非线性振动第章多尺度
非线性振动第1章 等效
ε 2π ω 2 = ω02 − ∫ f (a cos ϕ , −ap0 sin ϕ ) cos ϕ dϕ πa 0
例1
mɺɺ + cx + kx + µx3 + γx5 = 0 x ɺ
1 ɺ (cx + kx + µx3 + γx5 ) = 0 m
ɺɺ + x
k ω = m
2 0
1 ɺ ɺ f ( x, x) = (cx + kx + µx3 + γx5 ) m
∫ε
0
[ 2 λ ( − a ω 0 sin ϕ ) + ω 2 a co s ϕ + ω 02 a co s ϕ − f ( a co s ϕ , − a ω 0 sin ϕ )] 2 d ϕ
2 2[2λ(−aω0 sin ϕ) + ω2a cosϕ − ω0 a cosϕ + ε f (a cosϕ, −aω0 sin ϕ)]
2π 2π
0
ψ 1 − sinψ = π 2 4 0
将解代入等价线性化方程
& & & x + λe x + ke x = F0 sin ωt
则得
F0 F0 = a= 2 3 2 ke − ω 2 ω0 + ε a − ω 2 4
幅频特性曲线
例3
用等价线性化法求如下非自治振动方程的定常解：
0
∫ caω0
0
1 − cos 2ϕ c dϕ = 2 2m
1 1 ω2 = [c(−aω0 sin ϕ) + ka cosϕ + µ(a cosϕ)3 + γ a(cosϕ)5 ]cosϕdϕ πa m ∫ 0 1 1 [ka cos2 ϕ + µa3 cos4 ϕ + γ a5 cos6 ϕ]dϕ = πa m ∫ 0 1 1 1 1 3 2 5 5 3 3 1 5 5 3 1 π = ⋅ 4 ⋅[ka ⋅ + µa ⋅ + γ a ⋅ ⋅ ] = (k + µa + γ a ) πa m 2 4 2 6 4 2 2 m 4 8
非线性振动第1章
近20多年来计算机技术的迅速发展，许多非线性振动问题 可以借助数值计算与数值模拟方法予以解决，这就使得非线性 振动问题的解法向前推进了一大步。
1 非线性振动的利用； 2 非线性振动的控制； 3 非线性振动的机理 。
目前在工程技术部门中，对许多非线性振动机理的研究 还很不深入。例如，对于一些在复杂非线性因素影响下的强 非线性多自由度系统的精确求解、复杂时变过程的特性、复 杂系统失稳的机理、复杂自激振动的起因和发展过程，一些 重大机械设备产生重大事故和发生破坏的原因，亚谐分叉解 的形成，混沌运动的产生等等。
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非线性振动第1章
10
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8. 复杂非线性振动系统的自激振动；
9. 带有冲击的非线性振动系统的振动机理与振动特性；
10. 非线性系统的振动及其稳定性的控制；
11. 有关非线性振动的动态过程的机理及利用；
12. 与非线性振动有关的设备或结构破坏的机理及故障的诊断方法；
13. 在复杂因素影响下的非线性波的机理及其控制与利用；
14. 板壳及复杂结构在大变形情况下的非线性振动的研究；
非线性振动第1章
非线性振动
能够求出精确解的非线性系统极少，一般使用数值方法计算。采用近似计算的方法大部分是针对 弱非线性系统。对于强非线性系统，首先需要求出与之相近，而又精确可积的非线性系统精确解，然后 对精确非线性解进行摄动，所导出的微分方程仍然需要借助数值方法求解。
1. 线性振动一般解与典型非线性方程
0 x 0 有阻尼自由振动系统 x 20 x
取决于系统阻尼比与固有频率和激励频率的关系，有
arctan
2 / 0 2 1 2 / 0
1
稳态相应振幅与激励振幅的比值有
A2 B
1
2
2 / 0 2 / 0 2
2
(t ) cx (t ) kx(t ) F cos t kA cos t 对方程 mx
