11.1 随机事件与古典概型
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(i)应用公式P(A)= n 求概率的关键是寻求基本事件的总数和待求事件
包含的基本事件的个数.
(ii)基本事件个数的确定方法:
①列举法:此法适用于基本事件较少的古典概型; ②列表法:此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是 坐标法; ③画树状图法:适用于有顺序的问题或较复杂问题中基本事件数的探 求.
A∩B=⌀
若A∩B为不可能事件,而A∪B为必然事件,那 么事件A与事件B互为④ 对立事件
A∩B=⌀且A∪B=U(U为全集)
4.概率的基本性质 (1)任何事件的概率都在0~1之间,即0≤P(A)≤1.必然事件的概率为1,不 可能事件的概率为0. (2)当事件A与事件B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B). (3)对立事件的概率之和为1,即若事件A与事件B对立,则P(A)+P(B)=1.
种,所以所求概率P=
C110 C15 C125
= 10 ,故选B.
21
答案 B
以所求事件的概率P= 4 = 2 ,故选C.
63
答案 C
方法技巧
方法1 随机事件的频率与概率的常见类型及解题策略
1.补全或列出频率分布表.可直接依据已知条件,逐一计数,写出频率. 2.由频率估计概率.可以根据频率与概率的关系,由频率直接估计概率. 3.由频率估计某部分的数值.可由频率估计概率,再由概率估算某部分的 数值.
例1 (2015陕西,19,12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间 为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如 下:
T(分钟)
25
30
35
40
频数(次)
20
30
40
10
(1)求T的分布列与数学期望ET; (2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个50分钟的讲座,结束后 立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120分钟的概率.
(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等.
2.古典概型的概率公式
(1)在基本事件总数为n的古典概型中,每个基本事件发生的概率都是相
1
等的,即每个基本事件的概率都是① n .
A包含的基本事件的个数
(2)对于古典概型,随机事件A的概率为P(A)=②
基本事件的总数
.
知识拓展 (1)对古典概型的理解 古典概型是一种特殊的概率模型,但并不是所有的试验都是古典概型. 一个试验是不是古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点 ——有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概 型.正确判断试验的类型是解决概率问题的关键. (2)古典概型概率的求法
解析 (1)由统计结果可得T的频率分布为
T(分钟)
25
30
35
40
频率
0.2
0.3
0.4
0.1
以频率估计概率得T的分布列为
T
25
30
35
40
P
0.2
0.3
0.4
0.1
从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟). (2)设T1、T2分别表示往、返所需时间,T1、T2的取值相互独立,且与T的 分布列相同.
再利用公式P(A)= nnA 求出事件的概率,这是一个形象、直观的好方法,但
列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏.也可用排列、组合求基本 事件数. 3.求复杂事件的概率问题,关键是理解题目的实际含义,必要时将所求事
件转化为彼此互斥事件的和,或者是先去求对立事件的概率,进而再用 互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率. 4.含有“至多”“至少”等词语的概率问题,从正面突破比较困难或者 比较烦琐时,可考虑其反面,即其对立事件,然后应用对立事件的性质P (A)=1-P( A )进一步求解. 5.求古典概型概率的基本步骤:
例2 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红
球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为
()
A. 5 B. 10 C. 11 D.1
21
21
21
解析 从15个球中任取2个球,取法共有 C125 种,其中恰有1个白球,1个红
球的取法有 C110
× C15
考向突破
考向 等可能事件的概率 例 某单位附近只有甲乙两个临时停车场,它们各有50个车位,为了方 便市民停车,某互联网停车公司对这两个停车场在工作日某些固定时刻 的剩余停车位进行记录,如下表:
时间
8点
甲停车场
10
乙停车场
13
10点 3 4
12点 12 3
14点 6 2
16点 12 6
18点 17 19
并事件 (和事件)
交事件 (积事件)
互斥事件
对立事件
内容解读
表示
若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生, 则称该事件为事件A与事件B的并事件(或和 事件)
A∪B(或A+B)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发 生,则称该事件为事件A与事件B的交事件(或 积事件)
A∩B(或AB)
若A∩B为不可能事件,则称事件A与事件B ③ 互斥
解析 (1)事件“该车主收到甲停车场饱和警报”只有10点这一种情 况,该车主抵达单位共有六种情况,
所以该车主收到甲停车场饱和警报的概率P= 1 .
6
(2)事件“甲停车场比乙停车场剩余车位数少”有8点、10点、18点三 种情况,一共有六个时刻,
所以甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率P= 3 = 1 .
如果表中某一时刻停车场剩余停车位数低于该停车场总车位数的 10%,那么当车主驱车抵达单位附近时,该公司将会向车主发出该停车 场饱和警报. (1)假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性相同,求他收到 甲停车场饱和警报的概率; (2)从这六个时刻中任选一个时刻,求甲停车场比乙停车场剩余车位数 少的概率; (3)当乙停车场发出饱和警报时,求甲停车场也发出饱和警报的概率.
