Probability Distribution-概率及概率分布
概率及其分布与二项分布
概率的加法定理
? 若事件Ａ发生，则事件Ｂ就一定不发生， 这样的两个事件为互不相容事件。
? 两互不相容事件 和的概率，等于这两个
事件概率之和，即
P ?P ?P
( A? B )
( A)
(B)
（6．3）
A
B
P( A1 ? A2 ?? An ) ? P?A1 ? ? P?A2 ? ? ? ? P?An ? （6．4）
例３：从男生占２/５的学校中随机抽取６ 个学生，问正好抽到４个男生的概率是多 少？最多抽到２个男生的概率是多少？
解：将n=6，p=2/5 ，q=3/5，X=4代入 （6．7）式，则恰好抽到 4个男生的概率为
P( 4 )
?
C64
?p4 ?q2
?
6!
?
??
2
4
? ?
?
??
3
2
? ?
4!? 2! ? 5 ? ? 5 ?
计算
? 抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题 的概率和抽到第二题的概率之和，即
P?A? B? ?
P?A ? ?
P?B? ?
1? 5
1 5
?
2 5
? 四个学生都抽到第一题即四个学生同时抽到第
一题，其概率应为抽到第一题的概率的乘积，即
P?A1 ?A2 ?A3 ?A4 ??
1? 5
1? 5
1? 5
1 5
一、概率的定义
? 后验概率（或统计概率）
? 随机事件的频率
m W( A) ? n
? 当n无限增大时，随机事件 A的频率会稳定在
一个常数 P，这个常数就是随机事件 A的概率。
P?A? ?
Lim
n? ?
概率与统计英语
《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文Probability theory 概率论mathematical statistics 数理统计deterministic phenomenon 确定性现象random phenomenon 随机现象sample space 样本空间random occurrence 随机事件fundamental event 基本事件certain event 必然事件impossible event 不可能事件random test 随机试验incompatible events 互不相容事件frequency 频率classical probabilistic model 古典概型geometric probability 几何概率conditional probability 条件概率multiplication theorem 乘法定理Bayes's formula 贝叶斯公式Prior probability 先验概率Posterior probability 后验概率Independent events 相互独立事件Bernoulli trials 贝努利试验random variable 随机变量probability distribution 概率分布distribution function 分布函数discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布Poisson distribution 泊松分布geometric distribution 几何分布probability density 概率密度continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望variance 方差moment 矩central moment 中心矩n-dimensional random variable n-维随机变量two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布joint distribution law 联合分布律joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律boundary distribution function 边缘分布函数exponential distribution 二维指数分布continuous random variable 二维连续随机变量joint probability density 联合概率密度boundary probability density 边缘概率密度conditional distribution 条件分布conditional distribution law 条件分布律conditional probability density 条件概率密度covariance 协方差dependency coefficient 相关系数normal distribution 正态分布limit theorem 极限定理standard normal distribution 标准正态分布logarithmic normal distribution 对数正态分布covariance matrix 协方差矩阵central limit theorem 中心极限定理Chebyshev's inequality 切比雪夫不等式Bernoulli's law of large numbers 贝努利大数定律statistics 统计量simple random sample 简单随机样本sample distribution function 样本分布函数sample mean 样本均值sample variance 样本方差sample standard deviation 样本标准差sample covariance 样本协方差sample correlation coefficient 样本相关系数order statistics 顺序统计量sample median 样本中位数sample fractiles 样本极差sampling distribution 抽样分布parameter estimation 参数估计estimator 估计量estimate value 估计值unbiased estimator 无偏估计unbiassedness 无偏性biased error 偏差mean square error 均方误差relative efficient 相对有效性minimum variance 最小方差asymptotic unbiased estimator 渐近无偏估计量uniformly estimator 一致性估计量moment method of estimation 矩法估计maximum likelihood method of estimation 极大似然估计法likelihood function 似然函数maximum likelihood estimator 极大似然估计值interval estimation 区间估计hypothesis testing 假设检验statistical hypothesis 统计假设simple hypothesis 简单假设composite hypothesis 复合假设rejection region 拒绝域acceptance domain 接受域test statistics 检验统计量linear regression analysis 线性回归分析1 概率论与数理统计词汇英汉对照表Aabsolute value 绝对值accept 接受acceptable region 接受域additivity 可加性adjusted 调整的alternative hypothesis 对立假设analysis 分析analysis of covariance 协方差分析analysis of variance 方差分析arithmetic mean 算术平均值association 相关性assumption 假设assumption checking 假设检验availability 有效度average 均值Bbalanced 平衡的band 带宽bar chart 条形图beta-distribution 贝塔分布between groups 组间的bias 偏倚binomial distribution 二项分布binomial test 二项检验Ccalculate 计算case 个案category 类别center of gravity 重心central tendency 中心趋势chi-square distribution 卡方分布chi-square test 卡方检验classify 分类cluster analysis 聚类分析coefficient 系数coefficient of correlation 相关系数collinearity 共线性column 列compare 比较comparison 对照components 构成，分量compound 复合的confidence interval 置信区间consistency 一致性constant 常数continuous variable 连续变量control charts 控制图correlation 相关covariance 协方差covariance matrix 协方差矩阵critical point 临界点critical value 临界值crosstab 列联表cubic 三次的，立方的cubic term 三次项cumulative distribution function 累加分布函数curve estimation 曲线估计Ddata 数据default 默认的definition 定义deleted residual 剔除残差density function 密度函数dependent variable 因变量description 描述design of experiment 试验设计deviations 差异df.