数字信号处理第8章 数字信号处理中的误差与量化效应

8.2.1 A-D转换量化噪声的定义
图8-3 A-D转换器的非线性模型 图8-4 A-D转换的统计模型
图8-5 量化噪声概率密度曲线 a) 舍入误差 b)补码截尾误差
(1) 定点舍入情况。
(2) 定点补码截尾情况
1) 信号功率越大，信噪比越高(但信号的幅度不能超过A-D转换器动态范 围)。 2) 随着字长b增加，信噪比增大，字长每增加1位，则信噪比增加约6dB。
8.5.1 滤波网络中系数的量化效应
(1) 极点偏移和系数量化误差大小有关。
如果系统采用定点补码制，尾数采用b位舍入法 处理，那么Δak变化范围为±q/2，q=2-b，均方 误差为q2/12。因此，为减小极点偏移应加大寄 存器的长度。
(2) 极点偏移与系统极点的密集程度有关。
式(8-53)的分母中的每个因子(zi-zL)表示从极点zL 指向极点zi的向量，整个分母是所有极点(不包 括zi极点)指向极点zi的向量之积。极点越密集， 极点间距离越短，必然引起Δzi加大；反之，极 点间距离越大，Δzi越小。
8.1.4 截尾与舍入产生的误差
1.定点截尾 2.定点舍入 3.浮点
1.定点截尾
(1) x>0,不论原、补、反码表示相同。 (2) x<0 ,原码。 (3) x<0,补码。 (4) x<0,反码。
图8-1 定点截尾的量化特性
2.定点舍入
因为舍入处理不论正、负，也不论原、补、反 码，其误差总是在±2-b/2之间，即ER≤2-b/2， 其量化特性如图8-2所示。
第8章 数字信号处理中的误差与量化效应
8.1 二进制算法与运算误差 8.2 A-D转换的量化效应 8.3 FFT定点制运算中的有限字长效应 8.4 FFT浮点制运算中的有限字长效应 8.5 系数量化对数字滤波器的影响 8.6 系数量化对FFT的影响
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8.1 二进制算法与运算误差
8.1.1 8.1.2 8.1.3 8.1.4
定点制的不足是动态范围小，有溢出问题。而 浮点制克服了这个缺点，它有很大的动态范围。 浮点制将一个数表示为 x1=2c1M(8-5)
8.1.3 负数表示法
1.原码 2.补码xc 3.反码x0
1.原码
二进制数的原码表示为x=［βΔβ1β2…βb］2 式 中，βΔ=0 x＞01 x＜0。 与二进制原码表示数对应的十进制数为 x=(-1) β∑bi=1βi2-i
8.4 FFT浮点制运算中的有限字长效应
图8-10 浮点运算统计模型
8.4 FFT浮点制运算中的有限字长效应
图8-11 (i)实部浮点运算统计模型
8.5 系数量化对数字滤波器的影响
8.5.1 滤波网络中系数的量化效应 8.5.2 滤波网络中运算的量化效应
8.5.1 滤波网络中系数的量化效应
(1) 极点偏移和系数量化误差大小有关。 (2) 极点偏移与系统极点的密集程度有关。 (3) 极点的偏移与滤波器的阶数N有关，阶数越高系数量化效应的影响越 大，极点偏移也越大。
(3) 极点的偏移与滤波器的阶数N有关
阶数越高系数量化效应的影响越大，极点偏移 也越大。为此，二阶以上的滤波器，最好不要 用直接型结构，而用一阶或二阶的基本网络进 行级联或并联来实现。
8.5.2 滤波网络中运算的量化效应
1.IIR滤波器的运算量化效应 2.FIR数字滤波器的运算量化效应
1.IIR滤波器的运算量化效应
8.3.1 输出信噪比 8.3.2 改善信噪比的方法
8.3.1 输出信噪比
图8-7 基本蝶形定点舍入运算的统计模型
8.3.1 输出信噪比
图8-8 与x(3)计算相关的蝶形
8.3.2 改善信噪比的方法
图8-9 乘1/2因子的蝶形统计模型
8.4 FFT浮点制运算中的有限字长效应
(1) 所有误差源与信号x(n)不相关，都是彼此独立，白色、等概率分布，具 有相同方差，因此 (2) x(n)是白色，实、虚部方差相同，且同一级各节点方差相同，即
图8-2 定点舍入的量化特性
3.浮点
在浮点制中截尾与舍入的处理只受尾数字长影 响，但所产生的绝对误差E=Q［x］-x却与阶码 有关。
8.2 A-D转换的量化效应
8.2.1 A-D转换量化噪声的定义 8.2.2 量化噪声通过线性系统
8.2.1 A-D转换量化噪声的定义
A-D转换器是将模拟输入信号转换为b位二进制数字信号。分析A-D转换器 量化效应的目的在于选择合适的字长，以满足信噪比指标。一个A-D转换 器从功能上讲可以分为两部分：取样器与量化器。 (1) 定点舍入情况 (2) 定点补码截尾情况
8.2.2 量化噪声通过线性系统
(1) 系统是完全理想无限精度的线性系统，其单位取样响应为h(n)。 (2) e(n)为舍入量化噪声，均值0。
(1) 系统是完全理想无限精度的线性系统，其单位取 样响应为h(n)。
图8-6 量化噪声通过线性系统
(2) e(n)为舍入量化噪声，均值0。
8.3 FFT定点制运算中的有限字长效应
定点制表示及运算误差 浮点制表示及运算误差 负数表示法 截尾与舍入产生的误差
8.1.1 定点制表示及运算误差
小数点在数码中的位置是固定不变的，称为定 点制。通常定点制把数限制在±1之间，即-1<x< 1。将整数的最后一位作为“符号位”，表示数 的正或负，在其后是小数部分，也称“尾数”。
8.1.2 浮点制表示及运算误差
2.补码xc
补码是用2的补数xc表示负数，xc的十进制的数 值计算公式为xc=2-x=2+x，则二进制负数的补码 一般表示为xc=［αΔα1α2…αb］2，式中αΔ=1。 对应的十进制数值为xc=-αΔ+∑bi=1αi2-i(8-6)
3.反码x0
二进制负数的反码表示除符号位为1外，其余将 该数正值二进制数表示取反，即0改为1，1改为 0。二进制负数的反码表示为 x0=［γΔγ1γ2…γb］ 2，式中γΔ=1。
1.IIR滤波器的运算量化效应
1.IIR滤波器的运算量化效应
图8-12 直接型舍入噪声统计模型
2.FIR数字滤波器的运算量化效应
(1) 舍入噪声不经过系统，所以输出噪声与系统的参数无关。 (2) 输出噪声方差与字长b(q=2-b)有关，b越大，输出噪声方差越小。 (3) 输出噪声方差与阶数N(单位冲激响应长度)有关。