5.3 变系数Panel Data模型-高级应用计量经济学课件
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• 条件：
E(μiμj ) 0 i j
E(μiμi ) i2I
• 这里可以将模型看成一个由n个方程组成的联立 方程模型，由于方程之间不存在相关性，分别估 计每个方程并没有信息损失。
• 即使采用系统估计方法同时估计所有方程的参数 ，与单方程估计是等价的，因为没有增加任何信 息。
• 附带回答一个问题：建立Panel Data模型时需要 多长的时间序列样本？
0 0 Xn nTnK
1
2 n
nK
1
1
2
M
n
nT
1
2、截面个体不相关的模型估计
• 显然，如果随机干扰项在不同横截面个体之间不 相关，上述模型的参数估计极为简单，即以每个 截面个体的时间序列数据为样本，采用经典单方 程模型的估计方法分别估计其参数。
• 即使采用GLS估计同时得到的GLS估计量，也是 与在每个横截面个体上的经典单方程估计一样。
uˆi
yi
X
i
ˆ
i
得到
2 i
和 的无偏估计：
ˆ
2 i
uˆiuˆi T K
T
1 K
yi[I X i ( X iX i )1 X i]yi
一种FGLS
ˆ
1 n 1
n i 1
(ˆi
n 1
n j 1
ˆ j )(ˆi
n 1
n j 1
ˆ j )
1 n
n
ˆ
2 i
(
X
iX
i
)
1
i1
将截距项也看成是一个观测值始终为1的虚变量的系数。
3、关于变系数模型很少被采用的一点说明
• 正确的思路是首先进行模型设定检验，然后根据 检验结论建立相应的模型。
• 但是，从计量经济学模型应用的角度，由于变系 数Panel Data模型的结构参数是随截面个体变化 的，带来了应用的局限。人们更希望在控制截面 个体影响（有时包含时点影响）的情况下，得到 各个截面个体在“平均”意义上的结构参数。
–不同地区收入的边际消费倾向不同。 –不同地区FDI的边际效益不同。 –不同家庭的边际储蓄倾向不同。
• 而它们在各自的时间序列中一般是相同的。 • 从客观描述经济行为的角度，变系数Panel Data
模型具有很好的适用性。
2、模型表达
Yit i Xitβi it i 1, , n t 1, ,T
– 固定效应(Fixed-Effects)：模型的结构系数对于不同 的截面个体存在实质上的差异。
– 随机效应(Random-Effects) ：模型的结构系数对于不 同的截面个体只存在随机扰动的差异。
• 本节要点
– 变系数模型的表达式
– 固定影响模型——随机干扰项在不同横截面个体之间 不相关——OLS估计
3、截面个体相关的模型估计
• 如果随机项在不同横截面个体之间的协方差不为 零，GLS估计比每个横截面个体上的经典单方程 估计更有效。
– 联立方程模型方程之间相关性信息的利用。
– 参数的GLS估计为：
βˆ GLS＝(XV-1X)-1 XV-1Y
Biblioteka Baidu
Ω11 Ω12 L Ω1n
V Ω21 Ω22 L
Ω2n
§5.3 变系数Panel Data模型
Panel Data Models with Variable Coefficients
一、变系数Panel Data模型表达及含义 二、固定效应变系数Panel Data模型的估计 三、随机效应变系数Panel Data模型的估计
• 截面个体变系数Panel Data模型
– 关于随机项协方差矩阵的构造，有许多专门的研究。 一种可行的简单方法是：首先采用经典单方程模型的 估计方法分别估计每个横截面个体的系数，计算残差 估计值，以此构造随机项协方差矩阵的估计量，类似 于经典单方程模型的GLS那样。
三、随机效应变系数Panel Data模型的 估计
1、随机影响模型
βi β αi Eαi 0
• 由于Panel Data模型的截面个体数目很大，变系 数模型存在应用的技术困难。
二、固定效应变系数Panel Data模型的 估计
1、固定效应影响模型
• 将βi视为固定的不同的常数时，可写成：
y X
将截距项也看作一个虚变量
y
y1 y2 yn nT1 X
X1
0 0
0 X2 0
– 显然，时间序列样本的长度至少应该使得这里的参数 估计有效。
– 如果时间序列样本太短，例如在应用研究出现的3年、 4年的情况，那么截面个体变系数Panel Data模型无法 有效估计，模型设定检验将无法进行，Panel Data模 型的理论方法将无法实现。
– 这种情况下，只能将样本看成一组混合数据（Pooled Dat），而不是真正意义的Panel Data。
Φi
Xi ΔXi
2 i
IT
2、β的最佳线性无偏估计是GLS估计
ˆGLS
n
X
i
1 i
X
i
1
n
X
i
1 i
yi
n
Wi ˆi
i 1
i1
i1
i
X
i
X
i
2 i
I