(1)频数与频率:在相同条件S下进行n次试验,观察某一事件A是否出现,
则称在n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;事件A出现
nA
的比例fn(A)=② n 为事件A出现ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ频率.
(2)概率:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数n的增加,事件A发生 的频率fn(A)稳定在某个常数上,则把这个常数记作P(A),称为事件A的概 率. 3.事件的关系与运算 (1)包含关系:一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定 发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B),记作B⊇A(或A ⊆B). (2)相等关系:一般地,若B⊆A且A⊆B,则事件A与事件B相等,记作A=B. (3)几种运算的比较
62
(3)事件“乙停车场发出饱和警报”有10点、12点、14点三种情况, 事件“甲停车场也发出饱和警报”只有10点一种情况, 所以当乙停车场发出饱和警报时,甲停车场也发出饱和警报的概率P=
1 .
3
考向基础
考点二 古典概型
1.古典概型的两个特点
(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
考向突破 考向 古典概型的求解
例 (2016课标Ⅰ文,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花 中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色 和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 5
3
2
3
6
解题导引
解析 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红,黄)、 (红,白)、(红,紫)、(黄,白)、(黄,紫)、(白,紫),共6种,其中红色和紫色的 花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,所
思路分析 (1)用频率估计概率求解;(2)将问题转化为求“刘教授在路 途中的时间不超过70分钟”的概率,可直接求解也可间接来求.
方法2 古典概型的求解方法
1.事件A的概率的计算,关键是分清基本事件总数n与事件A中所含的基 本事件数nA.因此,必须解决好下面三个方面的问题: (1)本试验是不是等可能的; (2)本试验的基本事件有多少个; (3)事件A是什么,它包含多少个基本事件. 2.用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来,然后求出n、nA,
考向基础 1.事件的分类
考点清单
考点一 事件与概率
确定事件 必然事件
一般地,我们把在条件S下,一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件
不可能事件 在条件S下,一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件
随机事件 在条件S下,① 可能发生也可能不发生 的事件叫做相对于条件S的随机事件
2.频率与概率
设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50 分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”. 解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35, T2≤35)+P(T1=40,T2≤30) =0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91. 解法二:P( A )=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2= 40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09. 故P(A)=1-P( A )=0.91.
(i)应用公式P(A)= n 求概率的关键是寻求基本事件的总数和待求事件
包含的基本事件的个数.
(ii)基本事件个数的确定方法:
①列举法:此法适用于基本事件较少的古典概型; ②列表法:此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是 坐标法; ③画树状图法:适用于有顺序的问题或较复杂问题中基本事件数的探 求.
A∩B=⌀
若A∩B为不可能事件,而A∪B为必然事件,那 么事件A与事件B互为④ 对立事件
A∩B=⌀且A∪B=U(U为全集)
4.概率的基本性质 (1)任何事件的概率都在0~1之间,即0≤P(A)≤1.必然事件的概率为1,不 可能事件的概率为0. (2)当事件A与事件B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B). (3)对立事件的概率之和为1,即若事件A与事件B对立,则P(A)+P(B)=1.
种,所以所求概率P=
C110 C15 C125
= 10 ,故选B.
21
答案 B
以所求事件的概率P= 4 = 2 ,故选C.
63
答案 C
方法技巧
方法1 随机事件的频率与概率的常见类型及解题策略
1.补全或列出频率分布表.可直接依据已知条件,逐一计数,写出频率. 2.由频率估计概率.可以根据频率与概率的关系,由频率直接估计概率. 3.由频率估计某部分的数值.可由频率估计概率,再由概率估算某部分的 数值.
例1 (2015陕西,19,12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间 为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如 下:
T(分钟)
25
30
35
40
频数(次)
20
30
40
10
(1)求T的分布列与数学期望ET; (2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个50分钟的讲座,结束后 立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120分钟的概率.
(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等.
2.古典概型的概率公式
(1)在基本事件总数为n的古典概型中,每个基本事件发生的概率都是相
1
等的,即每个基本事件的概率都是① n .
A包含的基本事件的个数
(2)对于古典概型,随机事件A的概率为P(A)=②
基本事件的总数
.
知识拓展 (1)对古典概型的理解 古典概型是一种特殊的概率模型,但并不是所有的试验都是古典概型. 一个试验是不是古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点 ——有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概 型.正确判断试验的类型是解决概率问题的关键. (2)古典概型概率的求法
解析 (1)由统计结果可得T的频率分布为
T(分钟)
25
30
35
40
频率
0.2
0.3
0.4
0.1
以频率估计概率得T的分布列为
T
25
30
35
40
P
0.2
0.3
0.4
0.1
从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟). (2)设T1、T2分别表示往、返所需时间,T1、T2的取值相互独立,且与T的 分布列相同.
