第3讲_本构关系和波动方程

第三讲 媒质的本构关系
¾ 媒质中如果没有其他的源，(3-1)中的电流 J 和电荷
ρ应为
J = J f + Jp + Jm
ρ = ρf + ρp
(3 − 4) (3 − 5)
式中， J f , J p , Jm 分别表示自由电流密度、极化电流密 度和磁化电流密度，ρ f，ρ p 分别表示自由电荷和束缚电 荷。自由电流为自由电荷运动所造成的电流，包括空间 电荷流和传导电流 Jc 。
对于频域（时谐）情况，（3-3）变为
∇×H
=
jωε
⎛ ⎜⎝
1
−
jσ ωε
⎞ ⎟⎠
E
=
jωε
E
∇ × E = − jωμH
∇⋅H =0
∇⋅E = ρ ε
式中
ε
=
ε
⎛ ⎜⎝
1
−
j
σ ωε
⎞ ⎟⎠
上式中假设了自由电流只有传导电流。
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P = lim i=1 ΔV →0 ΔV
¾ 极化电荷的体电荷密度和面电荷密度
ρp = −∇⋅ P
σsp = P⋅nˆ
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第三讲 媒质的本构关系
第三讲 媒质的本构关系
¾ 各向异性媒质
D=ε⋅E B= μ⋅ H
(3−19) (3−20)
z 各向异性媒质的物理实质是 P和E ，M和H 方向不 一致。
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第三讲 媒质的本构关系
3.3 本构关系
¾ Maxwell方程(3-3)中独立的方程为两个旋度方程和一个 电流连续性方程，即7个标量方程。但是，电磁场量却 有 E , H , B , D , J 和ρ 共16个标量。因此，尚需9个标 量方程才能完全确定电磁场量。
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第三讲 媒质的本构关系
¾ 方程（3-3）和（3-1）都是可以应用于任何媒质的电 磁场方程。
¾ 但是，要注意（3-3）中的电流和电荷不包含媒质中的 束缚电荷、极化电流和磁化电流，它们的作用已包含 在电感应强度和磁场强度中了。而（3-1）中电流和电 荷包含了空间和媒质中的所有电流和电荷。
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第三讲 媒质的本构关系
¾ 各向同性媒质
⎧D = ε E ⎪⎪⎨B = μH ⎪⎪⎩J =σE
ε = ε0 (1+ χe ) μ = μ0 (1+ χm )
¾ 通常引入反映媒质电磁特性的3个矢量方程：
D = f1 ( E，H ) H = f2 ( E，H ) J = f3 ( E，H )
(3 − 15) (3 − 16) (3 − 17)
广义本构方程 பைடு நூலகம்义欧姆定律
这些关系可以通过实验或微观结构分析得到。对于不同媒 质，(3-15)-(3-17)有着不同具体形式。
\⊕ \
⊕
⊕
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⊕⊕
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⊕
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\⊕
\
\
⊕
⊕
⊕ ⊕
⊕
\ \ \\
⊕⊕ ⊕⊕⊕ Ea ⊕\⊕\\⊕\\
\\\
无极分子
有极分子
无极分子
有极分子
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外加场Ea
合成场Ea+ Es 介 质
二次场Es 极 化
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第三讲 媒质的本构关系
【极化强度】极化后，单位体积内的电偶极矩之和。
N
∑ pi
实际中，自由电荷和自由电流可以直接受实验条件的控 制和测定，而束缚电荷、极化电流和磁化电流则不然。 因此，从Maxwell基本方程中消去 ρP , J p , Jm 比较方便。
¾ 利用(3-1)、(3-5)和(3-6)，有
ε0∇ ⋅ E = ρ f + ρ p = ρ f − ∇ ⋅ P
即
∇ ⋅ (ε0 E + P) = ρ f
¾ 媒质中电磁场依然满足Maxwell方程(3-1)，只是当媒 质放在电磁场中后，会发生导电、极化和磁化现象。 导电产生传导电流。 极化产生束缚电荷。交变极化产生极化电流。 磁化产生磁化分子电流。
¾ 这些电荷和电流又反作用于电磁场。
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第三讲 媒质的本构关系
¾ ρ p , Jc , J p 和 Jm 满足
ρp = −∇⋅ P
J
p
=
∂P ∂t
Jm = ∇× M
Jc = σ E
【媒质的磁化】
【媒质磁化的机理】 媒质的分子中电子的自旋、绕原子核的运动和原子核
自身的自旋都会形成微观的小圆电流，因此等效为磁 偶极子，具有一定的磁矩。 一般情况下，分子的热运动是杂乱无章的，各个分子 的磁矩相互抵消，因此媒质不呈现磁场。当外加磁场 后，各个分子的磁矩将按同一方向排列，形成新的磁 场，这种磁效应称为媒质的磁化。
1
μ0
∇×B
=
Jf
+
Jp
+
Jm
+ ε0
∂E ∂t
=
Jf
+
∂P ∂t
+∇×
M
+ ε0
∂E ∂t
