求曲线的方程

步骤（2），直接列出曲线方程.
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小结：求曲线的方程要注意以下几点：
（1）当题中没给定坐标系时，我们就要适 当地建立坐标系，例如题目中有两垂直直 线，就可以选其做坐标轴。
（2）要仔细分析曲线上动点所满足的 几何条件，挖掘等量关系，寻找动点坐 标所适合的方程。
（3）根据具体条件，有时要注明变量X 与 Y 的变化范围。
变式训练：写出下列半圆的方程
y
y
5
5
y
y
5
5
-5 0
5 x -5 0
5 x -5
x
5x
-5 -5
4
条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0 的解”，
条 件 乙 ： “ 曲 线 C 是 方 程 f (x ， y)=0 的 曲 线 ” ， 则 甲 是B乙 的
(
)
(A)充分非必要条件
(B)必要条件
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解：
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【名师点评】 代入法求轨迹(曲线)方程的基本步骤 为 (1)设点：设所求轨迹上任意点 M(x，y)，设动点(已 知轨迹上的动点)P(x0，y0)． (2) 求 关 系 式 ： 求 出 两 个 动 点 的 关 系 式 x0＝fx，y，

y0＝gx，y. (3)代入：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得 到所求动点的轨迹方程．
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作业： 动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定 点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．
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(C)充要条件
(D)非充分也非必要条件
若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x，y)=0 ”是正确的，
则下列命题中正确的是( D )
(A)方程f(x，y)=0 所表示的曲线是C
(B)坐标满足 f(x，y)=0 的点都在曲线C上
(C)方程f(x，y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线C
(D)曲线C是方程f(x，y)=0的曲线的一部分或是全部
综上所述M,线1A段ABM的1方B1垂法直小平结分线的方程是 x 2y 7 80 .
直接法（轨迹法）求曲线（图形）的方程，一 般有下面注几：个求步哪个骤点：的轨迹，就设哪个点的坐标为（x,y)
(1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数 对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标； (2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)}
曲线与方程及 求方程的曲线
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新课
曲线与方程的关系
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建 立了如下关系：
1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； 2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做 方程的曲线。
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说明
（1）“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” ， 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说
=1 2
即(1,3)
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∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y 3 1 (x 1) .
法二:若─没─有需现要成掌的握结一论般怎性么的办方?法即:轨x迹+22法y-7=70
问题 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程.我们的目标就是要找x与y的关系式
(3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；
(5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点
都在曲线上.（查漏除杂）
说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相
同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，
可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略

x
y
,(x a

a)
.
A
.
B

k MA
kMB


1 2
,
x
y
a

x
y
a


1 2
.
化简，得:x2 2y2 a2 (x a) (1)
由上可知，动点M的轨迹上的任一点的坐标都满足方程 （1）；容易证明，以方程（1）的解为坐标的点都在轨 迹上。所以，方程（1）就是动点M的轨迹方程。 10
轨迹方程.
活用几何性质来找关系
yB
思维漂亮!
(x, y) C
M
0Ax
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直接法（轨迹法）求曲线（图形）的方程，一 般有下面注几：个求步哪个骤点：的轨迹，就设哪个点的坐标为（x,y)
(1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数 对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标； (2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)}
曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外 纯粹性
（2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”
阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏完备性 由曲线与方程的定义可知，如果曲线C的 方程是 f(x，y)=0，那么点P0(x0 ，y0)在 曲线C 上的 充要条件是 f(x0，y0)=0 .
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认识概念
例1 判断下列结论的正误并说明理由 （1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3 对 （2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 错 （3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1 错
∴ x 2y 7 0 (Ⅰ)
⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点
证明
的坐标都是方程 x 2y 7 0 的解;
⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 2 y1 7 0
∵上面变形过程步步可逆,∴ (x1 1)2 (y1 1)2 (x1 3)2 (y1 7)2
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
∴ (x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2 坐标化
∴ x2 2x 1 y2 2y 1 x2 6x 9 y2 14y 49 化简
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例3
1点.已M知满定足点uAuAMuu(r6,01),Mu曲uuBr线,求C:点x2+My的2=轨4迹上方的程动.点B,
2
y
B
O
代入法(坐标转移法):
M x
A(6,0)
特征:所求(从)动点随已知曲线上的(主)动点的变化而变化
方法:用从动点的坐标(x,y)表示主动点的坐标(x0,y0), 然后代入已知曲线方程即的从动点轨迹方程.
(3)坐标化:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；
(5)证明:说明以化简后的方程的解为坐标的点
都在曲线上.（查漏除杂）
说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相
同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，
可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略
化简
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定义法
直接 法
(x 3)2 y2 48
x2 y2 25
Байду номын сангаас13
思考:( P37 练习第 3 题)
如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA
与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB
与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的
解:设点 M 的坐标为(x,y) ∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
FM x2 ( y 4)2
∴ y = x2 ( y 4)2
∴ y2 x2 y2 8 y 16 ∴ x2 8 y 16 这就是所求的轨迹方程.
建立坐标系 设点的坐标
限(找几何条件) 代(把条件坐标化
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求轨迹方程的方法:
(1)直接法（轨迹法）; 适用范围:任何情况 (2)定义法; 适用范围:所给的几何条件中恰好已知曲线
的定义，且可以直接用这些曲线的定义写出这 些曲线的方程。
如:求到点(1,1)的距离等于到直线x+y=1的距离
的点的轨迹方程.
我们虽然知道它的轨迹是抛物线,但是不知道它 的方程的形式,仍然只能用直译法求.
步骤（2），直接列出曲线方程.
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例2、动点M与距离为2a的两个定点A，B的连线 的斜率之积等于-1/2，求动点M的轨迹方程。
解:如图,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线
为y轴,建立平面直角坐标系，则A(-a,0),B(a,0)。
设M(x,y)是轨迹上的任意一点，则
M.
k MA

x
y
,k a MB
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问题 1.
设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.
如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求.
解:∵ kAB 又∵线段
7 (1) 2 ,∴所求直线的斜率 k 3 (1)
AB 的中点坐标是 (1 3 , 1 7)
小结：求曲线的方程要注意以下几点：
（1）当题中没给定坐标系时，我们就要适 当地建立坐标系，例如题目中有两垂直直 线，就可以选其做坐标轴。
（2）要仔细分析曲线上动点所满足的 几何条件，挖掘等量关系，寻找动点坐 标所适合的方程。
（3）根据具体条件，有时要注明变量X 与 Y 的变化范围。
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课堂练习: 练习 1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4) 的距离相等,求点 M 的轨迹方程.