T
复合随机项的协方差矩 阵的第i个对角分块
Wi
n
[
i1
2 i
(
X
i
X
i
)
1
]1
1[
2 i
(
X
i
X
i
) 1 ]1
ˆi ( X iX i )1 X iyi
Yi Xiβi μi , i 1, 2,L , n
Yi1
Yi
Yi
2
M
YiT T1
X1i1
Xi
X 1i 2 M
X1iT
X 2i1 L X Ki1
i1
i1
X 2i2 L
X
Ki 2
M M M
βi
i2
M
μi
i2
M
X 2iT L
X KiT TK
iK
iT
说明GLS估计是每一个横截面个体 上最小二乘估计的矩阵加权平均。
权与它们的协方差成比例。
GLS 估计的协方差矩阵为：
Var(ˆGLS
)
n i 1
X
i
1 i
X
i
1
n
[
i1
2 i
(
X
i
X
i
) 1
]1
1
Swamy 建议使用最小二乘估计 ˆi ( X iX i )1 X iyi 和它们的残差
M M M M
Ωn1 Ωn2 L
Ωnn
nT nT
Ωij E(μiμj )
• 如何得到协方差矩阵的估计量？
– 模型随机项在不同横截面个体之间相关，称为空间相 关。关于空间相关性的描述，远比时间序列相关性复 杂得多。
– 例如，如果时间序列存在一阶相关，可以相关系数是 相同的。而对于截面序列，如果存在一阶相关，从经 济行为分析出发，就不能认为相关系数是相同的。
– 固定影响模型——随机干扰项在不同横截面个体之间 相关——GLS估计
– 随机影响模型的复合误差项
– 随机影响模型的GLS估计
一、变系数Panel Data模型表达及含义
1、实际经济分析中的变系数问题
• 线性模型中，系数表示边际倾向（对于直接线性 模型）或者弹性（对于对数线性模型），而它们 相对于不同的截面个体经常是不同的。例如：
E
(μiμj
)
i2IT
0
i j i j
Y = Xβ + X%α + μ
E(αiαj
)
0
i j i j
E(Xitαj ) 0
X%1
X%
0 M
0L X%2 L MM
0
0
M
0
0
L
X%n
nT
nK
α1
α
α2
M
αn nK1
(X%α + μ)的协方差矩阵是对角分块阵，其第i个对角分块为:
E(μiμj ) 0 i j
E(μiμi ) i2I
• 这里可以将模型看成一个由n个方程组成的联立 方程模型，由于方程之间不存在相关性，分别估 计每个方程并没有信息损失。
• 即使采用系统估计方法同时估计所有方程的参数 ，与单方程估计是等价的，因为没有增加任何信 息。
• 附带回答一个问题：建立Panel Data模型时需要 多长的时间序列样本？
0 0 Xn nTnK
1
2 n
nK
1
1
2
M
n
nT
1
2、截面个体不相关的模型估计
• 显然，如果随机干扰项在不同横截面个体之间不 相关，上述模型的参数估计极为简单，即以每个 截面个体的时间序列数据为样本，采用经典单方 程模型的估计方法分别估计其参数。
• 即使采用GLS估计同时得到的GLS估计量，也是 与在每个横截面个体上的经典单方程估计一样。
uˆi
yi
X
i
ˆ
i
得到
2 i
和 的无偏估计：
ˆ
2 i
uˆiuˆi T K
T
1 K
yi[I X i ( X iX i )1 X i]yi
一种FGLS
ˆ
1 n 1
n i 1
(ˆi
n 1
n j 1
ˆ j )(ˆi
n 1
n j 1
ˆ j )
1 n
n
ˆ
2 i
(
X
iX
i
)
1
i1
将截距项也看成是一个观测值始终为1的虚变量的系数。
3、关于变系数模型很少被采用的一点说明
• 正确的思路是首先进行模型设定检验，然后根据 检验结论建立相应的模型。
• 但是，从计量经济学模型应用的角度，由于变系 数Panel Data模型的结构参数是随截面个体变化 的，带来了应用的局限。人们更希望在控制截面 个体影响（有时包含时点影响）的情况下，得到 各个截面个体在“平均”意义上的结构参数。
–不同地区收入的边际消费倾向不同。 –不同地区FDI的边际效益不同。 –不同家庭的边际储蓄倾向不同。
• 而它们在各自的时间序列中一般是相同的。 • 从客观描述经济行为的角度，变系数Panel Data
模型具有很好的适用性。
2、模型表达
Yit i Xitβi it i 1, , n t 1, ,T
– 固定效应(Fixed-Effects)：模型的结构系数对于不同 的截面个体存在实质上的差异。
– 随机效应(Random-Effects) ：模型的结构系数对于不 同的截面个体只存在随机扰动的差异。
• 本节要点
– 变系数模型的表达式
– 固定影响模型——随机干扰项在不同横截面个体之间 不相关——OLS估计
3、截面个体相关的模型估计
• 如果随机项在不同横截面个体之间的协方差不为 零，GLS估计比每个横截面个体上的经典单方程 估计更有效。
– 联立方程模型方程之间相关性信息的利用。