于是
∇×( 1
μ0
B−
M)
=
Jf
+
∂D ∂t
(3 − 12)
定义磁场强度 H = 1 B− M
μ0
于是，方程变为
(3 − 13)
∇×H
=
Jf
+
∂D ∂t
(3 − 14)
这样，如果略去 ρ f , J f 的下标 f，媒质中的Maxwell方 程与(3-3)有相同的形式。
第三讲 媒质的本构关系
【媒质的电极化】
¾ 电介质分子的两类：
无极分子－分子内部所有正负电荷的作用中心重 合。无外电场作用时，对外不呈现电场特性。
有极分子－分子内部所有正负电荷的作用中心不 重合，形成电偶极子。无外电场作用时，由于分 子的不规则运动，不同分子的电偶极子的电矩方 向不同，杂乱无章，因此对外不呈现电场特性。
第三讲 媒质的本构关系
复媒质的物理实质表示媒质内位移电流与传导电流的
关系。
当
σ ωε
<1
时，媒质为绝缘体，位移电流占优；
当 1 < σ < 100 时，媒质为半导体；
ωε
当
100
<
σ ωε
时，媒质为导体，传导电流占优。
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第三讲内容
真空中的Maxwell方程 媒质中的Maxwell方程 本构关系 波动方程
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第三讲 媒质的本构关系
3.1 真空中的Maxwell方程
¾ 直接由实验定律获得的Maxwell方程实际为
⎧ ⎪∇ ⎪
×
B
=
μ0J
+
μ0ε0
∂E ∂t
⎪ ⎪∇ × ⎨
E
=
−
∂B ∂t
⎪⎪∇⋅ B = 0
⎪⎪⎩∇
⋅
E
=
ρ ε0
(3 −1)
式中
ε0
=
1
36π
×10−9
=
8.854×10−12
F/m－真空中的介电常数。
μ0 = 4π ×10−7 = 1.2566×10−6 H/m －真空中的磁导率。
(3−18)
即极化强度 P = ε 0 χe E ， 磁化强度 M = χmH ，
χe －极化率 χm －磁化率
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第三讲 媒质的本构关系
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第三讲 媒质的本构关系
【磁化强度】为了衡量媒质磁化的程度，定义磁化强度：
M = lim ∑ pm ΔV →0 ΔV
即单位体积内分子磁矩的矢量和。
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第三讲 媒质的本构关系
如果令
⎧⎪ ⎨
D
=
ε0
E
⎪⎩B = μ0H
则(3-1)变为
⎧ ⎪∇ ⎪
×
H
=
J
+
∂D ∂t
⎪⎪⎨∇ ⎪
×
E
=
−
∂B ∂t
⎪∇⋅ B = 0
⎪
⎪⎩∇⋅ D = ρ
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(3− 2) (3− 3)
第三讲 媒质的本构关系
3.2 媒质中的Maxwell方程
(3− 6)
(3− 7) (3− 8) (3− 9)
式中，σ , P , M分别为媒质的导电率、极化强度和磁化强度
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第三讲 媒质的本构关系
高等电磁场 第三讲
本构关系与波动方程
褚庆昕
华南理工大学 电子与信息学院
Research Institute of RF & Wireless Techniques School of Electronic and Information Engineering
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定义电感应强度(电位移矢量)： D = ε0E + P (3−10)
则有
∇⋅D= ρf
(3 − 11)
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第三讲 媒质的本构关系
¾ 利用(3-1)、(3-4)、(3-6)和(3-8)，可得：
【定理】磁化媒质产生的总体磁效应可以等效为媒质体内形 成了磁化体电流 ，Jm媒质表面形成了磁化面电流 J。ms
设媒质的磁化强度为 M ，则
Jm = ∇× M Jms = −nˆ × M 式中，nˆ 为媒质表面的单位外法向矢量。
¾ 磁化电流是被束缚在媒质体内的束缚电流。
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第三讲 媒质的本构关系
¾ 极化：在外电场作用下，无极分子的正负电荷作用 中心发生相对位移，有极分子的电偶极子趋于有序 排列，从而介质的整体从宏观上呈现电偶极矩分 布。这种现象称为电介质的极化。
¾ 极化电荷：极化形成的电荷。由于极化电荷始终被 束缚在电偶极子中，故也称为束缚电荷。极化电荷 产生附加电场只能减弱外加电场而不是将其抵消。 因此，介质内部的总电场一般不为零。
第三讲 媒质的本构关系
z 几种常用的各向异性媒质
晶体
旋转坐标使 ε 对角化，有
ε
=
⎡ε
⎢
x
⎢0
0
εy
0⎤ ⎥
0⎥
⎢⎣0 0
ε
z
⎥ ⎦
如果 εx = εy = εz = ε， ε = ε I ，则为各向同性。 如果 εx =εy =ε ，则为单轴各向异性
♠ εz >ε 称为正单轴，εz <ε 称为负单轴。 如果都不相等，则为双轴各向异性。