(degree of freedom) 自由度diagnostic 诊断dimension 维discrete variable 离散变量discriminant function 判别函数discriminatory analysis 判别分析distance 距离distribution 分布D-optimal design D-优化设计Eeaqual 相等effects of interaction 交互效应efficiency 有效性eigenvalue 特征值equal size 等含量equation 方程error 误差estimate 估计estimation of parameters 参数估计estimations 估计量evaluate 衡量exact value 精确值expectation 期望expected value 期望值exponential 指数的exponential distributon 指数分布extreme value 极值Ffactor 因素，因子factor analysis 因子分析factor score 因子得分factorial designs 析因设计factorial experiment 析因试验fit 拟合fitted line 拟合线fitted value 拟合值fixed model 固定模型fixed variable 固定变量fractional factorial design 部分析因设计frequency 频数F-test F检验full factorial design 完全析因设计function 函数Ggamma distribution 伽玛分布geometric mean 几何均值group 组Hharmomic mean 调和均值heterogeneity 不齐性histogram 直方图homogeneity 齐性homogeneity of variance 方差齐性hypothesis 假设hypothesis test 假设检验Iindependence 独立independent variable 自变量independent-samples 独立样本index 指数index of correlation 相关指数interaction 交互作用interclass correlation 组内相关interval estimate 区间估计intraclass correlation 组间相关inverse 倒数的iterate 迭代Kkernal 核Kolmogorov-Smirnov test柯尔莫哥洛夫-斯米诺夫检验kurtosis 峰度Llarge sample problem 大样本问题layer 层least-significant difference 最小显著差数least-square estimation 最小二乘估计least-square method 最小二乘法level 水平level of significance 显著性水平leverage value 中心化杠杆值life 寿命life test 寿命试验likelihood function 似然函数likelihood ratio test 似然比检验linear 线性的linear estimator 线性估计linear model 线性模型linear regression 线性回归linear relation 线性关系linear term 线性项logarithmic 对数的logarithms 对数logistic 逻辑的lost function 损失函数Mmain effect 主效应matrix 矩阵maximum 最大值maximum likelihood estimation 极大似然估计mean squared deviation(MSD) 均方差mean sum of square 均方和measure 衡量media 中位数M-estimator M估计minimum 最小值missing values 缺失值mixed model 混合模型mode 众数model 模型Monte Carle method 蒙特卡罗法moving average 移动平均值multicollinearity 多元共线性multiple comparison 多重比较multiple correlation 多重相关multiple correlation coefficient 复相关系数multiple correlation coefficient 多元相关系数multiple regression analysis 多元回归分析multiple regression equation 多元回归方程multiple response 多响应multivariate analysis 多元分析Nnegative relationship 负相关nonadditively 不可加性nonlinear 非线性nonlinear regression 非线性回归noparametric tests 非参数检验normal distribution 正态分布null hypothesis 零假设number of cases 个案数Oone-sample 单样本one-tailed test 单侧检验one-way ANOVA 单向方差分析one-way classification 单向分类optimal 优化的optimum allocation 最优配制order 排序order statistics 次序统计量origin 原点orthogonal 正交的outliers 异常值Ppaired observations 成对观测数据paired-sample 成对样本parameter 参数parameter estimation 参数估计partial correlation 偏相关partial correlation coefficient 偏相关系数partial regression coefficient 偏回归系数percent 百分数percentiles 百分位数pie chart 饼图point estimate 点估计poisson distribution 泊松分布polynomial curve 多项式曲线polynomial regression 多项式回归polynomials 多项式positive relationship 正相关power 幂P-P plot P-P概率图predict 预测predicted value 预测值prediction intervals 预测区间principal component analysis 主成分分析proability 概率probability density function 概率密度函数probit analysis 概率分析proportion 比例Qqadratic 二次的Q-Q plot Q-Q概率图quadratic term 二次项quality control 质量控制quantitative 数量的，度量的quartiles 四分位数Rrandom 随机的random number 随机数random number 随机数random sampling 随机取样random seed 随机数种子random variable 随机变量randomization 随机化range 极差rank 秩rank correlation 秩相关rank statistic 秩统计量regression analysis 回归分析regression coefficient 回归系数regression line 回归线reject 拒绝rejection region 拒绝域relationship 关系reliability 可靠性repeated 重复的report 报告，报表residual 残差residual sum of squares 剩余平方和response 响应risk function 风险函数robustness 稳健性root mean square 标准差row 行run 游程run test 游程检验Ssample 样本sample size 样本容量sample space 样本空间sampling 取样sampling inspection 抽样检验scatter chart 散点图S-curve S形曲线separately 单独地sets 集合sign test 符号检验significance 显著性significance level 显著性水平significance testing 显著性检验significant 显著的，有效的significant digits 有效数字skewed distribution 偏态分布skewness 偏度small sample problem 小样本问题smooth 平滑sort 排序soruces of variation 方差来源space 空间spread 扩展square 平方standard deviation 标准离差standard error of mean 均值的标准误差standardization 标准化standardize 标准化statistic 统计量statistical quality control 统计质量控制std. residual 标准残差stepwise regression analysis 逐步回归stimulus 刺激strong assumption 强假设stud. deleted residual 学生化剔除残差stud. residual 学生化残差subsamples 次级样本sufficient statistic 充分统计量sum 和sum of squares 平方和summary 概括，综述Ttable 表t-distribution t分布test 检验test criterion 检验判据test for linearity 线性检验test of goodness of fit 拟合优度检验test of homogeneity 齐性检验test of independence 独立性检验test rules 检验法则test statistics 检验统计量testing function 检验函数time series 时间序列tolerance limits 容许限total 总共，和transformation 转换treatment 处理trimmed mean 截尾均值true value 真值t-test t检验two-tailed test 双侧检验Uunbalanced 不平衡的unbiased estimation 无偏估计unbiasedness 无偏性uniform distribution 均匀分布Vvalue of estimator 估计值variable 变量variance 方差variance components 方差分量variance ratio 方差比various 不同的vector 向量Wweight 加权，权重weighted average 加权平均值within groups 组内的ZZ score Z分数。
