关于高校奖学金评定的问题(数学建模)
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②计算第 i 个因素下第 j 个评价值的比重 Pij
Pij
xij
x
j 1
n
ij
③计算第 j 项的熵值 ej
ej k Pij ln pij ,
j 1 n
若取k=
1 , 则0 ej 1 ln n
④计算第 j 项的差异系数 g j 对于给定的 ej 越大，因素评价值的差异性越小，则因素在综合评价中所起的 作用越小。定义差异系数 g j 1 e j ，则当因素 g j 越大时，因素越重要。
最后根据综合评分的排名高低依次确定获得奖学金的名单：一等奖一名， 二 等奖四名，三等奖五名（根据评定结果，奖项对号入座） 。
关键词： 隶属函数 改进的熵权法 加权平均 综合评定
1
一、问题重述
几乎学校的每个院系每年都会评定学生奖学金。 设立奖学金的目的是鼓励学 生学习期间德智体全面发展。 其中，年度的学习成绩是奖学金评定的主要依据之 一，因此，如何根据学生本年度的各门课成绩来合理衡量学生很有必要。附件 1 是该学院某年级 105 名学生全年的学习情况。请你们队根据附件信息，综合考虑 各门课程，至少用 2 种方法将成绩最优秀的 10%的同学评选出来，作为进一步奖 学金评定的候选人，并比较这些方法的优劣。
排名
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
（4）评定结果 由上表综合评定排名可得奖学金评定名单为： 一等奖得主（获奖学生序号，下同） ：70； 二等奖得主：84,86,30,51； 三等奖得主：33,10,64,72,13。 3、模型二：平均学分绩模型 （1）模型的建立 计算平均学分绩方法在大多数学校被采用,用它来计算学生的智育得分,考 察学生的全年的学习情况,并进一步得到学生的全年综合测评得分。当总分相同 时,学分少的课程分数高,而学分高的课程分数低的学生,综合得分就没有学分少 的课程分数低， 学分高的课程分数高的学生高。这种方法能够充分体现学分高的 课程的重要性。 模型公式：
0.1053
0.0201
课程 权重
9
10
11
12
13
14
15
0.0395
0.0486
0.0581
0.0416
0.0559
0.0684
0.0987
这个结果更合理地根据学生成绩的具体情况确定了前 15 门不同学分的课程 在评定过程中的比重。 对于后面的 6 门非必选课程，采用平均学分成绩的评定模型进行评定： 不同课程的学分是“原则上按一个学期（以 16 周计）内每周上课几学时即 记几学分”进行计算的，所以学分的多少，反映了学生在不同课程上的学习数量 （我们视一个学分所代表的学习数量是等同的） 。平均学分成绩就是指学生在一 定时间内所修课程学分总数中，每个学分的百分制分数平均成绩。 根据隶属函数把等级进行百分制转化的结果， 给出下列计算平均学分评估成 绩的方法：
X ij
C * *A C *
j j j j
ij
从上表不难得知：最后 6 门任选课和人文课的比重远大于前面基础课、专业 课和必选课的比重，这显然不符合实际情况和奖学金评定原则。对于课程性质来 说，基础课、专业课和必选课的比重应该大于任选课和人文课的比重。出现这种 情况的主要原因是有的学生没有选修任选课和人文课，在这种模型中，没有学习 的课仍然占有权重，但是考试成绩是按照零分计算的，导致学习了任选课和人文 课的学生在评定过程中具有更大的优势， 这不符合奖学金评定的一般规律和评定 的公平的原则，因此我们对第一种模型进行了优化改进。
j
C
80.60 86
*j
A *B * Y
j 16 ij j j
21
综合评定结果 （由 Matlab 编程得到第一到第十名的模型评分及学生序号， 下同） ：
评分 序号 83.55 70 81.08 84 79.36 30 79.27 51 78.86 33 78.35 10 78.20 64 78.19 72 78.08 13
[1 ( x ) 2 ] 1 f (x) a ln x b
1 x 3 3 x 4