2 2 (t ) n 变形为 x(t ) 2n x x(t ) n A cos t
通解 X cos(t ) ， 表响应对激励的滞后：
通解 X1 为： x
2 0
v n x0 0
2 d
2
v n x0 e nt cos d t 0 ，瞬态响应，逐步衰减。 d
2
A cos nt ，且根据
n 1 n
2
非线性振动
u u (1 u ) 0 ，主要研究自激振动 Van der Pol 方程 u
2 2
实际可能，将谐波取到 3 倍频：(根据实际情况略去无用的高阶项，但求解会存在不少问题！)
x x An cos nt An n 2 2 cos nt
记录非线性的现象和原因，记录求解非线性问题的计算方法 很多问题不实际算，是不会发现问题的 陈小飞，2009-10-16 目 录
理论力学中的非线性振动与混沌理论研究
理论力学中的非线性振动与混沌理论研究在理论力学中，振动和混沌是两个重要的研究领域。
非线性振动和混沌理论的研究对于理解自然界的复杂现象以及应用于工程实践具有重要的意义。
本文将探讨理论力学中的非线性振动和混沌理论的研究进展及其应用。
一、非线性振动的基本概念与理论非线性振动是相对于线性振动而言的，而线性振动是振动系统中的基本概念。
在线性振动中，振动系统的响应与外部激励之间存在线性关系，振动的特征可以由线性微分方程描述。
然而，在实际的振动系统中，往往存在着非线性因素的影响，例如摩擦、弹性的非线性等。
非线性振动的研究旨在揭示非线性振动系统的特点与行为规律。
在非线性振动的研究中，常常使用多尺度分析方法。
多尺度分析的基本思想是根据振动系统的性质和具体问题的需求，选择合适的变量和时间尺度，并将振动系统的行为分解为各个尺度下的变化。
常用的多尺度分析方法包括平均法、正则变换法等。
非线性振动的研究不仅限于理论分析，还包括实验研究和数值模拟。
实验可以通过测量振动系统的响应来验证理论预测，并获得系统的动力学行为；数值模拟可以通过模拟振动系统的微分方程，得到系统的时间演化过程。
实验和数值模拟的结果可以相互印证，从而更加全面地理解非线性振动系统。
二、混沌理论的发展与应用混沌理论是上世纪70年代发展起来的，并在之后的几十年中得到了广泛的应用。
混沌现象是指一个动力系统的演化在初态非常微小的扰动下会发生显著的变化，导致系统行为无法准确预测。
混沌理论的研究对于理解非线性系统的复杂性、探索系统演化规律以及开展实际应用具有重要的意义。
混沌理论的研究方法一般包括分岔图、Lyapunov指数、Poincaré截面等。
分岔图是通过调整系统参数并观察系统响应的变化来研究系统周期解和混沌解之间的转变。
Lyapunov指数是用来刻画系统演化的敏感程度，通过计算系统的特征指数来衡量系统的混沌程度。
Poincaré截面则是通过选择适当的截面来研究振动系统的相轨迹和相空间的结构。
第一章 非线性振动初步
第一章 非线性振动初步第一节 无阻尼单摆的自由振荡1 小角度无阻尼单摆 椭圆点单摆，一个由摆线l 联着的重量为mg 的摆锤所组成的力学系统，是力学教科书中通常都要进行讨论的一个简单的动力学模型。
其实我们将会看到，它具有非常复杂的动力学行为，是一个复杂系统。
我们研究一个理想的单摆，即忽略摆线l 质量，认为整个系统的质量都集中在摆锤上，是一个具有集中参数的数学摆，如图1-1所示。
因为如果把摆线与摆锤的质量一起计算，单摆就是一个具有分布参数的摆，与此相应的数学模型是偏微分方程，处理起来很复杂。
理想单摆的数学表达是常微分方程，研究起来就要容易得多了。
图1-1 数学摆首先忽略一切阻尼，例如忽略摆锤在运动中受到的空气阻力、摆线与悬挂点之间的摩擦力等等。
由牛顿第二运动定律，摆锤质量为m 的单摆的运动方程为：(1-1-1)式中θ为摆角，g 为重力加速度。
将等式右边项移到到左边，并以ml 相除后有：设 ，它是以单位时间的弧度为单位的角频率，则式(1-1-1)可写为：(1-1-2)由于正弦函数是非线性的，因此这是一个二阶非线性微分方程。