– 参数的GLS估计为：
βˆ GLS＝(XV-1X)-1 XV-1Y
Biblioteka Baidu
Ω11 Ω12 L Ω1n
V Ω21 Ω22 L
Ω2n
§5.3 变系数Panel Data模型
Panel Data Models with Variable Coefficients
一、变系数Panel Data模型表达及含义 二、固定效应变系数Panel Data模型的估计 三、随机效应变系数Panel Data模型的估计
• 截面个体变系数Panel Data模型
– 关于随机项协方差矩阵的构造，有许多专门的研究。 一种可行的简单方法是：首先采用经典单方程模型的 估计方法分别估计每个横截面个体的系数，计算残差 估计值，以此构造随机项协方差矩阵的估计量，类似 于经典单方程模型的GLS那样。
三、随机效应变系数Panel Data模型的 估计
1、随机影响模型
βi β αi Eαi 0
• 由于Panel Data模型的截面个体数目很大，变系 数模型存在应用的技术困难。
二、固定效应变系数Panel Data模型的 估计
1、固定效应影响模型
• 将βi视为固定的不同的常数时，可写成：
y X
将截距项也看作一个虚变量
y
y1 y2 yn nT1 X
X1
0 0
0 X2 0
– 显然，时间序列样本的长度至少应该使得这里的参数 估计有效。
– 如果时间序列样本太短，例如在应用研究出现的3年、 4年的情况，那么截面个体变系数Panel Data模型无法 有效估计，模型设定检验将无法进行，Panel Data模 型的理论方法将无法实现。
– 这种情况下，只能将样本看成一组混合数据（Pooled Dat），而不是真正意义的Panel Data。
Φi
Xi ΔXi
2 i
IT
2、β的最佳线性无偏估计是GLS估计
ˆGLS
n
X
i
1 i
X
i
1
n
X
i
1 i
yi
n
Wi ˆi
i 1
i1
i1
i
X
i
X
i
2 i
I
T
复合随机项的协方差矩 阵的第i个对角分块
Wi
n
[
i1
2 i
(
X
i
X
i
)
1
]1
1[
2 i
(
X
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ˆi ( X iX i )1 X iyi
Yi Xiβi μi , i 1, 2,L , n
Yi1
Yi
Yi
2
M
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Xi
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M M M
βi
i2
M
μi
i2
M
X 2iT L
X KiT TK
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iT
说明GLS估计是每一个横截面个体 上最小二乘估计的矩阵加权平均。
权与它们的协方差成比例。
GLS 估计的协方差矩阵为：
Var(ˆGLS
)
n i 1
X
i
1 i
X
i
1
n
[
i1
2 i
(
X
i
X
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]1
1
Swamy 建议使用最小二乘估计 ˆi ( X iX i )1 X iyi 和它们的残差
M M M M
Ωn1 Ωn2 L
Ωnn
nT nT
Ωij E(μiμj )
• 如何得到协方差矩阵的估计量？
– 模型随机项在不同横截面个体之间相关，称为空间相 关。关于空间相关性的描述，远比时间序列相关性复 杂得多。
– 例如，如果时间序列存在一阶相关，可以相关系数是 相同的。而对于截面序列，如果存在一阶相关，从经 济行为分析出发，就不能认为相关系数是相同的。
– 固定影响模型——随机干扰项在不同横截面个体之间 相关——GLS估计
– 随机影响模型的复合误差项
– 随机影响模型的GLS估计
一、变系数Panel Data模型表达及含义
1、实际经济分析中的变系数问题
• 线性模型中，系数表示边际倾向（对于直接线性 模型）或者弹性（对于对数线性模型），而它们 相对于不同的截面个体经常是不同的。例如：
E
(μiμj
)
i2IT
0
i j i j
Y = Xβ + X%α + μ
E(αiαj
)
0
i j i j
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M
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α1
α
α2
M
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(X%α + μ)的协方差矩阵是对角分块阵，其第i个对角分块为: