一类椭圆系统解的存在性

（（ ， ＝ ｎＶＶ ＋ＶＶ） （ ，］ — １）＋ ２）ｄ ｕ ｙ Ｊ（“ 一Ａ ｙ ｄ Ｊｇｕ ｇｕ ）・ ）） ［ Ｕ ） ａ （ （ （
为了后 面证 明的方 便 ， 需要 再 引出文献 ［０ 还 － ］中的一 个定理 ． １ 定理 ０ 设 Ｅ是 一 个 自反 Ｂ ｎ ｃ 间 ， ａ ａｈ空 具有范 数 ｌ Ｉ 令 ｃ Ｅ是 Ｅ的一 个弱 闭子 Ｉ・Ｉ 集． 定泛 函 ，： 一Ｒ Ｕ ｛ ｏ ｝ 制 ， 假 ＋ ｏ强 相对 于 空 间 Ｅ是 弱下半 连续 的 ， Ｊ Ｍ 上有 界 ， 则 在 且
的Ｉ 点 临界
（ ＝ 』Ｉ ｝ Ｉ Ｉ 号 （ ，ｄ—ａＵ ｕ ｛ （ ＋Ｖ。 一 』 Ｕ ） ｆ（ｄ ） ｖ ） Ｕ Ｇ ）， ｄ Ａ
其 中： Ｕ一 ，）∈Ｈ ， 口 ＶＧ（ ＝ （ 】ｕ）ｇ （ ）在 适 当的关于 Ｇ的增长性 条件 下 ， ∽ 是 Ｕ） ｇ （ ，。∽ ． （ 正 定的 ， （ ∈ Ｃ （ ， ）更进 一步 ， 且 ∽ Ｒ ． 对任 意 Ｕ 一 （ ）Ｖ ＝ （ ２ ， ， ，）∈ Ｈ ， 有 还
一 பைடு நூலகம்
？
） 蚋， Ｉ在 ｝ Ｉ
Ｊ
（ １ ）
其 中为 了应用 临界点理 论 ， 假设存 在 函数 Ｇ： Ｒ×Ｒ Ｒ使 得 Ｇ（ ，） （ １ ， ，？ ，） ． — “ 口 ｇ ）ｇ ）
文 献 ［３使用 Ｇｒｅ １ ｅｎ函数 及不 动点 定理 在一 定情 况下 讨论 丁 （） 的存在 性 ． 献 ［， ］ １解 文 ２ ３ 使用 度 数 理论研 究 问题 （）在 不 同条 件 下也 得到 了解 的存 在 性． 时有大 量文 献使 用 ｌ 点理 论 １， 同 临界 讨 论 问题 （）如文 献 ［ ～ ８ ， 中文献 ［ ，］ １， ４ ］其 ７８ 在台 同与非合 同两 种条 件下 ， 当非线性 位势 次二 次 与超 二次 时给 出了解 的存在性 ． 近的文 献 Ｉ］ 究丁 （）的一种 特殊情 况 ： 最 － 研 ９ １ ｇ（， ｌ“ ）＝ ｇ （ 口 ２ ，） … Ｉ 川 。 ，
记 和 竹 ）为如 下问题
的第 一特 征值和 特征 函数 ． Ｐ ｉｃｒ 由 ｏｎａｅ不等式 可 以得到
ｆ ｆ ≥ ＾ｌ Ｉ ， Ｉ ｆ ｉ
对任意 Ｕ ＝ （ ， ）∈ Ｈ．
（） ６
我们寻 求问题 （） 空间 中的弱解 ． 知一个这 样 的弱 解 Ｕ ＝ （，）一定 是下 列泛 函 １在 熟 “
Ｖ０ ８ Ｎｏ Ｌ３ ２
Ａｐｒ ２ ． ００２
文章编号 ；０ ５—０ ９ ２０ ）２０ ０ —５ ４ ５２ ５ （０ ２ ０— ０ ７０
一
类椭 圆 系统解 的存 在性
王 建生 ，安 玉 坤
（． １甘肃中 医学院 公共课部 ，甘肃 兰州 ７０ ０ ； ３ ０ ０ ７０ ７ ） ３０ ０
１ 介 绍与 准备
设 ０Ｃ Ｒ （ ３是一 个有 界光滑 区域 ， 是其 边界 ；，，∈Ｒ为常 数 ． 文研 究如下 二 Ⅳ≥ ） 扣 ａ ６ｃ 本
阶椭 圆系统
一