用级数展开正弦函数：(1-1-3)如果x 很小，则可以忽略三次以上的高次项，即。
这就是说当单摆的摆角很小时，式(1-1-2)变为线性微分方程：ml d dtmg 22θθ=−sin 0sin 22=+θθl g dt d l g /0=ω0ω0sin 2022=+θωθdt d L +−+−=!7!5!3sin 753x x x x x x x ≈sin(1-1-4)方程(1-1-4)的解可以通过如下的代换解获得：式中λ为常数。
代入方程(1-1-4)并消去因子后得特征方程：(1-1-5)方程(1-1-5)的特征根为：由此得到方程(1-1-4)的通解为：(1-1-6)式中，为复常数。
由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数，必须满足条件：于是得条件：，。
将满足这样条件的系数，写成指数形式：， 其中P 为它们的模，为幅角，则(1-1-6)式写成如下形式：(1-1-7)(1-1-7)式是一个振幅为P ，角频率为的简谐振动表示式，表明单摆在摆角很小时的摆动为简谐振荡，其振动波形可以用正弦曲线来表示。
非线性振动
非线性振动期末作业任课老师：姓名：学号：专业：课程：非线性振动非线性振动的理论研究方法非线性振动是指恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。
尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。
一般说，线性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。
通过理论分析对非线性振动进行研究是目前最有效最基本最直接的方式。
理论研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。
非线性振动理论研究分析的最重要的数学工具就是微分方程。
学者们在微分方程发展过程中发现用初等函数表达方程解的可能性极为有限之后，出现了三个比较重要的方向。
其一是引入新的函数作为解的表达，并研究这些函数的性质和数值解。
非线性振动中有个别的问题就可以用这种方法来求解方程，例如摆的大幅振动解用椭圆函数表达。
然而这方面的例子是极为有限的。
这就说明只有极少数非线性微分方程能够求出方程的解，所以通常必须用近似的求解方法求出非线性微分方程的近似解，这就需要用到求解非线性微分方程的两个最基本的方法，这就是定性方法和定量方法。
定性理论不通过解的表达式来研究分析解的性质，比如利用几何法作出微分方程所定义的积分曲线，运用稳定性理论引入另外的函数中，通过它们去研究解的性质。
把常微分方程定性理论与非线性振动联系起来主要应归功于前苏联的Andronov等建立起来的学派。
这些学者们把定性理论用来解决电学和力学中出现的大量非线性振动问题。
定性理论在发展的过程中，一方面在理论上形成了许多讨论奇点、周期解、极限环的定理、判据等，一方面形成了一些实用的作图方法，例如等倾线法、Lienard法、点映射等。
求解非线性微分方程近似解的方法中定量分析的方法包括数值解法以及解析法。
非线性振动的研究内容和步骤-《非线性振动》周纪卿朱因远
《非线性振动》周纪卿朱因远西安交通大学出版社，1998 P4：
对一般工程问题，非线性振动问题的研究可分五步进行：首先建立数学模型，并将自变量、因变量和参数化为无量纲的，便于分析参数的量级；然后求平衡点和周期解；进而研究这些平衡点和周期解的稳定性；如果方程中含有参数，应研究参数变化时，平衡点及周期解的个数及性态是如何变化的，找出使解的拓扑结构变化的参数值（称为临界参数）；最后，有条件且有必要时，应研究任一给定的初始条件下，系统长期发展的结果，即研究非线性系统的整体性态。
完成以上五步工作，非线性系统的性态算是比较彻底地被研究了。
