第4章 方程求根的迭代法

' ( x) L
则迭代过程对任意初值x0∈[a,b]均收敛于方程的根x*,且有 下列误差估计式 只要相邻两次 1 x * xk xk 1 xk 迭代值的偏差 1 L 充分小，就能 k L 保证迭代值足 x * xk x1 x0 1 L 够准确。
第4章 方程求根的迭代法
k 2 3 4 5 6 xk 0.54524 0.57970 0.56006 0.57117 0.56486 |xk-xk-1| 0.06129 0.03446 0.01964 0.01111 0.00631 k 7 8 9 10 xk 0.56844 0.56641 0.56756 0.56691 |xk-xk-1| 0.00358 0.00203 0.00115 0.00065
1.89328947 1.89328925 1.89328921 1.89328920 1.89328920 ……
第4章 方程求根的迭代法
2.迭代法收敛的条件 定理1 设 ( x) 在[a,b]上具有连续的一阶导数,且满足下列 两项条件： (1) 对于任意x∈[a,b],总有 ( x)∈[a,b]; (2) 存在0≤L<1,使对于任意x∈[a,b],成立
容易验证，上例迭代18次得到的精度为10-5的结果 为0.56714，本例只要迭代3次即可得到，加速效果明 显.
第4章 方程求根的迭代法
2.埃特金算法 设xk是根x*的某个近似值，用迭代公式校正一次得
xk 1 ( xk )
再迭代一次，得
~ xk 1 ( xk 1 ) x * xk 1 L( x * xk ) x * ~ xk 1 L( x * xk 1 )
1 xk xk 1 (e 0.6 xk ) 1.6
取初值x0=0.5,计算得
k 0 xk 0.5 |xk-xk-1| k 1 xk 0.56658 |xk-xk-1| 0.06658
第4章 方程求根的迭代法
k 2 xk 0.56712 |xk-xk-1| 0.00054 k 3 xk 0.56714 |xk-xk-1| 0.00002
xk 1 ( xk ) (k 0,1,2,...)
如果迭代值xk有极限,则称迭代收敛,这时极限
x* lim xk
k
显然就是原方程的根.
因此,迭代法的设计思想是,将隐式方程的求根问题归结 为计算一组显式公式,是一个逐步显式化的过程.
第4章 方程求根的迭代法
例:求方程 x3-2x-3=0 在[1,2]内的根. 解: 改写原方程为等价方程
显然,收敛阶越高,收敛速度就越快.因此,收敛阶的高低 是衡量迭代法之优劣的一个重要指标.
定理 设 ( x) 在 x ( x) 的根x*邻近有连续的二阶导数,且
' ( x*) 1
则 ' ( x*) 0 时迭代过程为线性收敛;而当 ' ( x*) 0 ,且 ' ' ( x*) 0 时为平方收敛.
第4章 方程求根的迭代法
§2
1.迭代过程的加工 设xk是根x*的某个近似值，用迭代公式校正一次得
xk 1 ( xk )
迭代过程的加速
假设在所考察的范围内 ' ( x) L，则有
x * xk 1 L( x * xk )
由此解出x*得
x* 1 L xk 1 xk 1 L 1 L 1 L xk 1 xk 1 L 1 L
第4章 方程求根的迭代法
§1 §2 §3 §4
迭代过程的收敛性 迭代过程的加速 牛顿法 弦截法
习题
第4章 方程求根的迭代法
§1
1.迭代法的设计思想 先将方程 f(x)=0 转化为等价方程
f ( x) 0 x ( x)
迭代过程的收敛性
迭代 函数 迭代 公式
然后从某个初始近似值x0出发,计算
所以，取近似根 x10 = 0.56691，满足精度要求.
第4章 方程求根的迭代法
3.迭代过程的收敛速度 收敛阶的概念:如果迭代误差 ek=x*-xk 当k→∞时成立
ek 1 c p ek (c 0, c const)
则称迭代过程是p阶收敛的. 特别地， p=1时称线性收敛， p>1时称超线性收敛， p=2时称平方收敛.
xk
, k 0,1,2,...
'( x) e x
对于(x)=e-x ,在x0=0.5附近有(x)= -e-0.5 -0.6 .所以
取初值x0=0.5,计算得
k 0 xk 0.5 |xk-xk-1| k 1 xk 0.60653 |xk-xk-1| 0.10653
第4章 方程求根的迭代法
因此可以期望
xk 1
是更好的近似根.
第4章 方程求根的迭代法
上述计算过程可总结为 迭代 xk 1 ( xk ) 改进 xk 1
1 L xk 1 xk 1 L 1 L
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xk 1
1 [ ( xk ) Lxk ] 1 L
第4章 方程求根的迭代法 例:用加速方法求方程xex-1=0在0.5附近的根. 解:改写方程为x=e-x . 对于(x)=e-x ,在x0=0.5附近有L=(x)= -e-0.5 -0.6 .所 以加速公式为
x 3 2x 3
,建立迭代格式
xk 1 3 2 xk 3, k 0,1,2,...
如果取初值 x0=1.9, 计算得 k xk k xk
0 1 2 3 4 5
1.9 1.89453647 1.89352114 1.89333233 1.89329722 1.89329069
6 7 8 9 10 …
定理2 设 ( x) 在 x ( x)的根x*邻近有连续的一阶导数,且
' ( x*) 1
则迭代过程在x*邻近具有局部收敛性.
第4章 方程求根的迭代法 例:求方程xex-1=0在0.5附近的根,精度要求=10-3.
解:改写方程为x=e-x ,建立迭代格式
xk 1 e
迭代过程收敛.