专题6 解三角形-浙江高考高三数学十年高考(2009-2018)分类汇编

专题6 解三角形-浙江高考高三数学十年高考（2009-2018）分类汇编
【考情概览】
【应试策略】
1.在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若角A B C ，，依次成等差数列，且1a =，b =，则ABC S ∆= .
【答案】
2
3
∴111222
ABC S ab ∆=
=⨯=. 【应试策略】
已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．[
已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则
a ＜
b sin A
a ＝
b sin A
b sin A ＜a
＜b
a ≥b
a ＞b
a ≤b
2.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c cos sin B b A =． （1）求角B 的大小；
（2）若ABC ∆的面积2
S =，求a c 的值．
【答案】（1）3
π
=
B ；（2）
1=c
a
．
【应试策略】
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
[注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
提醒：
1．在△ABC中有如下结论sin A＞sin B⇔a＞b.
2．当b2＋c2－a2＞0时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；
当b2＋c2－a2＝0时，角A为直角，三角形为直角三角形；
当b2＋c2－a2＜0时，角A为钝角，三角形为钝角三角形．
3.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝a2＋b2－2ab cos α.若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．
【答案】
【应试策略】
研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.归纳起来常见的命题角度有： 1
2
3
. 【真题展示】
1.【2011年.浙江卷.文5】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则
2
si n cos cos A A B +=
(A)-
12 (B) 1
2
(C) -1 (D) 1 【答案】D
【解析】∵B b A a sin cos =，∴B A A 2
sin cos sin =，
∴1cos sin cos cos sin 2
22=+=+B B B A A ，故选D.
2.【2014年.浙江卷.文10】如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角），若m AB 15=，m AC 25=，
30=∠BCM ，则θtan 的最大值是（ ）
A.
530 B. 1030 C.934 D. 9
3
5
【答案】D
令)0(33
40625)(2
>+-=
x x
x x f 2527)125341(6252+-=x ，当125341=x 时2527)(min =x f ， 所以θ2
tan 的最大值为27
25
，即θtan 的最大值是935
二、填空题
3.【2018年浙江卷13】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =2，A =60°，则sin
B =___________，c =___________．
【答案】
7
3
4.【2017年，浙江卷14】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC
的面积是______，cos∠BDC =_______．
【解析】试题分析：取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，
△ABE 中，1
cos 4
BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠=，
∴1sin 2BCD S BD BC DBC =
⨯⨯⨯∠=△． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21
cos cos22cos 14
ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，
解得cos BDC ∠=
cos BDC ∠=（舍去）．
综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=． 5.【2014年.浙江卷.理17】如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到
墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线
移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的
仰角的大小.若
则
的最大值
6.【2013年.浙江卷.理16】在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝1
3
，则sin ∠BAC ＝__________.
【答案】
3
【解析】如图以C 为原点建立平面直角坐标系，
设A (0，b )，B (a,0)，则M ,02a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，AB ＝(a ，－b )，AM ＝,2a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，
cos ∠MAB ＝AB AM AB AM ⋅
＝2
2
a b +.
又sin ∠MAB ＝13，∴cos
∠MAB
=∴2
222
2222894a b a a b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫(+)+ ⎪
⎝⎭
， 整理得a 4
－4a 2b 2
＋4b 4
＝0，即a 2
－2b 2
＝0，∴a 2
＝2b 2
， sin ∠
CAB
=
=
=. 三、解答题
7.【2015高考浙江，理16】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4
A π
=
，
22b a -=
12
2
c . （1）求tan C 的值；
（2）若ABC ∆的面积为7，求b 的值. 【答案】（1）2；（2）3b =.
又∵4
A π
=
，
1
sin 32
bc A =，∴bc =3b =.
8.【2014年.浙江卷.理18】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,a b c ≠=
22cos -cos cos cos .A B A A B B
（I ）求角C 的大小； （II ）若4
sin 5
A =
，求ABC ∆的面积.
【答案】（Ⅰ）3
C π
=
；（Ⅱ）18
25
S =
．
9.【2010年.浙江卷.理18】(本题满分l4分)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知1
cos 24
C =-
(I)求sinC 的值；
(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．
【答案】(Ⅱ) 44
b b
c c ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩【解析】
（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin 2
C=14-
，及0＜C ＜π，所以（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理
a c
sin A sin C
=，得c=4
由cos2C=2cos 2