P303：
非线性振动的研究一般分五步：（1）建立数学模型；（2）求周期解；（3）研究周期解的稳定性；（4）若方程中含有参数，研究参数变化引起的解的变化；（5）研究非线性系统的全局性态。
前三步的研究，主要是对解得局部特性的研究，第（5）步是研究任给一初始条件，系统的长期发展和最终结局及各种运动的性态和分界情况等。
点映射法是庞加莱于1881年提出来的，后经安德罗诺夫等广泛应用于非线性振动领域。
胞映射法是徐皆苏教授在本世纪80年代提出来的，这是一个崭新的方法。
分析和求解方法：大体上分为实验法和分析法
1. 实验法- 分析方法
2. 分析法：
（1）定性分析法：相平面法- 分析方法
（2）定量分析法：
a. 近似解析方法：小参数法、多尺度法、慢变参数法、伽辽金法、谐波平衡法等。
- 方程求解方法
b. 数值方法：初值法、边值法、点映射法、胞映射法等。
初值法：龙格库塔法、Gill法等- 方程求解
边值法- 方程求解方法
点映射法、胞映射法- 分析方法。
第一章非线性振动初步讲解
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期数学表达式
对方程
d 2 2 sin 0 0 2 dt
双曲点
乘以 d / dt 后积分 其中 E 2 2 cos 0 0
d 2 E 20 cos dt
2
积分 d [2(cos cos )1 / 2 0 0
势能曲线
• 基本方程 若取 0 1后积分得
d 2 2 sin 0 0 dt2
2
1 d cos E 2 dt 左边第一项是单摆动能 K， 左边第二项是势能 V 右边积分常数E是单摆总能
势能曲线是余弦函数
V ( ) cos
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
2 dt 2
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期
周期与摆角无关？ 看看实验结果：
T/T0
双曲点
T0 2 / 0 2 l g ? T
0 1.0000 5 1.0005 10 1.0019 20 1.0077 30 1.0174 45 1.0369
定性结论： 1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形
dt
0t
d [2(cos cos0 )]1/ 2
设t = 0时， 0 ，周期为 T，在 t T / 4时应有 0 ，故有：
0T / 4
0
0
2 sin 2 0 / 2 sin得：
1 2 2 0 1 3 2 4 0 T T0 1 sin sin 2 2 4 2 2
0 0
该式是振幅为P，角频率为 0 的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。角频 率只与摆线 l 得长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。
非线性振动第1章Ritz-Galerkin法
a T [( 2 1 3 a2 )cos 1 a2cos3]cosdt 0
0
4
4
T x x x3 cosdt 0
T a2 a a3cos2 cos cosdt 0
a T [( 2 1 3 a2 )cos 1 a2cos3]cosdt 0
R(ai )
N
aiw&&i
f
N
ai
wi
0
i1
i1
近似解的变分
N
x wi t ai i 1
为使偏差最小，取这个残值与近似解的变分的乘积，在 一周期内积分（也即使偏差在一个周期内平均分布）为零：
T
0 R(ai ) xdt 0
N
i 1
T 0
N i1
aiw&&i
f
N i 1
ai wi
wi aidt
0
由于 ai 任意，则：
T 0
N i1
aiw&&i
f
N i 1
ai wi
widt
0
i=0,1,2...