模型一： 考虑了课程难度因子和基于考试成绩情况而进行熵权重分配的课程 学分因子；
模型公式： X i
C
j 1 15 j 1
15
j
* j * Aij
平均学分评估成绩 =
考试分数*学分
考试科目数
然后把后 6 门课程的平均学分成绩以附加值的形式加在前 15 门课程的评定 结果后，得到模型三的综合评定标准：
Xi
C j * j * Aij
j1
15
C
j 1
15
j
Biblioteka Baidu*j
A *B * Y
j 16 ij j j
其中，f(x)的图像如下图：
f(x)图像 由此，我们可以将考查课的等级制转化为百分制，如下表： 等级 对应分数 A 100．00 B 80.00 C 52.45 D 1.00
2、模型一：加入课程难易程度系数的学分权重评定法 （1）课程难度系数向量及难度系数因子的确定 根据一般常识，我们知道每门课程的难易程度是不相同的，一些课程难度系 数较大，学生们考试分数普遍较低，因此该课程平均分自然相对偏低，反之， 难 度系数较低的课程的平均分相对较高。依据这个规律，我们可以求得 n 门课程的 考试平均分分别为 Y1 ， Y2 ， …， Yn ，并令 Y = Y1 + Y2 +…+ Yn 。由此可设置课程难 度系数向量为:
1、首先运用隶属函数将学生考试成绩转换为百分制计算 假如我们把考查课中的 A、 B、C 和 D 四个不同的等级分别规定一个自定的分 数（例如 A 对应 90~100 分，B 对应 80~90 分等） ，那么当自定义的分数不同时， 最终得到的综合评定的成绩也会发生相应的改变， 从而评选出来的奖学金获得者 也会有一定程度的出入，这样的结果不具有普遍性，不能客观地反映学生的综合 成绩， 不具科学性依据和说服力。而如果我们将考查课的四个不同等级根据隶属 函数转换为百分数，实现了对模糊概念的定量描述，有效地反映了学生各门学科 的综合成绩， 具有一定的科学依据，能够对全体学生的排名以至于奖学金的评定 提供公平、有利的保障。 利用模糊数学的方法，设 A、B、C、D 四个等级依次对应为隶属度为 4、3、 2、 1。 采用偏大型柯西分布和对数函数构造了一个隶属函数 （此处的 、 、 a、 b 均为待定系数） ：
Y Y Y Y C , ，，， ，其中，课程难度系数因子 C j 。 Yn Yj Y1 Y2
4
（2）依据学生考试成绩的不同情况运用熵权法确定不同学分的课程在评价模型 中的权重 熵权法是一种客观赋权方法，根据各指标的变异程度,利用信息熵计算出各 学分的熵权， 再通过熵权对各课程的权重进行修正，从而得出较为客观的课程权 重。 设有 m 个待评方案， n 项评价指标，形成原始指标数据矩阵 X ( x i j ) m n ， 对于某项指标 x j ，指标值 X ij 的距离越大，则该指标在综合评价中所起的作用。 在信息论中信息熵 e i k Pij ln p ij 表示系统的有序程度，一个系统的有序程
5
⑤定义权数 w j
gj
g
j 1
n
，则 w j 就是熵权法确确定的权重
j
按照上述步骤计算出各课程学分所占有的权重 j w ij ：
课程 权重 0.0033 0.0027 0.0029 0.0006 1 2 3 4 5
因此，m 个待评学生的课程成绩， 所有课程的课程学分， 构成原始数据矩阵，
模型二：通过对不同课程的学分和性质差异比较，进行加权平均综合评定；
模型公式：
Xi
A
j 1
n
ij
* Bj
82.48 86
n
j 1
Bj
综合评定结果：
评分 序号 84.72 70 82.77 30 81.63 56 81.47 60 81.45 75 81.18 80 81.03 51 80.90 50 80.81 2
[1 ( x ) 2 ] 1 f (x) a ln x b
由模糊数学的方法，我们知道：
1 x 3 3 x 4
当等级为“A-优秀”时，对应的隶属度为 1，即 f ( 4 ) 1 ； 当等级为“B-良好”时，对应的隶属度为 0.8，即 f (3) 0.8 ； 当等级为“D-不及格”时，对应的隶属度为 0.01，即 f (1) 0.01 。 用 Matlab 编程解得待定参数如下表（相关程序见附录）: ａ ｂ α β