再利用公式P(A)= nnA 求出事件的概率,这是一个形象、直观的好方法,但
列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏.也可用排列、组合求基本 事件数. 3.求复杂事件的概率问题,关键是理解题目的实际含义,必要时将所求事
件转化为彼此互斥事件的和,或者是先去求对立事件的概率,进而再用 互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率. 4.含有“至多”“至少”等词语的概率问题,从正面突破比较困难或者 比较烦琐时,可考虑其反面,即其对立事件,然后应用对立事件的性质P (A)=1-P( A )进一步求解. 5.求古典概型概率的基本步骤:
例2 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红
球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为
()
A. 5 B. 10 C. 11 D.1
21
21
21
解析 从15个球中任取2个球,取法共有 C125 种,其中恰有1个白球,1个红
球的取法有 C110
× C15
考向突破
考向 等可能事件的概率 例 某单位附近只有甲乙两个临时停车场,它们各有50个车位,为了方 便市民停车,某互联网停车公司对这两个停车场在工作日某些固定时刻 的剩余停车位进行记录,如下表:
时间
8点
甲停车场
10
乙停车场
13
10点 3 4
12点 12 3
14点 6 2
16点 12 6
18点 17 19
并事件 (和事件)
交事件 (积事件)
互斥事件
对立事件
内容解读
表示
若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生, 则称该事件为事件A与事件B的并事件(或和 事件)
A∪B(或A+B)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发 生,则称该事件为事件A与事件B的交事件(或 积事件)
A∩B(或AB)
若A∩B为不可能事件,则称事件A与事件B ③ 互斥
解析 (1)事件“该车主收到甲停车场饱和警报”只有10点这一种情 况,该车主抵达单位共有六种情况,
所以该车主收到甲停车场饱和警报的概率P= 1 .
6
(2)事件“甲停车场比乙停车场剩余车位数少”有8点、10点、18点三 种情况,一共有六个时刻,
所以甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率P= 3 = 1 .
如果表中某一时刻停车场剩余停车位数低于该停车场总车位数的 10%,那么当车主驱车抵达单位附近时,该公司将会向车主发出该停车 场饱和警报. (1)假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性相同,求他收到 甲停车场饱和警报的概率; (2)从这六个时刻中任选一个时刻,求甲停车场比乙停车场剩余车位数 少的概率; (3)当乙停车场发出饱和警报时,求甲停车场也发出饱和警报的概率.
(1)频数与频率:在相同条件S下进行n次试验,观察某一事件A是否出现,
则称在n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;事件A出现
nA
的比例fn(A)=② n 为事件A出现ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ频率.
(2)概率:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数n的增加,事件A发生 的频率fn(A)稳定在某个常数上,则把这个常数记作P(A),称为事件A的概 率. 3.事件的关系与运算 (1)包含关系:一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定 发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B),记作B⊇A(或A ⊆B). (2)相等关系:一般地,若B⊆A且A⊆B,则事件A与事件B相等,记作A=B. (3)几种运算的比较
62
(3)事件“乙停车场发出饱和警报”有10点、12点、14点三种情况, 事件“甲停车场也发出饱和警报”只有10点一种情况, 所以当乙停车场发出饱和警报时,甲停车场也发出饱和警报的概率P=
1 .
3
考向基础
考点二 古典概型
1.古典概型的两个特点
(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
考向突破 考向 古典概型的求解
例 (2016课标Ⅰ文,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花 中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色 和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 5
3
2
3
6
解题导引
解析 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红,黄)、 (红,白)、(红,紫)、(黄,白)、(黄,紫)、(白,紫),共6种,其中红色和紫色的 花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,所
思路分析 (1)用频率估计概率求解;(2)将问题转化为求“刘教授在路 途中的时间不超过70分钟”的概率,可直接求解也可间接来求.
方法2 古典概型的求解方法
1.事件A的概率的计算,关键是分清基本事件总数n与事件A中所含的基 本事件数nA.因此,必须解决好下面三个方面的问题: (1)本试验是不是等可能的; (2)本试验的基本事件有多少个; (3)事件A是什么,它包含多少个基本事件. 2.用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来,然后求出n、nA,
考向基础 1.事件的分类
考点清单
考点一 事件与概率
确定事件 必然事件
一般地,我们把在条件S下,一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件
不可能事件 在条件S下,一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件
随机事件 在条件S下,① 可能发生也可能不发生 的事件叫做相对于条件S的随机事件
2.频率与概率
设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50 分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”. 解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35, T2≤35)+P(T1=40,T2≤30) =0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91. 解法二:P( A )=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2= 40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09. 故P(A)=1-P( A )=0.91.