高三数学第一轮总复习 8.3 抛物线课件(2)

同理可得,当b - 2 时,有b∈［- 4 ,- 3 ］.
-1
34
故直线l在y轴上的截距的取值范围是［-
4 ，-
3
3］∪［ 3
4
4
，4
3
］.
2.设直线x-ay-2=0与抛物线y2=2x相交于相 异两点A、B，以线段AB为直径作圆M.
(1)证明：抛物线的顶点在圆M的圆周上；
(2)求当a为何值时，圆M的面积最小.
y2=2px(p>0)的焦点弦所在的直线交抛物线
于A、B两点，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则
有|AB|=x1+x2+p或
|
AB
|
2p sin
(α为直线AB的
倾斜角)，y1y2=-p2，x1x2=
p2 等.
4
(λ-1)y=2 (x-1)或(λ-1)y＝-2 (x-1).
从而直线l在y轴上的截距为 b 2 或 b 2
-1
-1
因为当λ∈［4,9］时,
b2 -1
2 是减函数，
- 1

故当λ=4时,b= 4；当λ=9时,b= .3
3
4
所以b∈［ 3 ，4 ］.
43
题型5 探究或证明抛物线的有关性质
拓展练习
参考题
1. 过抛物线y2=4x的焦点F作直线l交抛物
线于A、B两点，设 FB AF, 若λ∈［4，9］，
求直线l在y轴上的截距的取值范围.
解：设点A(x1，y1)，B(x2，y2).由已知得 抛物线的焦点为F(1，0).
因为 FB
所以
1. 抛物线的定义反映了抛物线的本质， 灵活利用定义往往可以化繁为简，化难为 易，且思路清晰，解法简捷.巧妙的解法常 常来源于对定义的恰当运用，要很好地体 会.
2. 抛物线的几何性质，要与椭圆、双
曲线加以对照，但由于抛物线的离心率为1，
所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，
而且应用广泛.例如：已知抛物线
解：(1)证明：由

x y
-
2
ay - 2 2x

0
,
可得y2-2ay-4=0.
设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=2a,y1y2=-4,
从而 x1x2

y12 2

y22 2
来自百度文库
( y1 y2 )2 4

4,
所以x1x2+y1y2=0， 即OAOB 0, 所以OA OB, 故点O在圆M上. (2)因为x1+x2=a(y1+y2)+4=2a2+4. 又M是线段AB的中点，所以点M(a2+2，a). 所以| OM | (a2 2)2 a2 a4 5a2 4 2. 当且仅当a=0时取等号,故当a=0时,圆M的面积最小.

1. k
又MN的中点在l上，
所以 x12 x22 -k x1 x2 9 -k 1 9 4.
2
2 2 2k 2
因为中点必在抛物线开口内，
所以 x12 x22 ( x1 x2 )2, 即 4 ( 1 )2 ,
2
2
2k
所以k2> 1 ，则k<- 1 或k> 1 .
第八章
圆锥曲线方程
8.3 抛物线
第二课时
题型4 以抛物线为背景求变量的取值范围
1. 已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M、
N关于直线
y

-kx

9 2
对称，求k的取值范围.
解：设M(x1,x12)、N(x2,x22)关于已知直线l对称，
所以MN⊥l，所以
x12 x1
-
x22 x2

1, k
即
x1 x2
16
4
4
故所求实数k的取值范围是(-∞,- 1)∪( 1,+∞).
4
4
点评：求参数的取值范围问题，关键是得
出参数的不等式(组).本题是根据中点在抛物线
内这一性质，转化为相应不等式.本题还可以根
据直线与抛物线相交问题中，一是有两个解，
二是MN的中点在l上得出.
拓展练习 抛物线x2=2y上距离点A(0,a)(a＞0)

x2 y2
AF
-1 (1 - y1
,
-
所x1) 以①(x2-1,y2)=λ(1-x1,-y1). ②.
由②得y22=λ2y12.
又因为y12=4x1，y22=4x2， 所以x2=λ2x1.③ 联立①③解得x2=λ，依题意有λ>0， 所以B(λ，2 )或B(λ，-2 ).
所以直线l的方程为
最近的点恰好是抛物线的顶点,求a的取值范围. 解：设P(x，y)为抛物线上任意一点，则
| PA | x2 ( y - a)2 2y y2 - 2ay a2
y2 - 2(a -1) y a2 [ y - (a -1)]2 2a -1.
因为a＞0，所以a-1＞-1. 由于y≥0，且|PA|最小时，y=0. 所以-1＜a-1≤0，即0＜a≤1. 故a的取值范围是(0，1］.