△ 一 口 “＋ ＋ ｇ ，） 在 ｎ 内 ， ｌ 口， １
“一 口一 ０ 在 加 上 ， ，
“ 口＞ ０ 在 ｎ 内． ， ，
比较 详 细地给 出 了 当 － 次 临界 与 临界情况 下 解的存 在性 及 超 ｌ 时解 的不 存在性 ． 文 Ｉ － 临界 本 的 目的是 将 文献 ［］的 部分结 果 推 广到 一般 情 况 ， ９ 在不 同于 上 列 文献 中的 条件 下 讨论 当非 线 性项 次线性 与超 线性 时问题 （）解 的存在性 ， 用方法 仍然 是 临界点 理论 ． １ 所
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第３ ８卷 第 ２期
２０ ０ ２年 ４月
兰 州 大 学 学 饭 （自 然 科 学 版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｎ ｈ ｕ Ｕｎｖ ｒ ｉ Ｎａｕ ａ ￣ｅ ｃ ｓ ０ ｒ ａ ｏ Ｌａ ｚ ｏ ｉｅ ｓｔ ｙ（ ｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅ ） Ｓ
（ ｙ） ｕ， 一 Ｉ（ｌｌ “口 ＋ ２２ｄ ）ｘ，
（） ２
（， Ｈ ｎ ＋Ｖ２ ） ， ｕｙ Ｊ Ｖ】 Ｉ ｕ ｄ ） （ Ｖ Ｖ ｘ
（ ３ ）
Ｉ 。 ） ， １ （ ＋ ｄ ￡ Ｊ ｘ Ｊ Ｉ －＋Ｉ“ ） ， Ｖ Ｉ Ｖ。 ｄ （ 。 Ｉｘ
收 稿 日期 ： ０ １１—０ ２ ０ —０３．
圩 ＝ Ｈ５ｎ）× Ｈ；０） （ （ ．
作 者简介 ：王建 生（ ３） 男 ， １ ５ ．， 副教授 ９
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８
兰 州 太 学 学 扳 （自 然 科 学 版 ）
第 ３ 卷 ８
对 Ｕ 一 （ ｌ“ ） Ｖ ＝ （ ｌ ２ ， ，２ ， ， ） 定义
２西 北师范大学 数学与信 息科学学院 ，甘肃 兰 州 ． 摘
要； 讨论一类带次线性与超线性项 的二阶椭圆 系统． 利用 临界 点理论 ， 分别在这两种情况下得
到了非平凡解 的存在性． 关键词 ：椭圆系统 ｊ 次线性 ； 线性 ；临界点 超 中 图分类号 ：Ｏ１ ５２ ７ ． 文献标识码 ；Ａ
积 导 出的范数 ． 用 表示 的对偶 空 间 ， 易知 嵌入 ｃ 工ｃ ’连续稠 而且是 紧 的．
ｆ △“＝ 一 ， 在 ０内，
ｌ ＝ ０ ， 在 ａ ０上
（ ４ ） （ ５ ）
则 空 间工和 分别 在 内积 （） （） 下构 成 Ｈｉ ｅｔ 间 ， （ ）（） ２ ，３ 之 ｌ ｒ空 ｂ 而 ４ ，５ 分别是 工， 上 由相应 内
设Ａ ：。 一 二 矩 ，定 足 件 ：ｆ ｝ 个 阶 阵候 满 条 ： 为
（ ）６ ０Ａ 有两个 实特征值 １ ， Ａｏ ＞ ， ， 且设 Ｉ ≤ ２ ．
令 ０ＣＲ （ Ｅ Ⅳ＞３ 是 一 个有界 光滑 区域 ） 引进 以下两 个空 间 Ｌ Ｌ（ ｎ）× Ｌ （ ， 。ｎ）