a 解此代数方程组，求出N个待定系数 i ,代回原方程即得近似解
x&&= - a12 cos - 9a32 cos 3
x3 = (a1 cos + a3 cos)3 = a13 cos3 + a33 cos3 3 + 3a12a3 cos2 cos 3 + 3a1a32 cos cos2 3
第一部分非线振动初步教学课件
将范德玻耳方程写为
d 2x dt 2
02x
e (x 2
1) dx dt
仿照单摆方程的解，设范德玻耳方程的解为：
x A cos t
两次微分
dx A sint
dt
d 2x dt 2
A 2 cos t
一起代入方程得： (02 2 )A cost
eA 1 A 2 1sin t+ 1 eA 3 sin 3 t
dx dt
A sint
就有：
e (x 2 -1) dx
e
1
A
2
1
dx
dt 4
dt
就可将范德玻耳方程化为线性化方程：
d 2x dt 2
02x
e (x 2
1) dx dt
d 2x dt 2
e(1 A2 4
1) dx dt
02x
0
其解为 x(t) A e t cost
02
2
1/ 2
在分界线内的轨线是闭合回线 单摆作周期振动。分界线以外
单摆能量E 超过势能曲线的极
大值，轨道就不再闭合，单摆 作向左或向右方向的旋转运动
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
柱面上的单摆相轨线
相图横坐标θ是以2为周期的， 摆角 是同一个倒立位置，
把相图上G点与G‘点重迭一起 时，就把相平面卷缩成一个柱 面。所有相轨线都将呈现在柱 面上。因此，平面上的相轨线 是柱面上的相轨线的展开图。
非线性振动初步
第一节 无阻尼单摆的自由振荡 第二节 阻尼振子 第三节 相图方法 第四节 受迫振荡
第一节 无阻尼单摆的自由振荡
1 小角度无阻尼单摆 椭圆点 2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点 3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
理论力学第28章非线性振动分岔混沌
• Ford J教授认为：20世纪科学将永远被铭记的只有三件事， 那就是相对论，量子力学和混沌。混沌学的出现是20世纪 的第三次科学革命。
• 孔丘（前551~前479）在《易经》中写道：“易有太极， 是生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦定吉凶，吉凶 生大业。” 孔丘包含了朴素的倍周期分岔通向混沌道路 的思想。
• 李耳和孔丘的思想都是猜想没有经过严格的数学证明。而 在近代，全世界最早给出混沌的第一个严格数学定义的人 是美籍华人李天岩。他和约克教授在1975年12月份那期 《美国数学月刊》上发表了一篇论文，题为“周期3意味 着混沌”。在这篇文章中，他们正式提出混沌一词，并给 出它的定义和一些有趣的性质。
件； • b．当出现分岔时，系统的拓扑结构随参数变化的情况，
即分岔的定性性态的研究； • c．计算分岔解，尤其是平衡点和极限环，并分析其稳定
性； • d．考察不同分岔的相互作用问题，以及分岔与混沌，分
形等其他动力学现象的关系。
28.2.3普适开折的保持性、转迁集
用近似方法分析非线性振动问题时，会 得到响应方程。该方程是分析非线性振动 系统分岔解的基本方程，又称分岔方程。 需计算分岔方程的转迁集和分岔图，以便 完成非线性振动问题的分岔分析。如果所 求得的分岔方程不是普适开折，则需对之 进行识别，并进行普适开折，然后再求转 迁集和分岔图。
f 有m 周期点。如果 n 按Sarkovskii序大于 m ，则 f 有 n 周期点。其中自然数的 Sarkovskii是指如下的先后排列：
3， 5， 7， ， 2n 1, 2n 3,
多时间尺度方法在桩基非线性受迫振动分析中的应用
多时间尺度方法在桩基非线性受迫振动分析中的应用高波，胡春林武汉理工大学土木工程与建筑学院，武汉（430070）E-mail：shuipipo@摘要：多时间尺度法是研究质点非线性振动的一种好方法，也是研究桩基非线性振动的一种有效方法。
在对桩基非线性振动分析及多时间尺度方法研究现状进行综述的基础上，以桩顶简谐荷载作用下桩基非线性轴向受迫振动分析为例阐述了多尺度时间法的求解步骤，给出了桩基非线性轴向受迫振动系统主共振时的稳态幅频响应曲线的方程式。
关键词：桩基，非线性振动，多时间尺度法，幅频响应中图分类号：TU31．引言我国每年用于工程的桩基数量与日俱增，桩基础的计算和设计水平直接关系到建筑物的设计水平和工程质量，有必要进一步加强对桩基计算和设计理论的研究。
