符号方程求解

MATLAB7.0中的符号计算可以求解线性方程（组）、代数方程的符号解、非线性符号方程（组）、常微分方程（组），求解这些方程（组）是通过调用solve函数实现的，如求解代数方程的符号解调用solve函数的格式是solve('eq')、solve('eq','v')、
[x1,x2,…xn]=solve('eq1','eq2',…'eqn')等，求解非线性符号方程是调用优化工具箱的fsolve函数，调用格式有 fsolve(f,x0)、fsolve(f,x0,options)、
[x,fv]=fsolve(f,x0,options,p1,p2…)等，而解常微分方程（组）则是调用dsolve函数，调用的格式有[x1,x2,…]=dsolve('eq1,eq2,…','cond1,cond2…','v')。

现将各函数的调用格式列于下表（表5—1），在各个实例中说明各种格式的用法。

表5—1 符号方程求解的solve函数调用格式
一、代数方程的符号解
MATLAB7.0中求代数方程的符号解是通过调用solve函数实现的。

用solve函数求解一个代数方程时的调用格式一般是：
solve（'代数方程','未知变量'）或x=solve（'代数方程','未知变量'）
当未知变量为系统默认变量时，未知变量的输入可以省略。

当求解由n个代数方程组成的方程组时调用的格式是：
[未知变量组]=solve('代数方程组'，'未知变量组')
未知变量组中的各变量之间，代数方程组的各方程之间用逗号分隔，如果各未知变量是由系统默认的，则未知变量组的输入可以省略。

实例1、求解高次符号方程和方程对y的解。

>> syms x y z a b %定义符号变量
>> solve(x^4-3*a*x^2+4*b) %求解高次方程
ans =
1/2*(6*a+2*(9*a^2-16*b)^(1/2))^(1/2)
-1/2*(6*a+2*(9*a^2-16*b)^(1/2))^(1/2)
1/2*(6*a-2*(9*a^2-16*b)^(1/2))^(1/2)
-1/2*(6*a-2*(9*a^2-16*b)^(1/2))^(1/2)
>> solve(x^3+2*a*x*y-3*b*y^2,y) %对指定变量求解方程
ans =
1/6/b*(2*a+2*(a^2+3*b*x)^(1/2))*x
1/6/b*(2*a-2*(a^2+3*b*x)^(1/2))*x
实例2、求解多元高次方程组
>> [x,y]=solve('x^3+2*x*y-3*y^2-2','x^3-3*x*y+y^2+5') %求解多元高次方程组
x =
1.8061893129091900210106914427639+1.1685995398225344682988775209345*i
.51233671712308192620449202726936+1.0694475803263816285960240820218*i -1.2247760300322719472151834700333+.35066213508454219362158900429401*i -1.2247760300322719472151834700333-.35066213508454219362158900429401*i .51233671712308192620449202726936-1.0694475803263816285960240820218*i 1.8061893129091900210106914427639-1.1685995398225344682988775209345*i y =
1.8086294126483514370835126464657+1.9432962587476317909683476452237*i .17307087932198664953847299268063-.78620181218420502898925154555661*i -.61451279197033808662198563914677-.89207785198625780793629825881329*i -.61451279197033808662198563914677+.89207785198625780793629825881329*i .17307087932198664953847299268063+.78620181218420502898925154555661*i 1.8086294126483514370835126464657-1.9432962587476317909683476452237*i 实例3、求解方程组的解。

>> [x,y,z]=solve('x-2*y-4','x^2-2*x*y+y-z','x^2-y*z+z')
x =
29/5-1/5*721^(1/2)
29/5+1/5*721^(1/2)
y =
9/10-1/10*721^(1/2)
9/10+1/10*721^(1/2)
z =
241/10-9/10*721^(1/2)
241/10+9/10*721^(1/2)
实例4、求解超越方程的解。

>> solve('x*2^x-1') %求解超越方程
ans =
1/log(2)*lambertw(log(2))
注：lambertw是一个函数，lambertw(x)表示方程w*exp(w) = x的解w。

其数值可以在命令窗口输入该函数得到。

>> lambertw(log(2))
ans =
0. 4444
二、符号线性方程（组）的求解
符号线性方程（组）的求解与数值线性方程（组）的求解方法相同，采用矩阵左除或函数linsolve，格式为：X=AB 或 X=sym(A)sym(B) 或X=linsolve(A,B)。

