长沙理工大学高等数学 练习册 第五章 定积分答案

习题

略

习题— （A ）

一 计算下列定积分

1．⎰20

3cos sin π

xdx x

解：原式23

4

20

11cos cos cos 44xd x x π

π

=-=-=⎰

2．⎰-a dx x a x 0

222

解：令t a x sin =，则tdt a dx cos = 当0=x 时0=t ，当a x =时2

π=

t

原式⎰⋅⋅=20

22cos cos sin π

tdt a t a t a

()⎰⎰-==

20

4

20

2

4

4cos 18

2sin 4

π

π

dt t a tdt a

420

4

4

164sin 41828a t a a π

ππ

=-=

3．⎰

+3

1

2

2

1x

x

dx

解：令θtg x =，则θθd dx 2sec = 当1=x ，3时θ分别为

4π，3

π

原式θθθθ

π

πd tg ⎰=34

22

sec sec

()⎰-=34

2

sin sin π

πθθd

33

2

2-

=

4．⎰

--11

45x

xdx

解：令u x =-45，则2

4145u x -=

，udu dx 2

1-= 当1-=x ，1时，1,3=u 原式()

6

1

5811

32=-=⎰du u 5．⎰

+4

1

1

x dx

解：令t x =，tdt dx 2=

当1=x 时，1=t ；当4=x 时，2=t 原式⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+-=+=⎰⎰⎰

212

121

1212t dt dt t tdt ()[]

3

2

ln

221ln 22

12

1+=+-=t t 6．⎰--1

4

3

1

1x dx

解：令u x =-1，则21u x -=，udu dx 2-= 当1,43=

x 时0,2

1=u 原式2ln 2111

121221

00

21-=-+-=--=⎰⎰du u u du u u

7．⎰

+2

1

ln 1e x

x dx

解：原式()⎰

⎰++=+=221

1

ln 1ln 11ln ln 11e e x d x

x d x

232ln 1221

-=+=e x

8．⎰

-++0

222

2x x dx

解：原式()

()⎰

--+=++=02

22

111x arctg x dx

()2

4

4

11π

π

π

=

+

=--=arctg arctg

9．dx x ⎰

+π

2cos 1

解：原式⎰⎰==π

π

2cos 2cos 2dx x dx x

()⎰⎰-+=ππ

π

2

20

cos 2cos 2dx x xdx

22sin sin 2220=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡-=πππ

x x 10．dx x x ⎰-π

π

sin 4

解：∵x x sin 4为奇函数

∴⎰-=π

π

0sin 4xdx x

11．dx x ⎰-22

4cos 4π

π

解：原式()⎰

⎰=⋅=2

2

2

20

4

cos 22cos 24π

πdx x xdx

()

()

⎰⎰

++=+=20

220

2

2cos 2cos 2122cos 12π

π

dx x x dx x

()⎰

⎰+++=20

20

20

4cos 12cos 22π

π

π

dx x xdx x

⎰+++=20

2

044cos 41

22sin 2π

π

π

πx xd x πππ

23

4sin 412320

=+=x

12．⎰-++5

524

231

2sin dx x x x

x 解：∵1

2sin 2

423++x x x

x 为奇函数 ∴01

2sin 5

524

23=++⎰-dx x x x

x