作用于桩基的荷载可分为静荷载和动荷载，其中在动荷载作用下桩基的振动特性、桩基和桩周土相互作用以及复杂的非线性动力学系统等是研究的重点和难点。
桩基的定性分析、数值模拟和试验等研究一直是岩土工程专家和技术人员共同关心的问题。
但是，由于承台、桩和土的相互作用，桩基础的载荷传递与变形过程属于复杂的非线性力学过程，桩基在各种载荷作用下，其载荷传递机理和桩基的破坏模式与基桩本身的材料强度、抗弯刚度、桩侧土体的抗力、摩阻力、桩端土体的承载能力以及施加载荷的方式等因素都密切相关，这给桩基的设计和施工带来很多困难。
由于分析计算的精度很低，不得不通过大量的现场或施工摸索来逐步修正，以获得正确的设计方案和施工方法，实际花费的代价非常之大，至今有许多问题未得到解决。
桩基非线性动力学系统由于非常复杂，数值模拟和试验的难度很大，本文介绍了用多时间尺度方法进行桩基非线性振动的分析，这无论是对桩基非线性动力学系统的理论研究还是对桩基工程的应用等，都具有非常重大的意义。
2．研究现状摄动理论常用于分析质点的非线性振动，摄动理论中的平均法是利用两种不同的时间尺度，将系统的振动分解为快变和慢变两种过程。
第一章非线性振动初步
x ' (t ) A0e
t
cos( t )
2 0 2
2 2 2
A
F
e i
( 2 2 )2 4 2 2
1．线性单摆的受迫振动
小摆角驱动单摆的通解
A F e i
x " (t ) Ae
i t
x " (t )
F
e i e i( t )
代入、 以后特解为：
x " (t ) F ( 2 2 )2 4 2 2 cos( t x(t ) x' x" A0e t cos( t ) F ( 2 2 )2 4 2 2 cos( t tg1 2 ) 2 2
A
2. 杜芬方程的受迫振动
杜芬方程解
2. 方程解(续)
F cos 0 2 1 F 1 A2 sin 0 16 A ( + ) F cos 0 2 F e sin 0 A( + )
A
A
e 1
1 2 A 16
等效自 振频率
考虑近共振：
2
e
A F cos 2 2 (e )A F sin
sin2 cos2 1
A= F [(e2 2 )2 + ()2 ]
共振 频率
将分母根号下对频率求导并令其等于零： df (v ) d [( 2 2 )2 42 2 ] 0 (2 2 ) 22 d d
r 2 2 2
共振频率r小于系统自振频率，
第6章非线性振动-1
鞍点
第6章 非线性振动
u 1 u 10 e l 1 t l t u 2 u 20 e 2
6. 2 非线性振动的定性分析方法
当 > 0，即两个特征值同号时，奇点为结点。当 两个特征值都为负时，当 t → ∞时，所有的轨线趋向于 原点，因此，奇点是稳定结点，系统的运动是渐近稳定 的。而当特征值同为正时，奇点是不稳定结点。
材料非线性 几何非线性 非线性阻尼 负刚度负阻尼
非线性特性
振幅过大超出材 料线弹性范围 位移或变形过大使结 构几何形状显著变化 材料内摩擦阻尼、流体 阻尼等都是非线性阻尼 有些情况下会存在 负刚度和负阻尼
第6章 非线性振动 非线性振动研究的内容
6.1 非线性振动概述
则有
l
1
l1
ln
u1 u 10
1
l
ln
2
u2 u 20
或
2
l1
ln
u1 u 10
ln
u2 u 20
设 = l 2 / l 1 ，则有 ln
ln u1
u1 u 10
ln
u2 u 20
或
u 10
ln
u2 u 20
第6章 非线性振动 从式 ln
u1
6. 2 非线性振动的定性分析方法 可得到相轨迹方程 u
设e1和e2是在原点的领域中小到可以忽略，则可以用
下列线性化方程讨论非线性方程在原点附近的稳定性：
x Ax
作非奇异线性变换
x B u
则方程可以写为
u Ju
其中
J B
1
AB
非线性振动
x (t, ) x0 (t ) x1 (t ) x2 (t )
2
第5章 非线性振动
5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
)在 将原系统周期解的表达式代入原方程两端，并将f(x, x
0)的领域内展开成泰勒级数: 基本解(x0, x
2 0 x x F (t ) x (t, ) x0 (t ) x1 (t ) 2 x2 (t )
(4) 某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动，振幅不 衰减 • 线性系统中自由振动总是衰减的
x Aent sin(t )
(5) 强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分 • 简谐激振力作用下的非线性系统 响应波形除了与激振力频 率相同的谐波外,还含有频率为激振频率的几分之一.