6
对熵权法加以优化和改进： 对于前 15 门考试课仍然采用加入课程难度因子和课程学分权重因子的加权 模型，然后按照熵权法计算权重的步骤重新计算这 15 门课程所占有的比重，计 算结果如下表所示： 课程 权重
1 2 3 4 5 6 7 8
0.0893
0.0726
0.0784
0.0153
0.0716
0.1365
奖学金评定问题
摘要
本文通过以学生年度学习成绩为主，结合对课程性质、学时和学分的综合分 析对最终结果的影响，根据 Excle 中的数据结合 Matlab 软件并运用隶属函数、 熵权法和加权平均值的相关知识，确定了两种奖学金评定方案的数学模型。首先 要将任选课和人文课等级转换为百分制作为综合评定的统一标准。 由模糊数学的 方法可依次设 A，B，C，D 四个等级的隶属度分别为 4，3，2，1。采用偏大型柯 西分布和对数函数构造了一个隶属函数：
0.6952
0.0362
1.1086
0.8942
3
将所求参数值带入方程得到的隶属函数如下：
[1 1 . 1086 ( x 0 . 8942 ) 2 ] 1 f (x) 0 . 6952 ln x 0 . 0362
(1 x 3 ) 3 x 4
二、问题分析
1、本题考虑到考查课（任选课和人文课）对学生综合成绩的影响，可运用偏大 型柯西分布和对数函数构造一个隶属函数， 将其等级转化为百分制分数同考试课 （基础课、专业课和必修课）的成绩相结合，再通过两种不同的方法建立两种不 同的数学模型， 可以在引入课程难度系数因子的情况下运用熵权法或者使用平均 学分绩的方法，根据相关数据可以考虑运用 Matlab 软件将学生综合成绩计算出 来并排序，最终评定出获奖人名单； 2、相互比较两种数学模型各自的特点，抉择最优方案，并将模型推广。
6
7
0.0027
0.0051
0.0039
课程 权重
8
9
10
11
12
13
14
0.0008
0.0015
0.0018
0.0022
0.0015
0.0021
0.0025
课程 权重
15
16
17
18
19
20
21
0.0037
0.1122
0.1698
0.2095
0.1754
0.1253
0.1706
由以上结果得， 使用课程学分权重因子和课程难度系数权重因子改进加权算 术平均公式，建立综合成绩计算模型如下:
21
其中， 是六门任选课中每位学生实际学习的课程数目。
7
（3）运用 Matlab 软件进行编程计算出前十名学生的综合评定分数 计算结果如下表所示（程序见附录） ： 学生序号 综合评定分数
70 84 86 30 51 33 10 64 72 13 83.5544 81.0803 80.6002 79.3587 79.2705 78.8620 78.3537 78.1993 78.1891 78.0755
Bj
----第 j 门课的学分
Yj
----第 j 门课的平均分（百分制）
m ----学生的人数
C----难度系数向量
n ----课程数目
j
----课程权重因子
Xi
----第 i 个学生的综合评定分数
2
五、模型建立与求解
奖学金的评定
隶属函数
模型一： 学分权重评定 模型
模型二： 平均学分绩
模型的评价和 推广
j 1 m
度越高，则信息熵越大，反之，一个系统的无序程度越高，则信息熵就越小。 所 以，可以根据各项指标的指标值的差异程度，利用信息熵的这个工具计算出各指 标的权重。 ①数据处理
对该矩阵进行归一化处理：
X ij =( X ij -min{ X ij })/({ X ij }-min{ X ij })，从而得到一个新的矩阵。
三、模型假设
1、奖学金的评定对象是全体学生，且评定过程公平公正； 2、最终仅由综合成绩的评定结果及排名决定奖学金的评选； 3、影响学生综合成绩的各个因素间是相互独立的，且不考虑其他加分等情况； 4、考试课成绩和考查课等级均以百分制计算。
四、符号约定
i ----学生个数
j----课程个数
A ij
----第 i 个学生第 j 门课的得分
