高三复数复习专题

高三复数专题复习:

一、复数的概念及运算:

1、复数的概念:(1)虚数单位i ; (2)实部:z Re ,虚部:z Im ;

(3)复数的分类(bi a z +=)()⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧∈⎩⎨

⎧≠=≠⎩⎨⎧=R b a a a b b ,)0()0()0()0(非纯虚数纯虚数虚数无理数有理数

实数;

(4)相等的复数:

2、复数的加、减、乘、除法则: (1)加减法具有交换律与结合律;

(2)乘法具有交换律、结合律、分配律; (3)除法:

)0(2

222≠++-+++=++di c i d c ad

bc d c bd ac di c bi a 。 3、复数的共轭与模:

(1)z z R z =⇔∈;z 就是纯虚数z z -=⇒,反之不成立;

(2)复数bi a z +=与点()b a Z ,就是一一对应关系,另:z 与z 关于x 轴对称,z 表示z 对应点与原点的距离。

4、复数共轭运算性质:2

12121212121,,z z z z z z z z z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅+=+; 5、复数模的运算性质:n n z z z z z z z z z z z z =≠==),0(,22

121121。 6、复数的模与共轭的练习:z z z ⋅=2

。 7、 重要结论

（1） 对复数z 、1z 、2z 与自然数m 、n,有

n m n m z z z +=•,mn n m z z =)(,n

n n z z z z 2121)(•=•

(2) i i =1,12-=i ,i i -=3,14

=i ; 11

4=+n i

,124-=+n i ,i i n -=+34,14=n i 、

(3) i i 2)1(2

±=±,i i i -=+-11,i i

i

=-+11、 (4)

设

2

31i +-=

ω,ϖω=2,ωω=2,012

=++ωω,n n 33ωω=,021=++++n n n ωω

ω

8、一些几何结论的复数形式

()()().

0,,,,)4(.Im 2

1

)3(.

3sin 3cos 0.3;

.2;

.1)2().

()1(242314134321121232132123132212322211332213213123,2,1≠∈⋅--=----=

∆⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+==+-++=++-=-=-∆∈=--λλλππωωωλλR z z z

z z z z z z z z z z z z z S S Z Z Z i z z z z z z z z z z z z z z z z z z Z Z Z R z z z

z Z Z Z z

：四点共圆的充要条件是复平面上表示为的面积为复平面上是等价的）是（有三种形式，它们为正三角形的充要条件复平面上三点共线的充要条件是，，复平面上

二、复数的三角形式: 1、复数的三角形式概念:

;

sin ,cos ,),sin (cos ,12

2

r

b r a b a r i r z bi a z ==+=+=+=θθθθ其中：式：都可以改写成复数的形个复数任何

2、复数的三角形式的乘法公式:

()()[]βαβαββααββαα+++=+⋅+=⋅+=+=sin cos )sin (cos )sin (cos )

sin (cos ),sin (cos 2121212211i r r i r i r z z i r z i r z 则，设复数

即:两个复数相乘,积的模等于两个复数的模之积,积的辐角等于两个复数的辐角之与。

()()[]

n n n n n n n i r r r r i r i r i r i r z z z z θθθθθθθθθθθθθθθθ +++++++=++⋅+⋅+=321321321333222111321sin cos )

sin (cos )sin (cos )sin (cos )sin (cos ；有限个复数相乘的情况上述结论，可以推广到

3、复数的三角形式的乘方公式(棣莫佛定理)

[])sin (cos )sin (cos ααααn i n r i r n n +=+

即:复数的n(n ∈N)次幂的模等于模的n 次幂,辐角等于这个复数的辐角的n 倍,这个定理称为

棣莫佛定理。

4、复数的三角形式的除法公式

()()()()()()[].

sin cos sin cos sin cos ;

sin cos ,sin cos 2

1

21212211βαβαββααββαα-+-=++=+=+=i r r i r i r z z i r z i r z 则：设 即:两个复数像除,商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角。

三、复数中的方程问题:

1、实系数一元二次方程的根的情况:

对方程02

=++c bx ax (其中R c b a ∈,,且0≠a ),令ac b 42

-=∆,

当0>∆时,方程有两个不相等的实数根。 当∆=0时,方程有两个相等的实根; 当0<∆时,方程有两个共轭虚根:2

,221i

b x i b x ∆---=∆-+-=。

2、复系数一元二次方程根的情况: 对方程a

b x

c bx ax 2,02

的平方根∆+-=

=++;

3、一元二次方程的根与系数的关系:

若方程02=++c bx ax (其中R c b a ∈,,且0≠a )的两个根为21x x 、,则⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

-=+a c

x x a b x x 2121;

四、例题精选

例1:已知4032322

2

=--+++i z i z ,求z ;

例2:已知()()

10

4

232212343i

i i z -⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛---=,求z ;

例3:设z 为虚数,z

z 1

+

=ω为实数,且21<<-ω。 (1)求z 的值及z 的实部的取值范围; (2)证明:z

z

u +-=11为纯虚数;

例4:已知关于t 的方程)(022

R a a t t ∈=+-有两个根21t t 、,且满足3221=-t t 。 (1)求方程的两个根以及实数a 的值;

(2)当0>a 时,若对于任意R x ∈,不等式(

)

k mk k a x a 22log 2

2

-+-≥+对于任意的