纽马克法来自于梯形法，它按照泰勒级数展开式，保留 到二阶导数加速度项，并引入两个参数 和对截去的高阶小 量作修正。
Duffing方程的倍周期分叉现象与混沌运动
5.3 非线性振动问题的研究方法
实物或模型实验— —结合计算机处理数据 实验方法： 空间平面法） 定性方法（几何法或相 在相平面上研究解或平 衡点的性质，即相轨迹 在相平面上分布 情况；确定奇点、极限 环、特殊轨线，解的全 局性态。 法） 初值法（如Rouge kut t a 边值法（Shoot ingMot hed) 数值解法： 直接 点映射法 胞映射法 跌代法 分析方法： （小参数法） 摄动法 定量方法 渐进法（平均法） 多尺度法 （近似法）解析法： 伽辽金法 谐波平衡法 等价线性化法
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(x0 , Dx0 ) x
1
x02
求解
D0 D1 x1
iD1B(T1,T2 )eiT0
3 8
D1 A3e3iT0
cc
设 (D12 2D0 D2 )x0 D12 A(T1,T2 )eiT0 2iD2 A(T1,T2 )eiT0 cc
D0
x1
D1x0
D1
A(T1,T2
)eiT0
iB(T1
,T2
)eiT0
1 2
AA
A 2 e 2iT0
)( D1 A e iT0
iBe iT0
3 A3 e 3iT0 ) cc 8
D02 x2
p02 x2
2D0 D1x1
(D12
2D0 D2 )x0
f
(x0 , Dx0 ) x
x1
f
(x0 , Dx0 ) x
(D0 x1
D1x0 )
2iD1B eiT0
3 4
D1 A3
x0 a0(T2)eT1eiT0 cc
a02
4 1 c(T2 ) , c(T2 )
4
a
2 0
1
a2
4
1 ( 4 1)e t
a
2 0
a
2 0
1
4 c(T2
)
,
c(T2
)
4 a02
1
a2
4
1
(
4 a02
1)e t
c(T2 ) c
导数的简易计算
D02x1 p02x1 iA3e3iT0 cc
No Image
D12 x0 D12 A eiT0 D12 A e iT0
f (x0 , D0 x0 ) 0 x
f
(
x0 , D0 x
x0
)
(
D0
D1 )x1
2(iA1
eiT0
iA1
e iT0 )
2(D1 A1 eiT0 D1 A1 eiT0 )
No Image
No Image
x1
B(T1,T2 )eiT0
1 iA3e3iT0 8
cc
D02 x2 p02 x2 2D0 D1 x1 (D12 2D0 D2 ) x0
f
( x0 , Dx0 ) x
x1
f
( x0 , Dx0 ) x
(D0 x1
D1 x0 )
注意关系，精确度
f
(x0 , Dx0 ) x
2x0 Dx0
f
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
D02 x1 p02 x1 0
No Image
D0 x1 iA1 e eiT0 D1 A e iT0
D0 D1 x1 iD1 A1 eiT0 iD1 A1 e iT0
D02
x2
p02
x2
[2iD1B
D12
A
2iD2
A
4iAAB
2iA2
B
1 4
2
A
A3
A2D1
A
iA2
B
(12AA)D1Ai(12AA)B]eiT0 ccNST
No Image
No Image
• 对比系数
D02 x0 p02 x0 0
D02 x1 2D0D1x0 p02 x1 f (x0 , D0 x0 )
iBe iT0
3 A3 e 3iT0 ) cc 8
D0 2 x 2
p
2 0
x2
( 2iD1 B D1 2 A 2iD2 A) e iT0
3 4
D1 A 3
e 3iT0
2iA 2 Be 3iT0
1 4
A 5 e 5 iT0
4iA ABe iT0
1 2
A 4 Ae 3iT0
2i A 2 Be iT0
No Image
No Image
No Image
No Image
D02 x2
p02 x2
2D0 D1x1
(D12
2D0 D2 )x0
f
(x0 , D0 x0 ) x
x1
f
(
x0 , D0 x
x0
)
(
D0
x1
D1x0 )
