平面向量的应用---四边形对角线定理

平面四边形对角线定理：在平面四边形ABCD 中, ()()22222AD AB CD CB AC BD ---⋅=

证明如下：取AC 的中点为O 点，则()

AC BD AO OC BD AO BD OC BD ⋅=+⋅=⋅+⋅

()()()()()()()()2222222211=2222

AD AB CD CB AD AB CD CB AB AD AD AB CB CD CD CB ------=+⋅--+⋅-= 所以()()

22222

AD AB CD CB AC BD ---⋅= 例1. 已知平面四边形ABCD ，22=5AD AB -，3BC =，1AC BD ⋅=-，

则CD = . 解析：由平面四边形对角线定理()()22222AD AB CD CB AC BD ---⋅=

可得()()2222259=

==122AD AB CD CB CD AC BD -----+⋅- 所以6CD =.

例2. 在平面四边形ABCD 中，1,4,2,3,AB BC CD DA ====则=AC BD ⋅ .

解析：由平面四边形对角线定理()()

22222AD AB CD CB AC BD ---⋅=

可得()()91416==102

AC BD ---⋅ 例3. 在平面四边形ABCD 中，已知1,2,=10AB CD AC BD ==⋅，则22=AD CB + .

解析：由平面四边形对角线定理()()

22222AD AB CD CB AC BD ---⋅=

可得()()2214=102AD CB AC BD ---⋅=

，所以22=25AD CB + 例4.如图，在四边形ABCD 中，2AB =，

BCD ∆为等比三角形.若=1AC BD ⋅，则AD = . 解析： 由平面四边形对角线定理()()

22222AD AB CD CB AC BD ---⋅=

可得()()2224=12AD CD CB AC BD ---⋅=，因为BC CD =，所以6AD =.

例5.如图，在圆内接四边形ABCD 中，已知对角线BD 为圆的直径

22,1AB AC AD ===，则=AC BD ⋅ .

解析：2222

9AB AD CD BC +==+ 在ACD ∆中，22817cos 22242CD CD DCA CD CD

+-+∠==⨯ 在ADB ∆中，22cos 3

ABD ∠= 因为同弧所对圆周角相等，所以2722342CD CD

+=，解得229,0CD BC ==（舍去）或224932,99

CD BC == 由平面四边形对角线定理()()

22222AD AB CD CB AC BD ---⋅=

可得()493218409929AC BD ⎛⎫---

⎪⎝⎭⋅=

=-