连续型随机变量的概率分布

( h 170) 0.99 6
查表知:φ(2.33)=0.9901>0.99,所以
h 170 2.33 h 184(cm) 6
例4 某建筑材料的强度X~N(180,102).一购货商在 一大批材料中任取了10件，声称有多余2件的材料 强度低于160便拒绝接受。问这批材料被接受的概 率是多少？
1 定义：设X是一个随机变量，其分布函数为F(x). 若存在非负函数 f(x) , 使对任意实数x，有
x
F ( x) f (t )dt
则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密 度函数，简称概率密度。
2说明 (1) 分布函数F(x)是连续函数. (因为F(x)是积分上 限函数)
(2) f ( x)的性质
解 : (1)X的分布函数F( x)
1
e
1 5
x
,
x
0
0, 其他
(2)该顾客未受到服务的概率为 :
p P( X 10) 1 P( X 10) 1 F (10) e2
(3)设Y为他5次去银行中未受到服务的次数，则
Y~B( 5, e-2 )
(4)该顾客未受到服务的次数不少于1的概率为：
(i) f (x) 0
(ii) f ( x)dx 1
f ( x) 描述了连续型r.v.X的取值规律
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(3) F(x)与f (x)的关系
x
F ( x) f (t)dt
f ( x) F( x)
F( x x) F( x)
lim
落在小区间内的
x0
x
概率
lim P( x x0
0.7
(2)P(0.3 X 0.7) ( x)dx 0.3
0.7
2 xdx
0.3
x2
0.7 0.3
0.4
x
(3)F ( x) (t)dt
当 x 0 时，F ( x)
x
(t )dt
x
0dt 0
当0 x 1 时，F ( x)
x
(t )dt
0 0dt x 2tdt x2
( x )2
1
e
2 2
2
1
x2
e2
2
即：X ~ N (0,1)
用途：解决一般正态分布 N (, 2) 的问题，只要
转化为标准正态 N (0,1) 问题， 然后查 ( x )
X
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重要结论：
若X ~ N (, 2),则 X ~ N (0,1)
(1)F ( x)
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
f (x)
1
2
( x )2
e 2 2
x
, 0为常数, 则称X服从参数为µ，σ的
正态分布，记作: X ~ N(, 2 )
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概率密度f(x)的图形与性质
1
y
2
-
+
x
（1）定义域:（-，+） （2）对称性：关于x=对称
（3）单调性：在区间（- ，）单调上升，
解: (1) 因为X～U（2，5）, 故X的概率密度为
f
(x)
1 3
,
2
x
5
0, 其 他
（2）设观测值大于3的概率为p , 则
p P( X 3)
5
f ( x)dx
51 dx
2
3
33
3
(3)设Y为3次独立观测中观测值大于3的次数，则
Y ~ B(3, 2) 3
（4）至少有两次观测值大于3的概率为：
解：设X为班车到达车站的时刻，
则X～U（8，10）,
即
f
(x)
1 2
,
8 x 10
0, 其 它
乘客9点到达能坐上班车的概率为:
P( X 9)
f ( x)dx
10 1
1
dx
9
92
2
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例2: 设随机变量X在区间[2 ,5]上服从均匀分 布。现对X进行3次独立观测，试求至少有两次 观测值大于3的概率。
0
当 x 1 时，F ( x)
x
(t )dt
0
1
x
0dt 2tdt 0dt 1
0
1
0, x 0
即F( x)
x
2
,
0
x
1
1, x 1
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例3 设连续型随机变量X的概率密度为：
f (x) ce x , x
求: (1) 常数c ; (2) P(0 < X <1) ; (3)求分布函数F(x)
2
2
(0.3) (0.5) 0.3094
例3: 公交车门的高度是按成年男子与车门碰头 的概率在0.01以下来设计的。设男子身高（单 位:cm）X~N(170 , 62),问车门高度应如何确定？
解 : 设车门高度为h厘米,则"碰头"“X h”
P( X h) 0.01 P( X h) 0.99
解：(1)由
f ( x)dx 1ห้องสมุดไป่ตู้
ce x dx 1
2 ce xdx 1 c 1
0
2
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(2)P(0 X 1) 1 1 e x dx
02
1 1 e xdx 1 (1 e1 )
20
2
x
(3)F ( x) f (t)dt
当 x 0 时，F ( x) x f (t)dt
X x
x x)
小区间长度
概率密度函数f (x)反映r.v.X落在 x 处附近，
单位长度所具有的概率。
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从而得到 P( x X x x)
概率微分
F( x x) F( x) f ( x)x
（4）连续型随机变量X的值落入区间 （ a , b ]内的概率
b
P(a X b) F(b) F(a) f ( x)dx a
(2)
f
(
x)
F (
x)
2
x, 0,
0
x 其它
1
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例2 设连续型随机变量X的概率密度为：
(
x)
cx, 0
0,
x 其他
1
求: (1) 常数c ; (2) P(0. 3 < X < 0.7) ;
(3)求分布函数F(x)并作图
解：(1)由
( x)dx 1
1
0 cxdx 1 c 2
x2
e 2,
x
2
( ( x)为偶函数，其图形关于纵轴对称）
分布函数为:
x
(x)
1
t2
e 2 dt
2
性质： (i) (0) 0.5
(ii) ( x) 1 ( x)
(x)
由图形对称性
P(X x) P(X x)
( x) 1 ( x)
标准正态分布有表可查P254， 如
(0.3) 0.6179 (3) 0.9987
§3 连续型随机变量的概率分布
一、连续型随机变量概率密度的定义和性质 二、三种重要的连续型分布
1、均匀分布 2、指数分布 3、正态分布
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连续型随机变量的取值充满一个区间，对这 种类型的随机变量不能象离散型的那样，用概率 分布表描述，而是用概率密度描述。
一、连续型随机变量概率密度的定义及性质
x
x ,
0 x
0
2
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二、几种重要连续型随机变量的分布
1、均匀分布
定义：若随机变量X的概率密度为 可能值
1
f
(
x)
b
a
0
a xb 其它
则称X在区间 （a，b）上服从均匀分布．
记为 X~U( a , b )
均匀分布的含义是：随机变量X取区间(a , b) 内任何一点是等可能的。即X落入区间(a , b)内等 长度的子区间内的概率相同。
其分布函数
1 e x , F(x)
x0
0, x 0
如, 电子元件的寿命 X~ E(θ)
例1：(P72习题18) 设随机变量X服从参数为θ 的指数 分布，且P( X c) 1 ，试确定常数c.