C-1=14-
，J 及0＜C ＜π得cosC=±4
c 2=a 2+b 2
-2abcosC ，得
b 2
b-12=0，解得2 44b b c c ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩
10.【2012年.浙江卷.理18】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2
cos 3
A =
，sin B ＝
C ．
(1)求tan C 的值；
(2)若a =
ABC 的面积．
【答案】（1）tan C =2）1csin 2S a B =
=
11.【2011年.浙江卷.理18】在ABC 中，角..A B C 所对的边分别为a,b,c. 已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且2
14
ac b =
.
（Ⅰ）当5
,14
p b =
=时，求,a c 的值； (Ⅱ)若角B 为锐角，求p 的取值范围；
【答案】（Ⅰ）11
4a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 或141
a c ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩ ；(Ⅱ
p <<【解析】（I ）由题设并利用正弦定理，得5,4
1,4
a c ac ⎧
+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,1,41
, 1.4a a c c =⎧⎧=⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩或 (Ⅱ)由（Ⅰ）可知a c pb +=，由余弦定理得22
2cos b a c ac B =+-22()22cos a c ac ac B =+--
222211cos 22p b b b B =--即231
cos 22
p B
=+(0,1)∈cosB 23
(,2)2
p ∴∈由题设知0p >
p <<12.【2009年.浙江卷.理18】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，且满足cos
2A =
， 3AB AC ⋅=．
（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值． 【答案】（I ）2；（II
）
13.【2016高考浙江理数】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B. （I ）证明：A =2B ；
（II ）若△ABC 的面积2
=4
a S ，求角A 的大小.
【答案】（I ）证明见解析；（II ）
2π或4
π
． （I ）由正弦定理得sin sin C 2sin cos B +=A B ，
故()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B =B+A+B =B+A B+A B ，
于是()sin sin B =A-B ．又A ，()0,πB∈，故0π<A -B <，所以()πB =-A-B 或B =A -B ， 因此πA =（舍去）或2A =B ，所以，2A =B ．
（II ）由24a S =得2
1sin C 24
a a
b =，故有1sin sin C sin 2sin cos 2B =B =B B ，
因sin 0B ≠，得sin C cos =B ．又B ，()C 0,π∈，所以C 2
π
=±B ．
当C 2
π
B +=
时，2
π
A =
；当C 2
π
-B =
时，4
π
A =
．综上，2
π
A =
或4
π
A =
．
14.【2016高考浙江文数】（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b +c =2a cos
B .
（Ⅰ）证明：A =2B ； （Ⅱ）若cos B =
2
3
，求cos C 的值． 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）22cos 27
C =
.
15.【2015高考浙江，文16】（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知
tan(A)24
π
+=.
（1）求2sin 2sin 2cos A
A A
+的值；
（2）若B ,34
a π
=
=，求ABC ∆的面积.
【答案】(1)2
5
；(2)9 【解析】
(1)由tan(
A)24π
+=，得1tan 3A =
，
所以22sin 22sin cos 2tan 2
sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15
A A A A A A A A A A ===+++.
(2)由1tan 3A =
可得，sin 1010
A A ==.
3,4
a B π
==
，由正弦定理知：b =
又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=
，
所以11sin 3922ABC S ab C ∆=
=⨯⨯=. 16.【2014年.浙江卷.文18】
在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，已知24sin 4sin sin 22
A B
A B -+= （1）求角C 的大小；
（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值. 【答案】（1）
3
π；（2）10.
17.【2013年.浙江卷.文18】在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B .
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．
【答案】(1) π3A =
【解析】：(1)由2a sin B 及正弦定理
sin sin a b A B =，得sin A .因为A 是锐角，所以π3A =. (2)由余弦定理a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，得b 2
＋c 2
－bc ＝36.又b ＋c ＝8，所以28
3
bc =
.
由三角形面积公式S ＝
12bc sin A ，得△ABC 的面积为3
.
18.【2012年.浙江卷.文18】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A cos B ．
(1)求角B 的大小；
(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．
【答案】(1) π
3
B =
；(2) a =c =．
19.【2011年.浙江卷.文18】已知函数()sin (
)3
f x A x π
ϕ=+，x R ∈，0A >，02
π
ϕ<<
.()y f x =的
部分图像，如图所示，P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1,)A .
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及ϕ的值； （Ⅱ）若点R 的坐标为(1,0)，
【答案】（Ⅰ）
6
π
；
【解析】（Ⅰ）由题意得，2 6.3
T π
π
=
=因为(,)sin(
)3P A y A x π
ϕ=+在的图象上，所以sin(,) 1.3
π
ϕ+=
又因为02
π
ϕ<<
，所以6
π
ϕ=
（Ⅱ）设点Q 的坐标为0(,)x A -由题意可知033
6
2
x π
π
π
+
=
，得04,(4,)x Q A =-所以 连接PQ ，在2,3
PRQ PRQ π
∆∠=
中，由余弦定理得
2222221
cos .22RP RQ PQ PRQ RP RQ +-∠===-⋅解得2 3.A =
又0,A A >=所以
20.【2010年.浙江卷.文18】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC
的面积，满足
2
22)S a b c =
+-。

