命题的四种形式

1．若命题p 的逆命题是q ，q 的逆否命题是r ，则命题r 是命题p 的( )
A ．逆命题
B ．否命题
C ．逆否命题
D ．等价命题
解析：根据四种命题之间的关系可知命题r 是命题p 的否命题．
答案：B
2．(2012·湖南高考)命题“若α＝π4
，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4
，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4
解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4
，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4
”． 答案：C
3．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A ．若a ≠－b ，则|a|≠|b|
B ．若a ＝－b ，则|a|≠|b|
C ．若|a|≠|b|，则a ≠－b
D ．若|a|＝|b|，则a ＝－b
解析：只需将原命题的结论变为新命题的条件，同时将原命题的条件变成新命题的结论即可，即“若|a|＝|b|，则a ＝－b ”．
答案：D
4．命题“若a >b ，则ac 2>bc 2(a ，b ，c ∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A ．0
B ．2
C ．3
D ．4
解析：原命题“若a >b ，则ac 2>bc 2(a ，b ，c ∈R)”为假命题，逆命题“若ac 2>bc 2，则a >b (a ，b ，c ∈R)”为真命题，否命题“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2，(a ，b ，c ∈R)”为真命题，逆否命题“若ac 2≤bc 2，则a ≤b (a ，b ，c ∈R)”为假命题．
答案：B
5．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．
解析：由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧
m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2. 答案：[1,2]
6．给定下列命题：
①若k ＞0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根；
②若x ＋y ≠8，则x ≠2或y ≠6；
③“矩形的对角线相等”的逆命题；
④“若xy ＝0，则x 、y 中至少有一个为0”的否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①∵Δ＝4－4(－k )＝4＋4k ＞0，
∴①是真命题．
②其逆否命题为真，故②是真命题．
③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．
④否命题：“若xy ≠0，则x 、y 都不为零”是真命题．
答案：①②④
7．写出命题“如果|x －2|＋(y －1)2＝0，则x ＝2且y ＝1”的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假．
解：逆命题：如果x ＝2且y ＝1，则|x －2|＋(y －1)2＝0.真命题；
否命题：如果|x －2|＋(y －1)2≠0，则x ≠2或y ≠1.真命题；
逆否命题：如果x ≠2或y ≠1，则|x －2|＋(y －1)2≠0.真命题．
8．已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集，则a <2，判断其逆否命题的真假．
解：法一：原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a ≥2，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集．判断真假如下：
抛物线：y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上，
判别式：Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7.
∵a ≥2，∴4a －7>0.
即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴有交点，所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．
法二：先判断原命题的真假．
因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集， ∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7<0，
∴a <74
，∴a <2，∴原命题为真命题．
因为原命题和逆否命题等价，故逆否命题为真命题．。