Pij
xij
x
j 1
n
ij
③计算第 j 项的熵值 ej
ej k Pij ln pij ,
j 1 n
若取k=
1 , 则0 ej 1 ln n
④计算第 j 项的差异系数 g j 对于给定的 ej 越大，因素评价值的差异性越小，则因素在综合评价中所起的 作用越小。定义差异系数 g j 1 e j ，则当因素 g j 越大时，因素越重要。
最后根据综合评分的排名高低依次确定获得奖学金的名单：一等奖一名， 二 等奖四名，三等奖五名（根据评定结果，奖项对号入座） 。
关键词： 隶属函数 改进的熵权法 加权平均 综合评定
1
一、问题重述
几乎学校的每个院系每年都会评定学生奖学金。 设立奖学金的目的是鼓励学 生学习期间德智体全面发展。 其中，年度的学习成绩是奖学金评定的主要依据之 一，因此，如何根据学生本年度的各门课成绩来合理衡量学生很有必要。附件 1 是该学院某年级 105 名学生全年的学习情况。请你们队根据附件信息，综合考虑 各门课程，至少用 2 种方法将成绩最优秀的 10%的同学评选出来，作为进一步奖 学金评定的候选人，并比较这些方法的优劣。
排名
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
（4）评定结果 由上表综合评定排名可得奖学金评定名单为： 一等奖得主（获奖学生序号，下同） ：70； 二等奖得主：84,86,30,51； 三等奖得主：33,10,64,72,13。 3、模型二：平均学分绩模型 （1）模型的建立 计算平均学分绩方法在大多数学校被采用,用它来计算学生的智育得分,考 察学生的全年的学习情况,并进一步得到学生的全年综合测评得分。当总分相同 时,学分少的课程分数高,而学分高的课程分数低的学生,综合得分就没有学分少 的课程分数低， 学分高的课程分数高的学生高。这种方法能够充分体现学分高的 课程的重要性。 模型公式：
0.1053
0.0201
课程 权重
9
10
11
12
13
14
15
0.0395
0.0486
0.0581
0.0416
0.0559
0.0684
0.0987
这个结果更合理地根据学生成绩的具体情况确定了前 15 门不同学分的课程 在评定过程中的比重。 对于后面的 6 门非必选课程，采用平均学分成绩的评定模型进行评定： 不同课程的学分是“原则上按一个学期（以 16 周计）内每周上课几学时即 记几学分”进行计算的，所以学分的多少，反映了学生在不同课程上的学习数量 （我们视一个学分所代表的学习数量是等同的） 。平均学分成绩就是指学生在一 定时间内所修课程学分总数中，每个学分的百分制分数平均成绩。 根据隶属函数把等级进行百分制转化的结果， 给出下列计算平均学分评估成 绩的方法：
X ij
C * *A C *
j j j j
ij
从上表不难得知：最后 6 门任选课和人文课的比重远大于前面基础课、专业 课和必选课的比重，这显然不符合实际情况和奖学金评定原则。对于课程性质来 说，基础课、专业课和必选课的比重应该大于任选课和人文课的比重。出现这种 情况的主要原因是有的学生没有选修任选课和人文课，在这种模型中，没有学习 的课仍然占有权重，但是考试成绩是按照零分计算的，导致学习了任选课和人文 课的学生在评定过程中具有更大的优势， 这不符合奖学金评定的一般规律和评定 的公平的原则，因此我们对第一种模型进行了优化改进。
j
C
80.60 86
*j
A *B * Y
j 16 ij j j
21
综合评定结果 （由 Matlab 编程得到第一到第十名的模型评分及学生序号， 下同） ：
评分 序号 83.55 70 81.08 84 79.36 30 79.27 51 78.86 33 78.35 10 78.20 64 78.19 72 78.08 13
[1 ( x ) 2 ] 1 f (x) a ln x b
1 x 3 3 x 4
模型一： 考虑了课程难度因子和基于考试成绩情况而进行熵权重分配的课程 学分因子；
模型公式： X i
C
j 1 15 j 1
15
j
* j * Aij
平均学分评估成绩 =