其中A为线性方程组的系数矩阵，B为方程右侧的常数列矩阵。

实例5、求符号线性方程组的符号解。

>> A=sym('[1 2 3;-1 9 2;2 0 3]'); %定义符号矩阵A
>> B=[a;b;1]; %定义符号矩阵B
>> x=AB %求解方程
x =
6/13*b+23/13-27/13*a
3/13*b+5/13-7/13*a
-4/13*b-11/13+18/13*a
三、非线性符号方程的求解
非线性符号方程（组）F（X）=0中X是一个向量，求解显示的结果也是一个向量。

它不仅可以用调用solve函数求解，也可以调用函数fsolve求解，而函数fsolve不是MATLAB符号工具箱的函数，它位于优化工具箱内。

实例6、求解非线性符号方程组，用solve函数和fsolve函数起始点为x0=[0;0]各自求解。

（1）solve函数求解
>> syms x1 x2 %定义符号变量
>> [x1,x2]=solve('x1-3*x2=sin(x1)','2*x1+x2=cos(x2)','x1','x2') %求解方程组
x1 =
.49662797440907460178544085171994
x2 =
.67214622395756734146654770697884e-2
（2）fsolve函数求解
先在文件编辑窗口编写如下M文件，并存于系统的work目录下。

function F=myfun(x)
F=[x(1)-3*x(2)-sin(x(1));2*x(1)+x(2)-cos(x(2))];
然后在命令窗口求解：
>> x0=[0;0]; %设定求解初值
>> options=optimset('Display','iter'); %设定优化条件
>> [x,fv]=fsolve(@myfun,x0,options) %优化求解
%MATLAB显示的优化过程
Norm
of First-order Trust-region
Iteration Func-count f(x) step optimality radi us
0 3 1 2 1
1 6 0.000423308 0.5 0.0617 1
2 9 5.17424e-010 0.0075143
3 4.55e-005 1.25
3 12 9.99174e-022 1.15212e-005 9.46e-011 1.25
Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun.
x =
0.4966
0.0067
fv =
1.0e-010 *
0.3161
0.0018
四、常微分方程的符号解
含有自变量、未知函数和未知函数导数（或微分）的等式叫微分方程。

描述自变量与函数关系的等式叫微分方程的初始条件。

适合微分方程的函数叫微分方程的解。

没有初始条件而求得的解叫微分方程的通解，通解中会包含有与方程阶数相同个数的积分常数C1、C2等；有初始条件且满足初始条件的解叫微分方程的特解，特解一般不含有积分常数。

在MATLAB中，用dsolve函数求解微分方程或微分方程组，dsolve函数参数的输入共有三部分，微分方程、初始条件和自变量。

格式是：
dsolve('微分方程','初始条件'，'自变量')
微分方程部分的输入与MATLAB符号表达式的输入基本相同，微分或导数的输入是用Dy、D2y、D3y、…来表示y的一阶导数或、二阶导数或、三阶导数或、…。

如果自变量是系统默认的，则自变量输入部分可省略。

dsolve函数的输出部分是该方程（组）的解列表，如果dsolve函数找不到解析解，则系统显示一则错误信息。

实例7、求解微分方程组在无初始条件和有初始条件下的解。

（1）无初始条件求解
>> [x,y]=dsolve('D2x+Dy+3*x=cos(2*t)','D2y-4*Dx+3*y=sin(2*t)','t')
x =
1/5*cos(2*t)-1/2*C1*cos(t)+1/2*C2*sin(t)+1/2*C3*cos(3*t)-1/2*C4*sin(3*t)
y =
3/5*sin(2*t)+C1*sin(t)+C2*cos(t)+C3*sin(3*t)+C4*cos(3*t)
（2）有初始条件求解
>>
[x,y]=dsolve('D2x+Dy+3*x=cos(2*t)','D2y-4*Dx+3*y=sin(2*t)','Dx(0)=1/5','x(0)=0' ,'Dy(0)=6/5','y(0)=0','t')
x =
1/5*cos(2*t)-3/20*cos(t)+1/20*sin(t)-1/20*cos(3*t)+1/20*sin(3*t)
y =
3/5*sin(2*t)+3/10*sin(t)+1/10*cos(t)-1/10*sin(3*t)-1/10*cos(3*t)
/s/blog_622ef24f0100qygc.html。