（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值。

【答案】（Ⅰ）C=
π
3
.
21.【2009年.浙江卷.文18】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，且满足cos
2A =
， 3AB AC ⋅=．
（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）2；
（Ⅱ）【解析】：（Ⅰ）5
3
1)552(212cos 2cos 22
=-⨯=-=A A 又),0(π∈A ，54cos 1sin 2
=
-=A A
，而35
3
cos .===bc A ，所以5=bc ，所以
ABC ∆的面积为：25
4
521sin 21=⨯⨯=A bc
（Ⅱ）由（Ⅰ）知5=bc ，而1=c ，所以5=b 所以5232125cos 22
2=⨯-+=
-+=A bc c b a
【对症下药】
1.判断三角形的形状
利用正、余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。

一般地，利用正弦定理的变形式2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角恒等变换化简。

其中往往用到三角形内角和定理πA B C ++=。

利用余弦定理变形式
222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222
cos 2a b c C ab
+-=可将有关三角形中的角的余弦关系转化
为边的关系，然后充分利用代数知识解决问题。

2.正、余弦定理的综合应用
求角形的边、角是高考的热点，通常是借助正、余弦定理，将边角统一为边或角，结合三角恒等变换的知识求解。

3.解三角形与向量的综合
解三角形与向量的综合，这类题主要表现为以向量为载体，在考查平面向量知识的同时考查三角函数知识。

解答时一般首先利用向量的知识将问题转化为解三角形问题，再利用相关的三角知识求解。

4.实际问题应用举例
运用正、余弦定理等知识和解三角形的方法解决一些与测量和几何计算有关的问题。

【考题预测】
1.已知,,,,,a b c A B C 分别是ABC ∆的三条边及相对三个角，满足::cos :cos :cos a b c A B C =，则ABC ∆的形状是（ ）
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形 【答案】B
2.已知在ABC ∆中，c
c
b A 22cos
2
+=，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰直角三角形 【答案】A
【解析】由正弦定理得
C
B c c b sin 2sin 212+=+，∴
C B
A sin 2sin 212cos 1+=+，
∴C A B sin cos sin =.
∵在三角形中有)sin()](sin[sin C A C A B +=+-=π， ∴C A C A C A sin cos sin cos cos sin =+. ∴0cos sin =C A .
∵0sin ≠A ，∴0cos =C ，即2
π
=C .
故ABC ∆为直角三角形．选A.
3.在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，若22()6c a b =-+，ABC ∆，则C =（ )
（A ）
3π （B ）23π （C ）6π （D ）56
π 【答案】A
4.如图，一栋建筑物的高为(30－，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为________ m.
【答案】60
故答案为60.
5.如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了,A B两个报名点，
A B C中任意两点间的距离为10km.公司拟按以下思路运作：先将,A B两处游客分别乘车集中到
满足,,
AB之间的中转点D处(点D异于,A B两点)，然后乘同一艘轮游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2a元，游轮每千米耗费12a元．（其中a是正常数）设∠ ，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元．
CDA a
(1) 写出S 关于a 的函数表达式，并指出a 的取值范围； (2) 问：中转点D 距离A 处多远时， S 最小？ 【答案】(1) 233π
πα⎛⎫
<<
⎪
⎝⎭
；（2
. 【解析】试题分析：（1）在ACD ∆
中，求出相关的角，利用正弦定理，求出
2103,sin CD AD sin sin πααα
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭==，表示出所需运输成本为S 元关于α的函数表达式；（2）利用函数表
达式，求出函数的导数，通过导数的符号，判断单调性求解函数的最值. 试题解析：(1) 由题知在△ACD 中，∠CAD ＝
3π，∠CDA ＝α，AC ＝10，∠ACD ＝23
π
－α. 由正弦定理知
10
23
3CD AD sin sin
sin π
παα=
=
⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 即CD
AD ＝
2103sin sin παα⎛⎫- ⎪
⎝⎭，
所以S ＝4aAD ＋8aBD ＋12aCD ＝ (12CD －4AD ＋80)a
＝2403sin sin παα⎡⎤
⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
a ＋80a
＝⎡⎢⎣a ＋60a 233ππα⎛⎫
<< ⎪⎝⎭。