第五章材料力第七节 应力状态与强度理论考试复习重点知识与练习题

第七节应力状态与强度理论

◆一、点的应力状态及其分类

（1）定义：受力后构件上任一点沿各个不同方向上应力情况的集合，称为一点的应力状态。

（2）单元体选取方法：

1）分析构件的外力和支座反力；

2）过研究点取横截面，分析其内力；

3）确定横截面上该点的σ、τ的大小和方向。

（3）主平面：过某点的无数多个截面中，最大（或最小）正应力所在的平面称为主平面，主平面上剪应力必为零。

（4）主应力：主平面上的最大（或最小）正应力。

（5）点的应力状态分类：对任一点总可找到三对互相垂直的主平面，相应地存在三个互相垂直的主应力，按代数值大小排列为σ1≥σ2≥σ3。若这三个主应力中，仅一个不为零，则该应力状态称为单向应力状态；如有两个不为零，称为二向应力状态；当三个主应力均不为零时，称为三向应力状态。

◆二、二向应力状态

（一）斜截面上的应力

1. 解析法

平面应力状态如图5−26 所示,设其x为已知，则任意斜截面（其外法线n 与x轴夹角为α）上的正应力和剪应力分别为

式（5−58）中应力的符号规定为：正应力以拉应力为正，压应力为负；剪应力对单元体内任意点的矩为顺时针者为正，反之为负；α的符号规定为由x 轴转到外法线n 为逆时针者为正，反之为负。

◆ 三、三向应力状态、广义虎克定律

（一）斜截面上应力、最大剪应力

在σ—τ 直角坐标系下，代表单元体任何截面上应力的点，必定在由σ1和σ2、σ2和σ3、σ3和σ1所组成的三个应力圆（见图5−28）的圆周上或由它们所围成

的阴影范围内。理论分析证明了在三向应力状态中，最大剪应力的作用面与最大主应力σ1 和最小主应力σ3 所在平面成45°，而与σ2所在平面垂直，其值为

图5−28 三向应力状态的应力圆

（二）广义虎克定律

对各向同性材料，在线弹性范围内，复杂应力状态下的应力与应变之间存在

◆四、强度理论

强度理论实质上是利用简单拉压的试验结果，建立复杂应力状态下的强度条件的一些假说。这些假说认为，复杂应力状态下的危险准则，是某种决定因素达到单向拉伸时同一因素的极限值。强度理论分为两类：一类是解释材料发生脆性断裂破坏原因的，例如，最大拉应力理论（第一强度理论）和最大伸长线应变理论（第二强度理论）；另一类是解释塑性屈服破坏原因的，例如，最大剪应力理论（第三强度理论）和最大形状改变比能理论（第四强度理论）。这四种常用的强度理论的强度条件为

第八节组合变形

在小变形和材料服从虎克定律的前提下，组合变形问题的解法思路如下：

◆一、斜弯曲

当梁上的横向荷载与形心主惯性平面不平行时，梁将发生斜弯曲，其特点为：（1）斜弯曲可看作两个相互垂直平面内的平面弯曲的叠加。

（2）斜弯曲后，梁的挠曲线所在平面不再与荷载所在平面相重合。

（3）其危险点为单向应力状态，最大正应力为两个方向平面弯曲正应力的代数和。

1）对于有棱角的截面，如矩形、工字形、槽形等，危险点在凸角处，具体位置可用观察法确定。其强度条件为

◆二、拉（压）弯组合变形

◆三、弯扭组合变形

弯扭组合变形（或拉压、弯、扭组合变形）时的危险截面是最大弯矩Mmax（或最大轴力Nmax）与最大扭矩同时作用的截面，危险点是σmax（弯曲正应力或拉压正应力）和τmax（扭转剪应力）同时作用的点。该点属复杂应力状态，因此其第三和第四强度理论的强度条

件仍可由式（5−72）、式（5−73）来表示

第九节压杆稳定

◆一、细长压杆的临界力——欧拉公式

欧拉公式如下

式中 E ——压杆材料的弹性模量；

I ——截面的主惯性矩；

μ——长度系数；

μl ——压杆失稳时挠曲线中一个“半波正弦曲线”的长度，称为相当长度，此相当长度等于压杆失稳时挠曲线上两个弯矩零点之间的长度。

常用的四种杆端约束压杆的长度系数μ：

（1）一端固定、一端自由，μ=2；

（2）两端铰支，μ=1；

（3）一端固定、一端铰支，μ=0.7；

（4）两端固定，μ=0.5。

◆二、临界应力、柔度、欧拉公式的适用范围

式中 i ——惯性半径，它是反映截面形状和尺寸的一个几何量；

λ——压杆的柔度，又称为长细比，它是一个无量纲量，它综合地反映了杆长、杆端约束以及截面形状和尺寸对临界应力的影响。

可见，柔度λ是一个极其重要的量。

（二）临界应力总图、欧拉公式的适用范围

根据压杆的柔度值可将所有压杆分为三类：λ≥

λP的压杆为细长杆或大柔度杆，其临界应力可按欧拉

公式计算；λS＜λ＜λP的压杆为中长杆或中柔度杆，其临界应力可按经验公式σcr=a−bλ计算；λ≤λS的压杆则为短杆或小柔度杆，应按强度问题处理，用σcr=σS来计算其临界应力。图5−33 表示出这三种压杆的临界应力σcr随柔度λ的变化关系，称为临界应力总图，由图5−33 中可以看到欧拉公式的使用条件是

◆三、压杆的稳定计算

◆四、提高压杆稳定性的措施