∂⋅-=⋅)()()(
这就是适合一般媒质的坡印廷定理。
利用矢量函数求导公式
t
B A A A t
t B A B t
A B A t ∂∂⋅
=⋅∂∂∂∂⋅+⋅∂∂=
⋅∂∂2)(,
)(
对于各向同性的线性媒质，即D =εE , B =μH , J =ςE , 可知，
)
2
1
(
)(2H B t H H t
t
H H t
B H ⋅∂∂
=
⋅∂∂
=
∂∂⋅
=∂∂⋅
μμ