随机变量的数学期望资料

那么，他立即扩展所期望的利润为
328 2 (80) 3 83.2 (万元)
5
5
9
如果领导人对未来市场的估计不是2:1，而是 3:2，那么，他立即扩展所期望的利润为
328 2 (80) 3 83.2 (万元)
5
5
而推迟扩展所期望的利润为
160 2 16 3 73.6 (万元)
5
5
按此计算结果，则立即扩展较为有利。
解 记 q 1 p , 则 k 个人的混合血样呈阳性的概率为
1 qk ,
用方法(2)验血时,每个人需化验的次数X的概率分布为
11
用方法(2)验血时,每个人需化验的次数X的概率分布为
1
Xk
1 1 k
P qk 1 qk
因此，E( X ) 1 qk (1 1 ) (1 qk ) 1 q k 1 ,
E( X ) xk pk k 1
6
例2 面额为1元的彩票共发行1万张，其中可得奖金 1000元、20元、5元的彩票分别有2张、50张和500 张。若某人购买1张彩票，则他获奖金额X的数学 期望E(X)为多少？
解X P
1000
20
5
0
0.0002 0.005 0.05 0.9448
则 E( X ) 1000 0.0002 20 0.005 5 0.05 0.55 .
8
市场萧条和繁荣的概率分别为2/3和1/3, 如果立即 扩展，则利润的期望值是
328 1 (80) 2 56 (万元)
3
3
如果他决定下一年再扩展，则利润的期望值为
160 1 16 2 64 (万元)
3
3
按此计算结果，自然应当以采取推迟扩展的决策为有利。
如果领导人对未来市场的估计不是2:1，而是3:2，
定理 设随机变量 Y 是随机变量 X 的函数Y g( X ) ，
这里 g 是连续函数，那么
(1)若X是离散型随机变量，且X的概率分布为
P{ X xi } pi ， i 1,2,
则 E(Y ) E[g( X )] g( xi ) pi .
i
(2)若X是连续型随机变量，且其概率密度为 f(x)，
则
E(Y ) E[g( X )] g( x) f ( x)dx .
甲： 8 0.3N 9 0.1N 10 0.6N 9.3 , N
乙： 8 0.2N 9 0.5N 10 0.3N 9.1 , N
可见甲的水平高些。
5
定义 设离散型随机变量X的概率分布为
P{ X xk } pk ，k 1,2,
若级数Βιβλιοθήκη k pk绝对收敛，k 1
则称之为X的数学期望，记为E(X)，即
k
k
k
N个人需化验的次数的数学期望为 例如，
N (1 q k 1 ) , N 1000, k 10, p 0.01 ,
当 qk
1
k
0.9910 0.1 0.804 ,
时 , 就 能 减 少 验 血 次 数.
k
12
二、连续型随机变量的数学期望
定义 设连续型随机变量X的概率密度为f(x),如果积分
术平均方法来确定，还应考虑到它取各不同值的概率大
小，即采用概率权方法，用数学期望来表示随机变量 X 的
平均值。
3
一、离散型随机变量的数学期望
例1 有甲、乙两射手，他们的射击技术如下表：
甲： 击中环数 8 9 10 频率 30% 10% 60%
乙： 击中环数 8 9 10 频率 20% 50% 30%
7
数学期望在经济管理中经常用到，特别是在决策问题中。
例3 假定有一个商业企业面临着是否扩大经营问题， 根据现有资料估计，如果未来的市场繁荣而现在就进
行扩展经营，则一年内可以获利328(万元)；如果未来 市场萧条，则将损失80(万元)。如果这个企业等待下 一年再扩展，在市场繁荣的情况下，将获利160(万元), 而在市场萧条的情况下，则仅能获利16(万元)。现在 的问题是，这个企业的领导人将怎样作出决策？ 解 首先要对未来市场作出适当估计。假定企业领导 人认为未来市场萧条较之市场繁荣是2对1之比，即市 场萧条和繁荣的概率分别为2/3和1/3,因此,如果立即 扩展，则利润的期望值是
问哪一个射手 水平较高？
解 假定各射N枪，则平均每枪所得环数约为
甲： 8 0.3N 9 0.1N 10 0.6N 9.3 , N
4
甲： 击中环数 8 9 10 频率 30% 10% 60%
乙： 击中环数 8 9 10 频率 20% 50% 30%
问哪一个射手 水平较高？
解 假定各射N枪，则平均每枪所得环数约为
xf ( x)dx
绝对收敛，则称之为X的数学期望，记为E(X)，即
E( X ) xf ( x)dx
13
例5 设随机变量X的概率密度函数为
f
(
x)
3x
0
2, ,
0 x1
其它
求X的数学期望。
解
E( X ) xf ( x)dx
1 x 3x2 dx 3 .
0
4
14
三、随机变量的函数的数学期望
10
例4 (一种验血新技术) 在一个人数很多的单位中普 查某种疾病,N个人去验血,有两种方法: (1) 每个人 的血分别化验,共需N次；(2) 把k个人的血样混在一 起化验,如果结果是阴性,那么一次就够了；如果呈 阳性,那么对这k个人的血样再逐次化验,共需k+1次. 假定对所有人来说, 呈阳性的概率为p,且相互独立, 下面说明当p较小时,方法(2)能减少化验的次数.
这一节先介绍随机变量的数学期望.
2
§1 数学期望 (Mathematical Expectation)
对于一个随机变量 X，有时希望知道 X 的取值集中 在哪里，即要确定 X 的平均值。由于其取值是随机的，
如 P{X 1} 0.1 , P{ X 2} 0.9 , 1 和 2 的算术平均值
1.5 并不能真实体现 X 取值的平均水平，这是由于 X 取 1 与取 2 的概率不等所致，实际上 X 取 2 比取 1 的概率大 得多。因此，要真正体现 X 取值的平均，不能用简单算
第四章
1
前面讨论了随机变量的概率分布，它完整地 描述了随机变量的概率性质，而数字特征则是由 概率分布所决定的常数，它刻划了随机变量的某 一方面的性质。在许多实际问题中，分布往往不 易求得或不需求得，而只需了解某些数字特征， 而数字特征往往容易通过数理统计的方法得到。
在这些数字特征中，最常用的是
期望和方差