经典课件：2020学年高中数学4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换学案苏教版选修4-4

4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换

1．了解平面直角坐标系中的伸缩变换，能运用伸缩变化进行简单的变换． 2．体会平面直角坐标系中的伸缩变换给图形带来的变化．

[基础·初探]

1．横坐标的伸缩变换

一般地，由⎩

⎪⎨

⎪⎧

kx ＝x ′，

y ＝y ′(k ＞0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着y 轴的伸

缩变换(当k ＞1时，表示伸长；当0＜k ＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k 倍(这里(x ，y )是变换前的点，(x ′，y ′)是变换后的点)．

2．纵坐标的伸缩变换

一般地，由⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝x ′，

ky ＝y ′(k ＞0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着x 轴的伸缩

变换(当k ＞1时，表示伸长；当0＜k ＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的k 倍(这里(x ，y )是变换前的点，(x ′，y ′)是变换后的点)．

3．伸缩变换

一般地，设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：

⎩⎪⎨⎪⎧

x ′＝λx

λ＞0，y ′＝μy

μ＞0

的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直

角坐标系中的坐标伸缩变换，简称为伸缩变换．

[思考·探究]

1．如果x 轴的单位长度保持不变，y 轴的单位长度缩小为原来的12，圆x 2＋y 2

＝4的图

形变为什么图形？伸缩变换可以改变图形的形状吗？那平移变换呢？

【提示】 x 2

＋y 2

＝4的图形变为椭圆：x 2

4

＋y 2

＝1.

伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不改变它的形状． 2．如何理解平面直角坐标系中的伸缩变换？

【提示】 在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响．其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化．如在下列平面直角坐标系中，分别作出f (x ，y )＝0的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍；(3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的1

k

.

第(1)种坐标系中的意思是x 轴与y 轴上的单位长度一样，f (x ，y )＝0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f (x ，y )＝0的图形；第(2)种坐标系中的意思是如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的1

k

，此时f (x ，y )＝0表示的图形与第(1)

种坐标系中的图形是不同的；第(3)种坐标系中的意思是如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的1

k

，此时f (x ，y )＝0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是

不同的．

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________

伸缩变换

对下列曲线进行伸缩变换⎩⎪⎨

⎪

⎧

kx ＝x ′，ky ＝y ′

(k ≠0，且k ≠1)．

(1)y ＝kx ＋b ；

(2)(x －a )2

＋(y －b )2

＝r 2

.

【自主解答】 设P (x ，y )是变换前的点，P ′(x ′，y ′)是变换后的点，由题意，得

⎩

⎪⎨

⎪⎧

kx ＝x ′，

ky ＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1

k x ′，y ＝1

k y ′.

(1)由1k y ′＝k (1

k

x ′)＋b ，y ′＝kx ′＋kb ，得直线y ＝kx ＋b 经过伸缩变换后的方程为

y ＝kx ＋kb ，仍然是一条直线．

当b ＝0时，该直线和原直线重合；当b ≠0时，该直线和原直线平行．

(2)由(1k x ′－a )2＋(1k

y ′－b )2＝r 2，(x ′－ka )2＋(y ′－kb )2＝(kr )2，得圆(x －a )2

＋(y

－b )2＝r 2经过伸缩变换后的方程为(x －ka )2＋(y －kb )2＝(kr )2

，它是一个圆心为(ka ，kb )，半径为|kr |的圆．

[再练一题]

1．在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．

【解】 设变换为⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ′＝λx ，λ＞0

y ′＝μy ，μ＞0，

代入直线方程2x ′－y ′＝4

得：2λx －μy ＝4，即λx －μ

2y ＝2，

比较系数得：

λ＝1，μ＝4，

即直线x －2y ＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x ′－y ′＝4.

伸缩变换的应用

曲线y ＝2sin 3x 变换成曲线y ＝3sin 2x ，求它的一个伸缩变换．

【导学号：】

【思路探究】 设⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ′＝λx

λ＞0，y ′＝μy μ＞0

代入y ′＝3sin 2x ′，所得式再与y ＝2sin

3x 比较即可求λ、μ.

【自主解答】 将变换后的曲线y ＝3sin 2x 改成y ′＝3sin 2x ′.

设伸缩变换⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ′＝λx

λ＞0，y ′＝μy μ＞0，

代入y ′＝3sin 2x ′；

得μy ＝3sin(2λx )

即y ＝3

μ

sin(2λx )，与y ＝2sin 3x 比较系数，

得⎩⎪⎨⎪

⎧

2λ＝3，

3

μ

＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧

λ＝3

2，μ＝3

2，