如何理解概率分布函数和概率密度函数
如何理解概率分布函数和概率密度函数概率分布函数和概率密度函数都是统计学和概率论中常用的概念，用于描述随机变量在不同取值上的概率分布。
虽然两者的表达方式不同，但其含义和作用相似。
概率分布函数（Probability Distribution Function，简称PDF）是一种函数，描述了随机变量X的概率分布情况。
对于连续型随机变量，概率分布函数定义为随机变量X小于或等于一些给定取值x的概率。
它通常用F(x)来表示，即F(x) = P(X <= x)。
概率分布函数具有以下性质：1.对于所有的x，F(x)的取值在0到1之间。
2.当x趋于负无穷时，F(x)趋近于0。
3.当x趋于正无穷时，F(x)趋近于14.F(x)是一个非降函数，即对于任意的a<b，有F(a)<=F(b)。
概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是一种函数，描述了连续型随机变量取一些特定值的概率密度。
概率密度函数通常用f(x)来表示，即对于连续型随机变量X，f(x)表示其在一些取值x处的密度。
概率密度函数具有以下性质：1.对于任意的x，概率密度函数的值大于等于0，即f(x)>=0。
2. 整个样本空间上的积分等于1，即∫f(x)dx = 1、这表示随机变量取任意值的概率之和为13. 概率密度函数与概率分布函数之间的关系为：概率密度函数为概率分布函数的导数。
即f(x) = dF(x)/dx。
概率分布函数和概率密度函数的关系可以通过求导和积分互相转化。
对于连续型随机变量X，其概率分布函数可以通过概率密度函数进行计算，即F(x) = ∫f(t)dt，其中t的取值范围为(-∞, x)。
反过来，概率密度函数可以通过概率分布函数求导得到，即f(x) = dF(x)/dx。
理解概率分布函数和概率密度函数的重要性在于可以通过它们来描述和分析随机变量的概率分布特征。
概率分布函数可以用于计算随机变量取不同取值的概率，以及计算概率的分布情况，例如均值、方差和偏度等。
概率与概率分布 Probability and probability distributions
Ian Jolliffe University of Aberdeen
CLIPS module 3.4b
Probability and Statistics
Probability starts with a population, often described by a probability distribution, and predicts what will happen in a sample from that population. Statistics starts with a sample of data, and describes the data informatively, or makes inferences about the population from which the sample was drawn. This module concentrates on the inferential, rather than descriptive, side of Statistics.
Representative samples
In the previous two Slides we have used the phrase ‘sample of relevant data’ It is crucial that the sample of data you use to make inferences about a population is representative of that population; otherwise the inferences will be be biased Designing the best way of taking a sample is a third (as well as description and inference) aspect of Statistics. It is important, but it will not be discussed further in this module
如何理解概率分布函数和概率密度函数
如何理解概率分布函数和概率密度函数概率分布函数（Probability Distribution Function，简称PDF）和概率密度函数（Probability Density Function，简称PMF）是概率论中用于描述随机变量的概率分布的两种函数形式。
概率分布函数是用于连续随机变量的，它描述了随机变量落在一些区间内的概率。
概率分布函数的定义如下：对于连续随机变量X，其概率分布函数F(x)表示随机变量X小于等于一些值x的概率，即F(x)=P(X<=x)。
概率分布函数具有以下特征：1.F(x)的值域在0到1之间。
2.F(x)是非递减的，即对于任意的x1<x2，F(x1)<=F(x2)。
3.F(x)在负无穷到正无穷的范围内是连续的，除了在一些点上可能存在跳跃。
4.F(x)在负无穷到正无穷的范围内是右连续的，即F(x+)=F(x)。
概率密度函数则是用于描述连续随机变量的密度分布情况。
概率密度函数的定义如下：对于连续随机变量X，其概率密度函数f(x)是一个非负函数，满足对于任意的实数x，有P(a <= X <= b) = ∫[a,b] f(x)dx。
概率密度函数具有以下特征：1.概率密度函数的取值范围是非负的，即f(x)>=0。
2. 概率密度函数的积分是等于1的，即∫[-∞, +∞] f(x)dx = 13.概率密度函数在一些点上的值并不代表在该点上的概率，而是代表了在该点附近的概率密度。
概率分布函数和概率密度函数在描述随机变量的分布特征时起到了不同的作用。
概率分布函数是用于给出一些具体值小于等于一些给定值的概率，而概率密度函数则是给出在一些区间内连续变量出现的概率。
具体地说，给定一个连续随机变量X，可以通过概率分布函数F(x)来计算出P(X<=x)的概率，而要计算出P(a<=X<=b)的概率，则需要使用概率密度函数f(x)进行积分计算。
理解概率分布函数常见分布公式详解
理解概率分布函数常见分布公式详解概率分布函数（Probability Distribution Function，简称PDF）是描述随机变量取值概率分布的函数，常用于统计学和概率论中。
在统计学中，常见的概率分布函数有众多的公式。
本文将详细解释几种常见的概率分布函数公式，包括均匀分布、正态分布、指数分布和泊松分布。
一、均匀分布均匀分布是最简单的概率分布函数之一，它在一个有限区间内的取值是均匀分布的。
均匀分布的概率密度函数公式为：f(x) = 1 / (b - a)，a ≤ x ≤ b其中，a和b分别是区间的上下界。
均匀分布的期望值（均值）为（a + b）/ 2，方差为（b - a）^2 / 12。
二、正态分布正态分布是自然界和社会现象中常见的概率分布函数。
它在统计学中有着重要的地位。
正态分布的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）公式为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-((x - μ)^2/(2σ^2)))其中，μ是期望值（均值），σ是标准差。
正态分布的期望值和方差分别为μ和σ^2。
三、指数分布指数分布是描述事件发生的时间间隔的概率分布函数，常用于可靠性工程和排队论中。
指数分布的概率密度函数公式为：f(x) = λ * exp(-λx)，x ≥ 0其中，λ是事件发生率。
指数分布的期望值为1 / λ，方差为1 / λ^2。
四、泊松分布泊松分布是描述单位时间或空间内事件发生次数的概率分布函数，常用于描述稀有事件的发生情况。
泊松分布的概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）公式为：P(X = k) = (λ^k * exp(-λ)) / k!其中，λ是单位时间或空间内事件的平均发生率。
泊松分布的期望值和方差均为λ。
以上是几种常见的概率分布函数公式的详细解释。
这些概率分布函数在不同领域的应用非常广泛，能够描述和解释各种随机现象的概率分布情况。
概率与统计中的概率分布函数
概率与统计中的概率分布函数概率与统计是一门研究随机事件发生规律的学科。
在概率论中，概率分布函数是一个重要的概念，用于描述随机变量取值的概率分布情况。
本文将对概率与统计中的概率分布函数进行探讨。