考试分数*学分
考试科目数
然后把后 6 门课程的平均学分成绩以附加值的形式加在前 15 门课程的评定 结果后，得到模型三的综合评定标准：
Xi
C j * j * Aij
j1
15
C
j 1
15
j
Biblioteka Baidu*j
A *B * Y
j 16 ij j j
其中，f(x)的图像如下图：
f(x)图像 由此，我们可以将考查课的等级制转化为百分制，如下表： 等级 对应分数 A 100．00 B 80.00 C 52.45 D 1.00
2、模型一：加入课程难易程度系数的学分权重评定法 （1）课程难度系数向量及难度系数因子的确定 根据一般常识，我们知道每门课程的难易程度是不相同的，一些课程难度系 数较大，学生们考试分数普遍较低，因此该课程平均分自然相对偏低，反之， 难 度系数较低的课程的平均分相对较高。依据这个规律，我们可以求得 n 门课程的 考试平均分分别为 Y1 ， Y2 ， …， Yn ，并令 Y = Y1 + Y2 +…+ Yn 。由此可设置课程难 度系数向量为:
1、首先运用隶属函数将学生考试成绩转换为百分制计算 假如我们把考查课中的 A、 B、C 和 D 四个不同的等级分别规定一个自定的分 数（例如 A 对应 90~100 分，B 对应 80~90 分等） ，那么当自定义的分数不同时， 最终得到的综合评定的成绩也会发生相应的改变， 从而评选出来的奖学金获得者 也会有一定程度的出入，这样的结果不具有普遍性，不能客观地反映学生的综合 成绩， 不具科学性依据和说服力。而如果我们将考查课的四个不同等级根据隶属 函数转换为百分数，实现了对模糊概念的定量描述，有效地反映了学生各门学科 的综合成绩， 具有一定的科学依据，能够对全体学生的排名以至于奖学金的评定 提供公平、有利的保障。 利用模糊数学的方法，设 A、B、C、D 四个等级依次对应为隶属度为 4、3、 2、 1。 采用偏大型柯西分布和对数函数构造了一个隶属函数 （此处的 、 、 a、 b 均为待定系数） ：
Y Y Y Y C , ，，， ，其中，课程难度系数因子 C j 。 Yn Yj Y1 Y2
4
（2）依据学生考试成绩的不同情况运用熵权法确定不同学分的课程在评价模型 中的权重 熵权法是一种客观赋权方法，根据各指标的变异程度,利用信息熵计算出各 学分的熵权， 再通过熵权对各课程的权重进行修正，从而得出较为客观的课程权 重。 设有 m 个待评方案， n 项评价指标，形成原始指标数据矩阵 X ( x i j ) m n ， 对于某项指标 x j ，指标值 X ij 的距离越大，则该指标在综合评价中所起的作用。 在信息论中信息熵 e i k Pij ln p ij 表示系统的有序程度，一个系统的有序程
5
⑤定义权数 w j
gj
g
j 1
n
，则 w j 就是熵权法确确定的权重
j
按照上述步骤计算出各课程学分所占有的权重 j w ij ：
课程 权重 0.0033 0.0027 0.0029 0.0006 1 2 3 4 5
因此，m 个待评学生的课程成绩， 所有课程的课程学分， 构成原始数据矩阵，
模型二：通过对不同课程的学分和性质差异比较，进行加权平均综合评定；
模型公式：
Xi
A
j 1
n
ij
* Bj
82.48 86
n
j 1
Bj
综合评定结果：
评分 序号 84.72 70 82.77 30 81.63 56 81.47 60 81.45 75 81.18 80 81.03 51 80.90 50 80.81 2
[1 ( x ) 2 ] 1 f (x) a ln x b
由模糊数学的方法，我们知道：
1 x 3 3 x 4
当等级为“A-优秀”时，对应的隶属度为 1，即 f ( 4 ) 1 ； 当等级为“B-良好”时，对应的隶属度为 0.8，即 f (3) 0.8 ； 当等级为“D-不及格”时，对应的隶属度为 0.01，即 f (1) 0.01 。 用 Matlab 编程解得待定参数如下表（相关程序见附录）: ａ ｂ α β
6
