数理统计题-第一章(答案)

2 i 1 i 1 i 1
n
n
n
2
即证: n X n X
2
2
显然，左边=右边，得证.
2.设（3,2,3,4,2,3,5,7,9,3）为来自总体 X 的样本，试求经验分布 函数 F10 ( x) . 解：根据定义 函数 Fn ( x) { X 1 ,，X n中小于或等于x的个数} ， - x . 则 n=10. 从而有
（2）解：变形得：
Y2
(X
i 1 mn i m 1
m
m
i
/ )2 / m
i
(X
/ )2 / n
mn
Z1 ( X i / ) 2 ~ 2 ( m ) ， Z 2
i 1
i m 1
(X
i
/ ) 2 ~ 2 ( n)
Z1 , Z 2相互独立 ，则 Y2 ~ F (m, n).
i 1
n
1 (2 )
2 n/2
，b
1 2 2
T , h 只与样本有关， C , b 只与 2 有关
根据定义可知其指数型分布族参数充分完备统计量的构造形式，得 证，即： 4.设总体 是参数 的充分完备统计量。 为来自总体的样本，
， 已知，
证明样本均值 是参数 的充分完备统计量。 证明：样本的联合概率密度函数
0 0.2 0.6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 n
x2 2 x3 3 x 4 4 x5 5 x7 7 x9 x9
Fn ( x)
0.7 0.8 0.9 1
3.设总体 是参数
，
为来自总体的样本，证明
的充分完备统计量。
证明：样本的联合概率密度函数
L( , 2 ) L(0, 2 )
1 (2 2 ) n / 2 1 2 2
第一章
1.试证明： (1) (2) （1）证明：要证明等式成立，将等式左右展开 即证: ;
X i2 2 X i n 2 X i2 2 X i X n X n X 2n X n 2
2 2 i 1 i 1 i 1 i 1
n
n
n
n
即证:
2 X i 2 X i X 2n X 2n X
/ X （
i 1 i mn m
为总体
的一
;(2)
m）
Y1
，其中
i m 1
m
(X
i
/ ) 2 /(n)
Z1 X i （ / m） ~ N (0,1)
i 1
Z2
mn
i m 1
(X
i
/ ) 2 /(n) ~ 2 (n)
且 Z1 ， Z 2 相互独立，则 Y1 ~ t (n) .
L( x1 , x2 ,..., xn ; N , p ) C p
xi N i 1
n

i 1
n
xi
(1 p )
nN
xi
i 1
n
(1 p ) e
nN
n X ln
p 1 p
xi C N i 1
n
n
对比
i 1
n
f ( x1 , ) C ( ) exp{ b j ( )T j ( x1 , x2 ,..., xn )}h(x1 , x2 ,..., xn ) 可
6. 设
为总体
的一个样本， 和
是样本
均值和样本方差，又设 试证明：
，且与
相互独立，
证明： X ~ N ( , 2 / n) ， 又 X n 1与 X 相互独立，
X n 1 X ~ N (0, (1 1 / n) 2 ) ， （X n 1 X） /( (1 1 / n) ) ~ N (0,1) ，
2 i 1 i 1 n n
即证:
2n X 2n X 2n X 2n X
2 2
即证:
2n X 2n X
显然，左边=右边，得证. （2）证明：要证明等式成立，将等式左右展开 即证:
X i2 2 X i X n X X i2 n X
j 1
得：
C ( p ) (1 p ) nN , b n ln
n
p 1 p
xi
T X , h( x1 , x2 ,..., xn ) C N
i 1
根据定义可知其指数型分布族参数充分完备统计量的构造形式， 得证, 即：样本均值 是参数 的充分完备统计量。
5. 设 个样本，试确定下列统计量的分布： (1) （1）解：变形得
2 且nS n / 2 ~ 2 (n 1) ，
则： T 证毕.
（X n 1 X） /( (1 1 / n) )
2 nS n / 2 /(n 1)
~ t (n 1) ,
1 ( 2 )
n
exp{
1 2
2
x
i 1
n
2 i
)
=
exp{
x
i 1
n
2 i
)
又 f ( x1 , ) C ( ) exp{ b j ( )T j ( x1 , x2 ,..., xn )}h(x1 , x2 ,..., xn )
i 1 j 1
n
n
其中 T ( x1 , x2 ,..., xn ) xi2 , h( x1 , x2 ,..., xn ) 1, C (0, 2 )