2(iD1 A1 eiT0 iD1 A1 eiT0 ) (D12 A eiT0 D12 A eiT0 ) 2(iD2 A eiT0 iD2 A eiT0 )
3 8
A 3 e 3iT0
D1 AeiT0
iBeiT0
3 8
A3e3iT0 )
D02 x 2
p
2 0
x2
2iD1 B e iT0
3 4
D1 A 3
e 3iT0
D12 A e iT0
2iD2 A e iT0
2i[( A 2 e 2iT0
2AA
A e 2
2iT0
)( Be iT0
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
• 消去长期项
No Image
No Image
No Image
e3iT0
cc1
D12 A eiT0
2iD2 A eiT0
cc2
2( AeiT0 AeiT0 )(iAeiT0 iAeiT0 )(BeiT0 1 iA3e3iT0 BeiT0 1 iA3e3iT0 )
8
8
[1 ( AeiT0
AeiT0 )2 ](D1 AeiT0
iBeiT0
No Image
D1 A A 0 考虑 dA(t) dt 0
A(t)
A(T1 , T2 T1
)
A(T1
,T2
)
0
A(t) Cet
A(T1 , T2 T1
)
A(T1 , T2
)
0
No Image
A(T1,T2 ) a0 (T2 )eT1 x0 a0 (T2 )eT1 eiT0 cc
• 复数共轭关系
设
No Image
为实数
No
Image
No Image
No Image
• 初始条件为
No Image
No Image
• 一次近似 No Image
No Image
x0
AeiT0
AeiT0
1 aei eiT0 2
1 aei eiT0 2
a cos(T0 (T2 )) a cos O( )
• 一次近似解
D02 x2
x2
4i
A T1
2 3i
3A2 8
A T1
e3iT0
2 A T12
eiT0
2i
A T2
eiT0
3 A5e5iT0 A3 A e2 iT0 2 A4 Ae3iT0 cc 8
No Image
No Image
No Image
例1 初始条件 解：
No Image
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No Image
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No Image
No Image
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2(iA1 eiT0 iA1 eiT0 ) 2(D1 A eiT0 D1 A eiT0 )
(2iD1 A1 D12 A 2iD2 A 2iA1 2D1 A)eiT0 cc
No Image
No Image
No Image
消除永年项
No Image
消除永年项
No Image
3x02x1
3
AeiT0 AeiT0
A3 8
e3iT0
A3 8
e3iT0
3 A2e2iT0 A e2 2iT0 2 AA A3e3iT0 A e3 3iT0 8
3 A5e5iT0 A e5 5iT0 A3 A e2 iT0 A3 A2eiT0 2 A4 Ae3iT0 2 AA4e3iT0 8
1 4
(1 2 A A)( D1 Ae iT0
iBe iT0
3 8
A 3 e 3iT0 )
A 2 D1 A e 3iT0
iA 2 Be 3iT0
3 8
A 5 e 5 iT0
A 2 D1 A e iT0
A 2 B ie iT0
3 A 2 A 3 e iT0 8
cc
A 2 A 3 e iT0
x03 3 2 x02 x1 ( 3 )
D02 D02
x0 x1
x0 x1
0 2D0D1x0
x03
D02
x2
x2
2 D0 D1 x1
D12 x0 2D0D2 x0
3x02 x1
D02 x1
x1
2i
A T1
3
A2
A
eiT0
A3e3iT0
cc
i A 3A2 A 0 T1
1 iA 3 e 3iT0 )
8
[1 2 A A A 2 e 2iT0
A e 2
2iT0
)( D1 A e iT0