一、概率分布函数的概念及性质概率分布函数（Probability Distribution Function）简称PDF，是描述随机变量的概率分布规律的函数。
对于一个离散型随机变量X，其概率分布函数可以表示为FX(x)=P(X≤x)，表示随机变量X取值小于等于x的概率。
对于一个连续型随机变量X，其概率分布函数可以表示为FX(x)=∫[a,x] f(t)dt，其中f(t)是随机变量X的概率密度函数。
概率分布函数具有以下性质：1. F(x)的值域在[0,1]之间，即0≤F(x)≤1；2. F(x)是单调不减函数，即对于任意的x1<x2，有F(x1)≤F(x2)；3. 当x趋于无穷时，F(x)趋于1；当x趋于负无穷时，F(x)趋于0。
二、常见的概率分布函数1. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是描述n次独立重复试验中成功次数的概率分布。
设每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，那么在n次试验中，成功k次的概率可以表示为P(X=k)=C(n,k) * p^k * q^(n-k)，其中C(n,k)是组合数，表示从n个中选择k个的组合数。
2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是一种连续型的概率分布，也被称为高斯分布。
其概率密度函数的形式为f(x)=1/(σ√(2π)) * e^(-(x-μ)²/(2σ²))，其中μ是均值，σ是标准差。
正态分布在自然界和人类活动中广泛存在，它具有对称性、集中性和渐进性。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数为P(X=k)=e^(-λ) * (λ^k)/k!，其中λ是单位时间或单位空间内随机事件的平均发生率。
概率统计的相关名词解释
概率统计的相关名词解释概率统计是一门研究随机现象的发生规律和统计规律的学科。
它旨在通过收集、分析和解释数据，从而为决策提供科学的依据。
概率统计领域涉及了许多专业术语和名词，本文将对其中一些重要的名词进行解释，帮助读者更好地理解概率统计的基础知识。
1. 概率（Probability）概率是描述事件发生可能性的一种度量方式。
它是一个介于0和1之间的数字，其中0表示事件不可能发生，而1表示事件一定发生。
在概率统计中，我们通过对样本的观察和分析来估计或计算事件发生的概率。
2. 随机变量（Random Variable）随机变量是概率统计中的重要概念，用于描述随机现象的结果。
随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。
离散型随机变量取有限个或可列个值，如掷骰子的点数；而连续型随机变量则可以取无限个值，如测量一个人的身高。
3. 概率分布（Probability Distribution）概率分布详细描述了随机变量取不同值的概率。
对于离散型随机变量，概率分布通过概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）来表示；而对于连续型随机变量，概率分布则通过概率密度函数（Probability Density Function, PDF）来表示。
4. 正态分布（Normal Distribution）正态分布又称为高斯分布，是概率统计中最常见的分布之一。
它的概率密度函数是钟形曲线，对称地分布在均值周围。
许多自然现象相对于其平均值的变化可以用正态分布来描述，例如人的身高、考试成绩等。
5. 样本（Sample）在概率统计中，样本是从总体中抽取的一部分数据。
通过对样本的分析，我们可以推断总体的特征。
样本的大小和抽样方式对于结果的准确性有重要影响，因此在进行概率统计研究时，需要按照合适的方法来选择和处理样本。
6. 抽样误差（Sampling Error）抽样误差是由于样本的随机性所引起的估计误差。
《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表
《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文Probability theory 概率论mathematical statistics 数理统计deterministic phenomenon 确定性现象random phenomenon 随机现象sample space 样本空间random occurrence 随机事件fundamental event 基本事件certain event 必然事件impossible event 不可能事件random test 随机试验incompatible events 互不相容事件frequency 频率classical probabilistic model 古典概型geometric probability 几何概率conditional probability 条件概率multiplication theorem 乘法定理Bayes’s formula 贝叶斯公式Prior probability 先验概率Posterior probability 后验概率Independent events 相互独立事件Bernoulli trials 贝努利试验random variable 随机变量probability distribution 概率分布distribution function 分布函数discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布Poisson distribution 泊松分布geometric distribution 几何分布probability density 概率密度continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望variance 方差moment 矩central moment 中心矩n—dimensional random variable n—维随机变量two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布joint distribution law 联合分布律joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律boundary distribution function 边缘分布函数exponential distribution 二维指数分布continuous random variable 二维连续随机变量joint probability density 联合概率密度boundary probability density 边缘概率密度conditional distribution 条件分布conditional distribution law 条件分布律conditional probability density 条件概率密度covariance 协方差dependency coefficient 相关系数normal distribution 正态分布limit theorem 极限定理standard normal distribution 标准正态分布logarithmic normal distribution 对数正态分布covariance matrix 协方差矩阵central limit theorem 中心极限定理Chebyshev’s inequality 切比雪夫不等式B ernoulli’s law of large numbers 贝努利大数定律statistics 统计量simple random sample 简单随机样本sample distribution function 样本分布函数sample mean 样本均值sample variance 样本方差sample standard deviation 样本标准差sample covariance 样本协方差sample correlation coefficient 样本相关系数order statistics 顺序统计量sample median 样本中位数sample fractiles 样本极差sampling distribution 抽样分布parameter estimation 参数估计estimator 估计量estimate value 估计值unbiased estimator 无偏估计unbiassedness 无偏性biased error 偏差mean square error 均方误差relative efficient 相对有效性minimum variance 最小方差asymptotic unbiased estimator 渐近无偏估计量uniformly estimator 一致性估计量moment method of estimation 矩法估计maximum likelihood method of estimation 极大似然估计法likelihood function 似然函数maximum likelihood estimator 极大似然估计值interval estimation 区间估计hypothesis testing 假设检验statistical hypothesis 统计假设simple hypothesis 简单假设composite hypothesis 复合假设rejection region 拒绝域acceptance domain 接受域test statistics 检验统计量linear regression analysis 线性回归分析。
03过程能力分析(补充内容)
= 1 - 0.9772
= 0.0228
0.0228
x=30
10
5
概率分布
例 (c) P(X<x) = 0.90的 x值?