对熵权法加以优化和改进： 对于前 15 门考试课仍然采用加入课程难度因子和课程学分权重因子的加权 模型，然后按照熵权法计算权重的步骤重新计算这 15 门课程所占有的比重，计 算结果如下表所示： 课程 权重
1 2 3 4 5 6 7 8
0.0893
0.0726
0.0784
0.0153
0.0716
0.1365
奖学金评定问题
摘要
本文通过以学生年度学习成绩为主，结合对课程性质、学时和学分的综合分 析对最终结果的影响，根据 Excle 中的数据结合 Matlab 软件并运用隶属函数、 熵权法和加权平均值的相关知识，确定了两种奖学金评定方案的数学模型。首先 要将任选课和人文课等级转换为百分制作为综合评定的统一标准。 由模糊数学的 方法可依次设 A，B，C，D 四个等级的隶属度分别为 4，3，2，1。采用偏大型柯 西分布和对数函数构造了一个隶属函数：
0.6952
0.0362
1.1086
0.8942
3
将所求参数值带入方程得到的隶属函数如下：
[1 1 . 1086 ( x 0 . 8942 ) 2 ] 1 f (x) 0 . 6952 ln x 0 . 0362
(1 x 3 ) 3 x 4
二、问题分析
1、本题考虑到考查课（任选课和人文课）对学生综合成绩的影响，可运用偏大 型柯西分布和对数函数构造一个隶属函数， 将其等级转化为百分制分数同考试课 （基础课、专业课和必修课）的成绩相结合，再通过两种不同的方法建立两种不 同的数学模型， 可以在引入课程难度系数因子的情况下运用熵权法或者使用平均 学分绩的方法，根据相关数据可以考虑运用 Matlab 软件将学生综合成绩计算出 来并排序，最终评定出获奖人名单； 2、相互比较两种数学模型各自的特点，抉择最优方案，并将模型推广。
6
7
0.0027
0.0051
0.0039
课程 权重
8
9
10
11
12
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0.0008
0.0015
0.0018
0.0022
0.0015
0.0021
0.0025
课程 权重
15
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18
19
20
21
0.0037
0.1122
0.1698
0.2095
0.1754
0.1253
0.1706
由以上结果得， 使用课程学分权重因子和课程难度系数权重因子改进加权算 术平均公式，建立综合成绩计算模型如下:
21
其中， 是六门任选课中每位学生实际学习的课程数目。
7
（3）运用 Matlab 软件进行编程计算出前十名学生的综合评定分数 计算结果如下表所示（程序见附录） ： 学生序号 综合评定分数
70 84 86 30 51 33 10 64 72 13 83.5544 81.0803 80.6002 79.3587 79.2705 78.8620 78.3537 78.1993 78.1891 78.0755
Bj
----第 j 门课的学分
Yj
----第 j 门课的平均分（百分制）
m ----学生的人数
C----难度系数向量
n ----课程数目
j
----课程权重因子
Xi
----第 i 个学生的综合评定分数
2
五、模型建立与求解
奖学金的评定
隶属函数
模型一： 学分权重评定 模型
模型二： 平均学分绩
模型的评价和 推广
j 1 m
度越高，则信息熵越大，反之，一个系统的无序程度越高，则信息熵就越小。 所 以，可以根据各项指标的指标值的差异程度，利用信息熵的这个工具计算出各指 标的权重。 ①数据处理
对该矩阵进行归一化处理：
X ij =( X ij -min{ X ij })/({ X ij }-min{ X ij })，从而得到一个新的矩阵。
三、模型假设
1、奖学金的评定对象是全体学生，且评定过程公平公正； 2、最终仅由综合成绩的评定结果及排名决定奖学金的评选； 3、影响学生综合成绩的各个因素间是相互独立的，且不考虑其他加分等情况； 4、考试课成绩和考查课等级均以百分制计算。
四、符号约定
i ----学生个数
j----课程个数
A ij
----第 i 个学生第 j 门课的得分