集合章节详细知识点及题型分类练习(含课后作业)

1.1集合

【考纲解读】

◆ 理解集合的定义、元素与集合的属于关系、集合的表示方法； ◆ 理解集合之间的包含、相等关系，以及全集、子集、空集的含义；

◆ 理解补集的含义，以及集合之间的交集、并集的含义，会求补集、交集、并集，并且能用韦恩图表示；

【知识储备】

知识点1、集合与元素的概念

在小学和初中，其实我们已经学过一些集合，例如：自然数的集合，有理数的集合，不等式的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合......

思考？你还能想到哪些类似学过的集合？

集合、元素的定义：

一般地，我们把研究对象统称为“元素”，通常用小写字母a 、b 、c ...表示；把一些元素组成的总体叫做“集合”，简称“集”，通常用大写字母A 、B 、C ...表示。

知识点2、集合中元素的性质

❶确定性：构成集合的对象具有明确的特征，即有明确的界线来区分元素是不是在这个集合中的，不能模

棱两可。给定一个集合，那么集合中的元素就确定了。如：“中国四个直辖市”（北京，天津，重庆，上海）、“东北三省”（辽宁、吉林、黑龙江）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较胖的人”，“解放碑附近”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.

❷互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。如：方程0)2()1(2

=--x x

的解虽然有三个：,2,1,1321===x x x ，集表示为{

}2,1,而不是{}2,11，。 ❸无序性：集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。如：{

}2,1、{}12，表示同一个集合。

例：看下面几个例子，判断每个例子中的对象能否组成一个集合。

（1）大于等于1，且小于等于100的所有整数；

（2）方程x2=4的实数根；

（3）平面内所有的直角三角形；

（4）正方形的全体；

（5）∏的近似值的全体；

（6）平面集合中所有的难证明的题；

（7）著名的数学家；

（8）平面直角坐标系中x轴上方的所有点。

【现炒现卖】

考察下列各组对象能否组成一个集合，若能组成集合，请指出集合中的元素，若不能，请说明理由：

（1）平面直角坐标系内x轴上方的一些点；

（2）平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的圆内的所有的点；

（3）一元二次方程x2+bx-1=0的根；

（4）平面内两边之和小于第三边的三角形

（5）x2,x2+1,x2+2；

（6）y=x,y=x+1,y=ax2+bx+c(a≠0)；

（7）2x2+3x-8=0,x2-4=0,x2-9=0；

（8）新华书店中主题相同的小说全体。

知识点3、元素与集合的关系

例：集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)| y=x2+1},(A、B中x∈R,y∈R)选项中元素与集合之间的关系都正确的是（）

A、2∈A，且2∈B

B、（1,2）∈A，且（1,2）∈B

C、2∈A，且（3,10）∈B

D、（3,10）∈A，且2∈B

【现炒现卖】 用∉∈、填空。

3.1415 Q ； 0 R +

； 1 {（x,y ）|y=2x-3}； -8 Z ；

0______{0}， a ______{a }，

π

_____Q ，

2

1

_____Z ，－1______R ， 0_______N ， 0 ∅．

知识点3、集合的表示方法

方法❶、列举法：把集合的元素一一列举出来，元素间用逗号隔开，并用花括号{}括起来。例如：{}20-，。

方法❷、描述法：在花括内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线， 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。格式：{}的特征x A x ∈或{}

的取值范围x x 。 例如：{

}012

=-∈x R x 、{}

100≤

方法❸

。 例；

1. 用列举法表示下列集合。

（1） 方程 x 2

+y 2

=2d 的解集为 ； （2）集合A={y|y=x 2

-1,|x|≤2,x ∈Z}用列举法表示为 ； （3）集合B={

x

+18

∈Z|x ∈N}用列举法表示为 ； （4）集合C={x|=

a a ||+b

b |

|，a ，b 是非零实数}用列举法表示为 ； 2.用描述法表示下列集合。 （1）大于2的整数a 的集合； （2）使函数y=

()()

111

+-x x x 有意义的实数x 的集合；

（3）{1、22

、32

、42

、…}

3.用Venn 图法表示下列集合及他们之间的关系：

（1）A={四边形}，B={梯形}，C={平行四边形}，D={菱形}，E={矩形},F={正方形}；

（2）某班共30人，其中15人喜欢篮球，10人喜欢兵乓球，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球的人数为 ，用Venn 图表示为： 。

知识点4、数学中常用数集及其记法

集合名称

集合中元素组成 记号 非负整数集（或自然数集）

全体非负整数 N 正整数集 所有正整数 N *

或N + 整数集 全体整数 Z 有理数集 全体有理数 Q 实数集 全体实数 R 空集

不含任何元素

∅

知识点5、子集与真子集、集合相等

关系 定义

韦恩图

记号 读法

子集 集合A 中任意一个元素都是集

合B 中的元素

或 B A ⊆ 或A B ⊇

A 包含于

B 或B 包含A 真子集

B A ⊆，

但存在元素A b ∉

A B 或B A A 真包含于B 或B 真包含A 集合相等

集合A 是集合B 中的子集

且集合B 是集合A 中的子集

B A ⊆ 且A B ⊆

A 包含于

B 且B 包含于A

例：若集合{|}A x x a =>，{|250}B x x =-≥，且满足A B ⊆，求实数a 的取值范围.

【现炒现卖】

1.已知2{|0}A x x px q =++=，2{|320}B x x x =-+=且A B ⊆，求实数p 、q 所满足的条件.

2. 若2{1,2}{|0}x x bx c =++=，则（ ）.

B A A(B)

B A A(B)