Calc > Probability Distribution > Normal
选择逆累积概率 输入平均和标准偏差
常数输入 在特定列时
输入常数
11
概率分布
例 ＊ Session结果确认
等级 A B C D
Ca值 Ca≦12.5% 25%>Ca≧12.5% 50%>Ca≧25% 100%>Ca≧50%
改进措施 继续保持 改进到A级 立即改进 必要时停止生产
0﹪
12.5﹪
25﹪
A
B
50﹪
C
100﹪
D
34
16
流程能力分析-流程能力指数
精密度：Cp(Capability of precision)
-用以衡量制程之平均值与规格中心值之一致性
Ca
流程平均值 - 規格中心值 規格公差的一半
100%
X *100% T/ 2
(T=USL-LSL μ为规格中心值)
＊ 单边规格无规格中心值，所以不能计算Ca值
＊Ca值越小表示偏离规格值越少，准确度越好
33
流程能力分析-流程能力指数
Ca值愈小品质愈佳,Ca值大致可分为4个等级﹕
中取到良品的概率是多少？
P(A)=80/100=0.8
3
概率分布
概率分布(Probability Distribution) 概率分布的种类
计量型 概率分布 :概率变量 X是计量型变量时形成的分布 – 连续型变量大部分属正态分布
[伍德里奇计量经济学导论]1概率论知识
![[伍德里奇计量经济学导论]1概率论知识](https://img.taocdn.com/s3/m/9201f67c783e0912a2162a45.png)
期望(或均值）也就是随机变量X的一阶矩，它是度量分布 的中心位置
② k阶中心矩（kth centered moment) ：
mk E X x
k
x f xdx
k x
③ 偏度(skewness):
S(x)=0， 该随机变量分布对称；
2
c) Y的标准差为：
Y 0.8 X
③ 将以上分析推广，假设Y以截距a（代替$2000）和斜率b（代 替0.8）依赖于X，因此，
a) Y与X的联系：
Y a bX
b) Y的期望、方差和标准差分别为：
Y a b X
2 2 Y b 2 X
Y b X
4. 分布形态的其他测度指标：
2. 离散型随机变量的概率分布
① 概率分布（Probability Distribution）：变量所有的可能值和
每个值发生的概率的列表。这些概率之和为1。
如，用M表示你在写学期论文时电脑死机的次数。
② 事件概率（Event Probability）：
Pr(M 1) 0.10
Pr(M 1或M 2) 0.10 0.06 0.16
var(Y)，即
varY E Y Y 2
Y 。
b) 一个随机变量的标准差就是方差的平方根，表示为
② 重要概念二：方差和标准差 假设随机变量Y的方差是用
2 Y
2 表示，计算公式为： Y
2
varY E Y Y yi Y pi
X x 3 S x E 3 x
S(x)>0，高峰向左偏移，长尾向右侧延伸称为正偏态分布，也称右偏态分布；
统计学 第四章 推断统计概述
第四章 推断统计概述第一部分 概率论基本知识← 一、概率的定义；二、概率的性质；三、概率的加法定理和乘法定理← 四、概率分布类型四、概率分布类型← 概率分布（probability distribution ）是指对随机变量取不同值时的概率的描述，一般用概率分布函数进行描述。
← 依不同的标准，对概率分布可作不同的分类。
１、离散型分布与连续型分布← 依随机变量的类型，可将概率分布分为离散型概率分布与连续型概率分布。
← 教育统计学中最常用的离散型分布是二项分布，最常用的连续型分布是正态分布。
２、经验分布与理论分布← 依分布函数的来源，可将概率分布分为经验分布与理论分布。
← 经验分布（empirical distribution ）是指根据观察或实验所获得的数据而编制的次数分布或相对频率分布。
← 理论分布（theoretical distribution ）是按某种数学模型计算出的概率分布。
３、基本随机变量分布与抽样分布← 依所描述的数据的样本特性，可将概率分布分为基本随机变量分布与抽样分布（sampling distribution ）。
← 基本随机变量分布是随机变量各种不同取值情况的概率分布，← 抽样分布是从同一总体内抽取的不同样本的统计量的概率分布。
第二部分 几种常见的概率分布← 一、二项分布← 二项分布（binomial distribution ）是一种具有广泛用途的离散型随机变量的概率分布，它是由贝努里创始的，因此又称为贝努里分布。
← 2．二项分布函数← 二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。
← 用 n 次方的二项展开式来表达在 n 次二项试验中成功事件出现的不同次数（X ＝0，1…，n ）的概率分布，叫做二项分布函数。
← 二项展开式的通式（即二项分布函数）：← ←← ← ←← 成功概率 p ；样本容量 n← 在成功概率为p 的总体中随机抽样，抽取样本容量为n 的样本中，有X 次为成()011111100q p C q p C q p C q p C q p n n n n n n n n n n n ++++=+---Λ()Xn X X n X q p C P -⋅⋅=()X n X q p X n X n -⋅-=!!!功的概率： ←（X ＝0，1…，n ） ←称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记为： ←X ～B(n ,p ) 其中，0<p<1 ←二项分布的性质 ←二项分布有如下性质： ←①当p=q 时，图形是对称的。
probability distribution的表达式 -回复
probability distribution的表达式-回复Probability distribution（概率分布）是概率论中用来描述随机变量（random variable）所有可能取值及其对应概率的函数或规律。
概率分布可以用数学公式、图形、表格等形式来表示，它是概率论的基础，广泛应用于统计学、工程学、经济学、自然科学等领域。
概率分布主要分为离散概率分布和连续概率分布两类。
1. 离散概率分布（Discrete Probability Distribution）离散概率分布用于描述离散型随机变量，即随机变量只能取有限个或可数个值的情况。
离散概率分布的表达式通常用概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）表示。
概率质量函数是一个函数，它给出了在每一个可能取值上的概率。
常见的离散概率分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
伯努利分布（Bernoulli distribution）是最简单的二值离散概率分布。
它描述了一次实验的结果只有两种可能性（成功或失败）的情况。
伯努利分布的概率质量函数表达式为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)其中，X为随机变量，k为随机变量的取值（0或1），p为成功的概率。
二项分布（Binomial distribution）描述了一系列独立的伯努利试验中成功的次数的概率分布。
二项分布的概率质量函数表达式为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，X为随机变量，k为随机变量的取值，n为试验的次数，p为成功的概率，C(n,k)为组合数。
泊松分布（Poisson distribution）用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数表达式为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!其中，X为随机变量，k为随机变量的取值，λ为单位时间（或单位空间）内事件的平均发生率。
概率与概率分布
三、概率分布
若要全面了解随机试验，则必须知道随机试验的全 部可能结果及各种可能结果发生的概率，即必须知 道随机试验的概率分布(probability distribution)。