2
解:
X的分布函
数为
F
(
x)
1
e 0,
x,x 其他
0
P(X c) 1 P(X c) 1 F(c)
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例1: 设X ~ N(0,1), 试求:
(1)P( X 1.96); (2)P( X 1.96)
解 : P( X 1.96) (1.96) 0.9750
P( X 1.96) 1 P( X 1.96)
1 (1.96) 0.0250
请问:如果X~N(1,4),如何求P(X≤1.96)=F(1. 96)呢？ 这就是一般正态分布的标准化问题
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(3) N (, 2)与N (0,1)的联系
定理：若X ~ N (, 2) , 则 X ~ N (0,1)
证明：设Z X 则Z的分布函数为:
FZ ( x)
P（Z
x）
P（X
x）
P{X x} FX ( x)
fZ ( x) FZ ( x) fX ( x)
x 1 e t dt 2
1 x etdt 1 e x
2
2
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当 x 0 时，F ( x) x f (t)dt
0 1 e t dt x 1 e t dt
2
02
1 0 etdt 1 x etdt 1 1 e x
2
20
2
F
(
x)
1
1 2
ex, 1 e
更一般的 P( X G) f ( x)dx
G
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（5）对连续型随机变量X，任给实数a,必有
P(X a) 0
0 P( X a) F (a) F (a x) x 0 0 注: 这表明求连续型随机变量落在一个区间上的概率 值时，不必考虑区间端点的情况。即
P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)
b
F(b) F(a) f ( x)dx a
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例1 已知连续型随机变量X的分布函数为：
0,
F
(
x)
x
2
,
1,
x0 0 x1
x1
求(1) P(0. 3 < X < 0.7) ; (2)X的概率密度f(x).
解：(1)P(0.3 X 0.7) F(0.7) F(0.3) 0.4
即 : 1 (1 e c ) 1 e c 1 c ln 2
2
2
例2: (P72习题20)设某顾客在某银行窗口等待服务的 时间X（以分钟计）服从指数分布，其概率密度
为：
f
(
x)
1 5
1
e5
x
,
x
0
0, 其他
该顾客的习惯是，等待时间超过10分钟便离开， 现知他一个月到银行5次，求他未受到服务的次 数不少于1次的概率。
两头少的格局
如，考试成绩，人的寿命，身高，家庭收入 等都服从正态分布 正态分布是最广泛、普遍的
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一般正态分布的分布函数
(t )2
x
F(x)
1
e
2 2
dt
2
F(x) 1
1 2
x
(2)标准正态分布: X ~ N (0,1)
定义 ：N（0，1）分布称为标准正态分布，
其概率密度为:
(x) 1
P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 e2 )5 0.5167
3、正态分布
(1) 一般正态分布: X ~ N (, 2 ) (2) 标准正态分布: X ~ N (0,1)
(3) N (, 2 )与N (0,1)的联系
(4) 标准正态分布的上α分位点
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(1) 一般正态分布: X ~ N(, 2 )
P{ X
x} P( X
x
)
( x )
(2) P{ x1
X
x2 }
P(
x1
X
x2
)
( x2 ) ( x1 )
例2 设X~N（1，4），求P(0<X1.6)
解： P( x1 X x2 ) F( x2 ) F( x1)
( x2 ) ( x1 )
P(0 X 1.6) (1.6 1) ( 0 1)
P(Y 2)
3
C
k 3
k2
(2)k 3
( 1 )3k 3
C
2 3
(
2 3
)2
1 3
C
3 3
(
2 3
)3
20 27
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例3 : 设X ~ U (0,10), 试求方程 x2 Xx 1 0有实根的概率.
解 : 有实根 X 2 4 0
“X 2”或“X 2”
由题意X的概率密度为：
f
(
x)
1 10
,
0 x 10
0, 其 他
所求概率为: P( X 2) P( X 2)
10 1
4
0 2
dx 10 5
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2 指数分布
定义 若随机变量X的概率密度为
e x ,
f (x)
x 0 ( 0为常数）
0 ,
x0
则称X服从参数为的指数分布.记作：X～E(θ)
均匀分布的分布函数为 ：
0,
xa
F
(
x)
x b
a a
,
a xb
1,
xb
如, 每隔10分钟发车一辆,乘客等车的时间 X~U(0,10) 读数采用四舍五入法,设最小刻度为1,则误差 Y~U(-0.5,0.5)
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例1: 某站点从8点到10点有一班车随机到达, 一 乘客9点到达车站。问他能坐上该班车的概率。
在区间（，+）单调下降；
极值： f最大（）
1
2
（4）凹凸性：凸弧（-，+）
凹弧（-，-）（+，+）
拐点： ( x, y) ( ,
1
1
e 2)
2
（5）渐近线：y=0
(6)
１
1 21 1 22
2
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特点:
落在 附近的概率大 落在远离 的概率小
所以, 若对X进行观测, 大多数的观测值在 附近, 少数的观测值远离 ，呈现中间多，