《计算导数》PPT课件

2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c f(x)＝xα(α∈R＋)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f′(x)＝ 0 . f′(x)＝ αxα－1 . f′(x)＝ cos x . f′(x)＝ －sinx .
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f(x)＝tan x
1 f′(x)＝ cos2x .
原函数 f(x)＝cot x
答案： A
已知函数 f(x)＝xa2－1(a>0)的图象在 x＝1 处的切线为 l， 求 l 与两坐标围成的三角形面积的最小值．
首先利用公式求出在x＝1处的切线斜率，然后求出 切线方程，最后利用不等式性质求面积最值．
[解题过程] ∵f′(x)＝2ax，∴f′(1)＝2a.又 f(1)＝1a－1， ∴f(x)在 x＝1 处的切线 l 的方程是 y－1a＋1＝2a(x－1)． ∴l 与坐标轴围成的三角形的面积 S＝12－1a－1·a＋2 1＝14a＋1a＋2≥14×(2＋2)＝1. 当且仅当 a＝1a，即 a＝1 时， 直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积最小， 最小值为 1.
(2)求平均变化率ΔΔyx＝
fx＋Δx－fx Δx
；
(3)取极限，求导数 f′(x)＝Δlti→m0
Δy Δx
.
1．导函数 一般地，如果一个函数 f(x)在区间(a，b)上的 每一点x 处 都有导数，导数值记为 f′(x)：f′(x)＝Δlti→m0fx＋ΔΔxx－fx， 则 f′(x) 是关于 x 的函数，称 f′(x)为 f(x)的导函数，通常 也简称为导数．
4．求下列函数的导数：
(1)y＝x13；(2)y＝x13；(3)y＝4 x；
(4)y＝log3x；(5)y＝sin
x；(6)y＝ 1 . 5 x2
解析： (1)y′＝(x13)′＝13x13－1＝13x12；
(2)y′＝x13′＝(x－3)′ ＝－3x－3－1＝－3x－4；
(3)y′＝(4 x)′＝x14′＝14x14－1＝14x－34； (4)y′＝(log3x)′＝1x·log3e ＝xln1 3； (5)y′＝(sin x)′＝cos x； (6)y′＝51x2＝x－25′ ＝－25x－25－1＝－25x－75.
[解题过程] ∵sin2π－x＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx， ∴曲线在点 A－3π，12处的切线的斜率为 k＝－sin－3π＝ 23， ∴其切线方程为 y－12＝ 23x＋π3， 即 3 3x－6y＋ 3π＋3＝0.
2.求曲线 y＝sin x 在点 Aπ6，12的切线方程； 解析： y′＝(sin x)′＝cos x，
B．2
C．3
D．4
解析： ∵y′＝nxn－1，
∴y′|x＝2＝n·2n－1＝12. ∴n＝3.
答案： C
2．下列各式中正确的是( )
A．(lnx)′＝x
B．(cosx)′＝sinx
C．(sinx)′＝cosx
答案： C
D．(x－5)′＝－15x－6
3．若y＝10x，则y′|x＝1＝________. 解析： ∵y′＝10xln10， ∴y′|x＝1＝10ln10. 答案： 10ln10
§ 3 计算导数
1.理解导数的概念． 2.掌握导数的定义求法． 3.识记常见函数的导数公式.
1.基本初等函数的导函数求法．(难点) 2.基本初等函数的导函数公式．(重点) 3.指数函数和幂函数的导函数公式．(易混点)
求函数导数的一般步骤： (1)求函数的增量 Δy＝ f(x＋Δx)－f(x) ；
3.已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又 f(2x＋1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30.求g(4)． 解析： 题设中有四个参数a、b、c、d，为确定 它们的值需要四个方程． 由f(2x＋1)＝4g(x)，得 4x2＋2(a＋2)x＋a＋b＋1＝4x2＋4cx＋4d.
(2011·江西卷，4)曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( )
A．1
B．2
C．e
1 D.e
解析： 由y′＝ex，得在点A(0,1)处的切线 的斜率k＝y′|x＝0＝e0＝1，∴选A.
答案： A
求曲线 y＝sin2π－x在点 A－π3，12处的切线方程．
先化简函数的解析式，再利用导数的几何意 义求切线方程．
1.求下列函数的导数 (1)y＝sin34π；(2)y＝log27； (3)y＝x10；(4)y＝x12.
解析： (1)∵y＝sin34π＝ 22，∴y′＝0； (2)∵y＝log27，∴y′＝0； (3)y′＝(x10)′＝10x10－1＝10x9； (4)y′＝(x12)′＝(x－2)′＝－2x－2－1＝－2x－3.
求下列函数的导数： (1)y＝x12；(2)y＝x14； (3)y＝2x；(4)y＝log2x.
利用公式求函数的导数．
[解题过程] 序号 答案
(1) 12x11
(2)
－x45
(3) 2xln 2
(4)
1 xln 2
理由 利用(xα)′＝α·xα－1 得(x12)′＝12x11 首先x14＝x－4 再利用(xα)′＝α·xα－1x14′ ＝(x－4)′＝－x45 利用(ax)′＝axln a 得(2x)′＝2xln 2 利用(logax)′＝xln1 a得(log2x)′＝xln1 2
∴y′|x＝π6＝ 23， ∴切线斜率 k＝ 23， ∴切线方程为 y－12＝ 23x－π6， 化简得：6 3x－12y＋6－ 3π＝0.
(2011·大纲全国卷，8)曲线 y＝e－2x＋1 在点(0,2)处的
切线与直线 y＝0 和 y＝x 围成的三角形的面积为( )
1
1
A.3
B.2
C.23
D．1
解析： ∵y′＝(－2x)′e－2x＝－2e－2x， k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2， ∴切线方程为 y－2＝－2(x－0)， 即 y＝－2x＋2. 如图，∵y＝－2x＋2 与 y＝x 的交点坐标为23，23， y＝－2x＋2 与 x 轴的交点坐标为(1,0)， ∴S＝12×1×23＝13.
f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝lnx
导函数 f′(x)＝ －sin12x .
f′(x)＝ axlna(a>0) .
f′(x)＝ ex .
f′(x)＝
1 xlna(a>0
且
a≠1).
1 f′(x)＝ x .
1．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于( )
A．1