为了深入研究随机试验 ，先引入随机变量(random variable)的概念。
二项分布的累计函数:
i
F(x) P(x) x0
x ~ B(n, p)
性质
n
由于(p+q)n=1，所以 P( x) 1 x0
二项分布的数学期望 E(x)=np
方差 D(x)=npq
标准差 npq
例如：某种昆虫在某地区的死亡率为40%，即 p=0.4，现对这种害虫用一种新药进行治疗试验，每次 抽样10头为一组治疗。试问如新药无疗效，则在10头 中死3头、2头、1头以及全部愈好的概率为多少？
对立事件
必有一件发生，但 A+B=U; A•B=V;B=Ā;
不同时发生，也不 P(A+B)=1; P(A•B)=0;
能同时不发生
P(B)=P(Ā)=1-P(A)
互不相关; 独立事件 多个彼此独立事件 P(A•B)=P(A)•P(B);
1、有一批种子，其中二级占5%,一级占 10%，其余为三级，问三级种子占多少？
时，随机变量序列的平均数收敛于数学期望。
lim n
P |
1 n
Xi
|
1
意义：当n很大时，独立同分布的随机变量的平均值
依概率收敛于它的数学期望 。
切比雪夫大数定理
若X1, X2,‥,Xn相互独立，每个Xk的方差存在，且一
致有界， 即存在常数c，使得
probability distribution的表达式 -回复
probability distribution的表达式-回复问题：什么是概率分布，以及如何表达概率分布？概率分布是数学统计中用于描述随机变量可能取值及其相应概率的函数。
它对于理解事件发生的概率以及探索随机现象的规律非常重要。
在统计学和概率论中，有许多不同的概率分布，包括离散型和连续型概率分布。
概率分布可以通过一个数学表达式来表示。
数学表达式根据概率分布的特点和类型而有所不同。
对于离散型概率分布，它描述了离散随机变量取值的概率。
一个常见的离散型概率分布是二项分布。
它可以通过二项分布的概率质量函数来进行数学表达。
二项分布描述了在一系列独立的伯努利试验中成功的概率。
它的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示随机变量X的取值为k的概率，n表示试验的次数，p 表示单次试验成功的概率。
等号右侧的部分是二项系数，它可以计算为（n choose k），表示任意选取k个成功的组合数。
p^k表示k次成功发生的概率，(1-p)^(n-k)表示n-k次失败发生的概率。
另一个常见的离散型概率分布是泊松分布。
泊松分布用于描述单位时间或空间中随机事件发生的次数。
它的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k / k!) * e^(-λ)其中，P(X=k)表示随机变量X的取值为k的概率，λ表示单位时间或空间内平均发生的事件次数，k表示实际发生的事件次数，k!表示k的阶乘，e 表示自然对数的底数。
对于连续型概率分布，它描述了连续随机变量可能落在一个区间内的概率。
一个常见的连续型概率分布是正态分布。
正态分布用于描述许多自然现象，其概率密度函数可以表示为：f(x) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，f(x)表示随机变量X的取值为x的概率密度函数，μ表示均值，σ表示标准差，exp表示自然指数函数。
各种概率分布的英文符号
各种概率分布的英文符号Title: Probability Distributions: An Overview of Common Symbols and Notations.Probability distributions play a pivotal role in statistics and probability theory, allowing us to model and analyze the uncertainty associated with random variables. These distributions are typically characterized by specific parameters and mathematical formulas, which are often denoted using specific symbols and notations. In this article, we will explore some of the most commonly used probability distributions and their corresponding symbols.1. Discrete Probability Distributions:Bernoulli Distribution: This distribution is used to model a binary random variable that takes only two possible values (usually denoted as 0 and 1). The symbol for the Bernoulli distribution is usually P(X=k), where X is the random variable and k is the specific value (0 or 1) beingconsidered.Binomial Distribution: The binomial distribution models the number of successes in a fixed number of independent trials. It is often denoted as B(n, p), where n is the number of trials and p is the probability of success in each trial.Poisson Distribution: The Poisson distribution is used to model the occurrence of rare events in a given interval of time or space. It is denoted as P(λ), where λ is the average rate of occurrence.2. Continuous Probability Distributions:Uniform Distribution: The uniform distribution models random variables that are equally likely to take on any value within a specified range. It is denoted as U(a, b), where a and b are the lower and upper limits of the range, respectively.Normal (or Gaussian) Distribution: The normaldistribution is a bell-shaped curve that is symmetric around its mean. It is denoted as N(μ, σ²), where μ is the mean and σ² is the variance.Exponential Distribution: The exponentialdistribution is often used to model the time between events in a Poisson process. It is denoted as Exp(λ), where λ is the rate parameter.Chi-Squared Distribution: The chi-squareddistribution is often used in statistical testing, particularly in hypothesis testing