机械优化设计三个案例

z z g g 2

z z z z 2 z 2

z z z z z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 机械优化设计案例 1

1. 题目

对一对单级圆柱齿轮减速器，以体积最小为目标进行优化设 计。

2.已知条件

已知数输入功 p=58kw ，输入转速 n 1=1000r/min ，齿数比 u=5，齿轮的许用应力[ δ ]H =550Mpa ，许用弯曲应力[ δ ] F =400Mpa 。 3.建立优化模型

3.1 问题分析及设计变量的确定

由已知条件得求在满足零件刚度和强度条件下，使减速器体 积最小的各项设计参数。由于齿轮和轴的尺寸（即壳体内的零件） 是决定减速器体积的依据，故可按它们的体积之和最小的原则建 立目标函数。

单机圆柱齿轮减速器的齿轮和轴的体积可近似的表示为：

v = 0.25πb (d 12

- d 21) + 0.25πb (d 2 - d 22 ) - 0.25(b - c )(D 22 - d 22 ) -

πd 0 c + 0.25πl (d 21 + d 22 ) + 7πd 21 + 8πd 22

= 0.25π [m 2

z 1 b - d 21b + m 2

z 1 u 2

b - d 22

b - 0.8b (mz 1u -10m )2

+ 2.05bd 22 - 0.05b (mz 1u -10m -1.6d z 2 ) + d 22l + 28d 21

+ 32d 22 ] 式中符号意义由结构图给出，其计算公式为

d 1 = mz 1, d 2 = mz 2 D g 2 = umz 1 -10m

d g 2 = 1.6d z 2 , d 0 = 0.25(umz 1 -10m -1.6d z 2 )

c = 0.2b

由上式知，齿数比给定之后，体积取决于 b 、z 1 、m 、l 、d z1 和 d z2 六个参数，则设计变量可取为

x = [x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 ]T = [b z 1 m l d z 1 d z 2 ]T

3.2 目标函数为

f (x ) = 0.785398(4.75x 1x 2 x 3 + 85x 1x 2 x 3 - 85x 1x 3

+ 0.92x 1x 6 - x 1x 5 + 0.8x 1x 2 x 3x 6 -1.6x 1x 3x 6 + x 4 x 5 + x 4 x 6 + 28x 5 + 32x 6 ) → min

3.3 约束条件的建立

1）为避免发生根切，应有z≥z min=17，得g1(x)=17-x2≤0

2)齿宽应满足ϕmin≤b

d

≤ϕmax

，ϕmin和ϕmax为齿宽系数ϕd的最大值

和最小值，一般取ϕmin=0.9，ϕmax=1.4，得

g2(x)=0.9-x1(x2x3)≤0

g3(x)=x1(x2x3)-1.4≤0

3）动力传递的齿轮模数应大于2mm，得

g4(x)=2-x3≤0

4）为了限制大齿轮的直径不至过大，小齿轮的直径不能大于d1max，得

g5(x)=x2x3-300≤0

5）齿轮轴直径的范围：d z min≤d z≤d z max得

g6(x)=100-x5≤0

g7(x)=x5-150≤0

g8(x)=130-x6≤0

g9(x)=x6-200≤0

6）轴的支撑距离l按结构关系，应满足条件：l

≥b+2∆min+0.5d z2（可取∆min=20），得

g10(x)=x1+0.5x6-x4-40≤0

7）齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值，得

2 2 4 2.85⨯106

x 4 2

2.85⨯106

x 4 2

3 3 2 2 2 2 2 2

2 2 2

g 11(x ) = 1468250 (x 2 x 3 x 1 ) - 550 ≤ 0

g 12 (x ) = 7098 x 1x 2 x 3

(0.169 + 0.6666 ⨯10-2 x 2 - 0.854 ⨯10-4

x 2 ) - 400 ≤ 0

g 13 (x ) = 7098

x 1x 2 x 3

(0.2824 + 0.177 ⨯102 x 2 - 0.394 ⨯10-4

x 2 )

- 400 ≤ 0

8）齿轮轴的最大挠度 δ max 不大于许用值[δ ] ，得

g 14 (x ) = 117.04 x 4 (x 2 x 3x 5 ) - 0.003x 4 ≤ 0

9）齿轮轴的弯曲应力 δ w 不大于许用值[δ ]

w ，得

g 15 (x ) =

g 16 (x ) = 1 x 5 1 x 6 ( ( x 2 x 3

x 2 x 3

) + 2.4 ⨯1012 - 5.5 ≤ 0

) + 6 ⨯1012 - 5.5 ≤ 0

4.优化方法的选择

由于该问题有 6 个设计变量，16 个约束条件的优化设计问题， 采用传统的优化设计方法比较繁琐，比较复杂，所以选用 Matlab 优化工具箱中的 fmincon 函数来求解此非线性优化问题，避免了 较为繁重的计算过程。

5.数学模型的求解

5.1.1 将已知及数据代入上式，该优化设计的数学优化模型表示为：

min f (x ) = 0.785398(4.75x 1x 2 x 3 + 85x 1x 2 x 3 -

85x 1x 3 + 0.92x 1x 6 - x 1x 5 + 0.8x 1x 2 x 3x 6 -1.6x 1x 3x 6+ x 4 x 5 + x 4 x 6 + 28x 5 + 32x 6 )

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