and confidence interval estimation. It is denoted as χ²(k), where k is the number of degrees of freedom.3. Distributions for Multivariate Data:Multivariate Normal Distribution: This distribution is a generalization of the normal distribution to multiple variables. It is denoted as N(μ, Σ), where μ is a vector of means for each variable, and Σ is the covariance matrix.Dirichlet Distribution: The Dirichlet distributionis often used to model the probabilities of multiple events that sum to one. It is denoted as Dir(α), where α is a vector of concentration parameters.These are just a few examples of the wide variety of probability distributions used in statistics andprobability theory. Each distribution has its own unique characteristics and applications, and the symbols and notations used to represent them reflect these differences. Understanding these symbols and notations is crucial for effectively using and interpreting probabilitydistributions in practical applications.。
第二节分布函数(Distributionfunction),数学期望(Expectation(金融计量-浙大蒋岳祥))
上课材料之三：第二节 分布函数(Distribution function)，数学期望(Expectation)与方差(Variance)本节主要介绍概率及其分布函数，数学期望，方差等方面的基础知识。
一、概率(Probability)1、概率定义(Definition of Probability)在自然界和人类社会中有着两类不同的现象，一类是决定性现象，其特征是在一定条件必然会发生的现象；另一类是随机现象，其特征是在基本条件不变的情况下，观察到或试验的结果会不同。
换句话说，就个别的试验或观察而言，它会时而出现这种结果，时而出现那样结果，呈现出一种偶然情况，这种现象称为随机现象。
随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现为大量试验中随机事件出现的频率的稳定性，即一个随机事件出现的频率常在某了固定的常数附近变动，这种规律性我们称之为统计规律性。
频率的稳定性说明随机事件发生可能性大小是随机事件本身固定的，不随人们意志而改变的一种客观属性，因此可以对它进行度量。
对于一个随机事件A ，用一个数P （A ）来表示该事件发生的可能性大小，这个数P （A ）就称为随机事件A 的概率，因此，概率度量了随机事件发生的可能性的大小。
对于随机现象，光知道它可能出现什么结果，价值不大，而指出各种结果出现的可能性的大小则具有很大的意义。
有了概率的概念，就使我们能对随机现象进行定量研究，由此建立了一个新的数学分支——概率论。
概率的定义定义在事件域F 上的一个集合函数P 称为概率，如果它满足如下三个条件： （i ）P （A ）≥0，对一切∈A F （ii ）P （Ω）=1；（iii ）若∈i A ，i=1,2…，且两两互不相容，则∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11)(i i i i A P A P 性质（iii ）称为可列可加性（conformable addition ）或完全可加性。
推论1：对任何事件A 有)(1)(A P A P -=；推论2：不可能事件的概率为0，即0)(=φP ； 推论3：)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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结果出现5点，则事件A发生了。
概率分布-3
2、事件的关系与运算
事件的关系 加（并） 表示 表示事件A与B至少有一个发生 含义 A∪B或A+B
A S B A B S A-B B S B S
减（差）
表示事件A发生而事件B不发生
A-B
乘（交）
表示事件A与B两个都发生 表示A的对立事件，即“A不发生” （AA=φ，A+A=S） 表示事件A发生必要导致事件B发生 表示事件A与事件B不能同时发生 （即AB=φ）
概பைடு நூலகம்分布-15
例4：设N件产品中有K件是次品,N-K件是正品, K<N.现从N件中每次任意抽取1
件产品,在检查过它是正品或是次品后再放回,这样共抽取了n次.
求:事件A={所取的n件产品中恰有k件次品}的概率,k=0,1,2,…,n.
解：假定N件产品是有编号的，从中任意取出一件，每次 都有N种取法.由乘法原理，n次共有Nn种取法,所以基本 事件总数为Nn。 当所取的n件产品中恰有k件次品时,由于取到这k件次品 的次序的不同，因此从次序考虑共有Cnk种情况 。
2 令B={两件商品都来自产地乙} kB= C3 =3
2
而事件{两件商品来自同一产地}=A∪B ,且A与B互斥。 ∴它包含基本事件数=66+3=69 ∴所求概率=69/105=23/35
概率分布-11
例3： 有外观相同的三极管6只,按其电流放大系数分类,
4只属甲类,2只属乙类.按下列两种方案抽取三极管两只, （1） 每次抽取一个只,测试后放回,然后再抽取下一 只(放回抽样). （2）每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下的三极 管中再抽取下一只(不放回抽样) 设A={抽到两只甲类三极管}, B={抽到两只同类三极管}, C={至少抽到一只甲类三极管}, D={抽到两只不同类三极管}. 求：P(A),P(B),P(C),P(D)
即互斥事件之和的概率等于它们各自的概率之和. (有限可加性)[概率的加法定理] 3.对两个事件A和B,若AB, 则有: P(B-A)=P(B)-P(A), P(B)≥P(A).
4.对任一事件A,均有
P A 1 P A
概率分布-25
性质5
对任意两个事件A、B，有
P ( A B) P ( A) P ( B) P ( AB)
概率分布-23
概率的的性质与运算法则
一）概率的公理定义 设E是随机试验，Ω 是它的样本空间，对于Ω中的每一 个事件A，赋予一个实数，记为P(A) ，称为事件A的概率， 如果集合函数 P(A) 满足下述三条公理: 公理1 0≤P(A)≤1 公理2 P(Ω )=1 （1） (2)
公理3 若事件A1, A2 ,… 两两互不相容，则有 (3) 这里事件个数可以是有限或无限的（必须是可列的） .
P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 )
概率分布-24
概率的的性质与运算法则 二） 概率的性质
1. P(Ø)=0 即不可能事件的概率为零. 2. [概率的加法定理] 若事件A1,A2…,An两两互斥,则有:
P(A1∪A2…∪An)=P(A1)+…+P(An)
(8)
P ( A B) P ( A ( B AB))
B
AB A
P ( A) P ( B AB)
S
A ( B AB)
又因
AB B
再由性质 3便得 (8) .
概率分布-26
条件概率
• 设某电子元件能使用20年以上的概率为0.8，能用25年 以上的概率为0.4，如果某件元件已经使用了20年，问 它能用25年以上的概率？ • 这是条件概率
• 对偶律:
A B A B, A B A B
概率分布-6
3、 概率的定义
• 物理学家吴大猷：误用概率的笑话
一个病人去看病，医生检查后告诉病人说他要动 手术。病人问这种手术死亡率高不高，医生说这种手
术100个人有50个要死的。稍后医生又安慰病人说，
到今天已经有50人死去了，所以你不用害怕。
概率分布-22
3、频率与概率的区别与联系
频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小. 尽管每进 行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但 只要 n相当大，频率就会非常接近一个值----概率. 频率是样本的表现，而概率是总体所具有的特征。 因此，概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率的一 个近似.
概率分布-16
这Cnk种情况确定以后,现在考虑次序，首先从K件次品中取出k件,共有Kk种 取法.从N-K件正品中取n-k件,共有(N-K)n-k种取法.由乘法原理,共有Cnk Kk (NK)n-k种取法, ∴A中基本事件个数为Cnk Kk (N-K)n-k.
概率分布-17
在不放回抽样中，从N件产品种选取n件产品的抽取方法共 有CNn(这里不考虑产品的选取次序）;从K件次品中选取k 件次品的选择方法有CKk;从N-K件正品中选取n－k件正品 的选择方法有CN-Kn-k;抽取n件产品共有k件次品的选择方 法有
概率分布-10
例2
货架上有外观相同的商品15件,其中12件来自产地甲,3件来自地乙. 现从15件商品中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产地的概率.
解:
2 =105 种取法,且每种取法都是等 从15件商品中取出2商品,共有 C15 可能的.∴n=105
令A={两件商品都来自产地甲} kA= C12 =66
概率分布-4
A∩B 或 AB
A B=A
对立（逆）
A
B⊃A或A⊂B A=B
S A
A
包含与相等 互不相容 (互斥)
B
S A
S B
A-B
例
抛一骰子。A表示“偶数点”，B表示“4，5，6”，则
事件A与B至少有一个发生为
事件A与B都发生 事件A发生而B不发生 事件A与B都不发生
A B {2,4,5,6}
事件A出现 m2次
事件A在各轮试验中频率形成一个数列
ms m1 m2 n1 n2 ns
我们来说明频率稳定性的含义.
概率分布-20
频率的稳定性指的是：当各轮试验次数n1,n2,…,ns 充分大时， 在各轮试验中事件A出现的频率之间、或者它们与某个平 均值相差甚微 . 即，
mi lim p ni n i
因此若事件A包含k个基本事件，于是 P(A)=k(1/n)=k/n
概率分布-9
3、 古典概率模型的例子 例1
掷一颗均匀骰子.
设: A表示所掷结果为“四点或五点”. B表示所掷结果为“偶数点”.
求: P(A)和P(B)
解: n=6，kA=2 ∴ P(A)=2/6=1/3
kB=3 ∴ P(B)=3/6=1/2
概率分布-12
解:
（1）由于每次抽测后放回,因此,每次都是在6只三极管中抽取.
第一次从6只中取一只,共有6种可能的取法.
第二次还是从6只中取一只,还是有6种可能的取法. ∴取两只三极管共有66=36种可能的取法. 注意:这种分析方法使用的是中学学过的 乘法原理
概率分布-13
即n=36且每个基本事件发生的可能性相同.
P( AB) P( B) 0.4 P( B | A) 0.5 P( A) P( A) 0.8
[概率的乘法定理]: 故P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) 此外还有全概率公式、贝叶斯公式
概率分布-27
独立概率
• 设有2个事件A和B，假如其中一个事件的发生不影响另一 个事件发生的概率，则称事件A与B相互独立。 • 假如A与B相互独立，则A与B同时发生的概率
CKk CN-Kn-k；所以抽取n件产品共有k件次品的概率P(A)为：
P(A)= CKk CN-Kn-k/ CNn 这种分布称为超几何分布，上式为超几何分布概率公式。
概率分布-18
二）概率的统计定义（频率估计法） 1、频率：设A是一个事件.在相同的条件下,进行n 次试验, 在这n次试验中,事件A发生了m次.则称m为事件A在n次试 验中发生的次数,称m与n的比值m/n为事件A在n次试验中 发生的频率,记为fn(A).
---条件概率
---随机变量 ---常用随机变量的分布：二项、泊松、均匀、指数、正态 ---数学期望、方差
概率分布-2
1、 随机实验，样本空间，随机事件
在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。
对随机现象进行观察和试验称为随机试验。
在随机试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件(A、B)。 在随机试验中所有可能出现的结果组成的集合称为样本空间(S)。 集合表示： 例：抛一枚均匀骰子。事件A表示“大”即“4、5、6点”，如果
A B {4,6} A B {2}
A B {1,3}
概率分布-5
事件的运算法则
集合的运算法则都适用,常用的有 • 交换律: A∪B=B∪A AB=BA
• 结合律: A∪(B∪C)=(A∪B)∪C A(BC)=(AB)C • 分配律: A(B∪C)=AB∪AC
A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)
概率分布-14
（2） 由于第一次抽测后不放回,因此,第一次从6只中取一只, 共有6种可能的取法,第二次是从剩余的5只中取一只,有5种 可能的取法.由乘法原理∴取两只三极管共有n=65=30种 可能的取法.再由乘法原理: ∴kA=43=12 ∴P(A)=12/30=2/5 kE=21=2 ∴P(E)=2/30=1/15 ∵C是E的对立事件, ∴P(C)=1-P(E)=14/15 ∵B= A∪E ,且A与E互斥 ∴P(B)=P(A)+P(E)=7/15 ∵D是B的对立事件, ∴P(D)=1-P(B)=8/15