第2讲复数方程的根学生版

第2讲复数方程的根

知识精讲

1.复数的平方根：

在复数集C 内，如果),,,(,R d c b a di c bi a ∈++满足：

c bi a +=+2)(则称bi a +是di c +的一个平方根.

2.复数的立方根：

如果复数21,z z 满足312z z =，则称21z z 是的立方根；用待定系数法，依据复数相等条件求解。

3.-1的平方根为i

±1的立方根有i i 2

321,2321,1--+-。记i 2321+-=ω，则：1,,2ωω都是1的立方根；?ωω

?ωω-=+==++1,1,012；实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况:

设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且,

１、当2

40b ac ?=->时，方程有两个不相等的实数根，42b x a -±=２、当240b ac ?=->时，方程有两个不相等的实数根，2b x a =-

3、当240b ac ?=-<时，方程有两个不等的虚数根，i a

b a

c a b x 2422-±-=说明：

1、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中恒有解；

2、若实系数一元二次方20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中有虚根，则虚根成对出现(互为共轭虚数)；

3、根与系数的关系依然适用，即不论?的正负，恒有a

c x x a b x x =-

=+2121,；

4、对于任意二次三项式都有212()()ax bx c a x x x x ++=--，(0)a ≠，其中21,x x 是方程2

0ax bx c ++=的二根。

5、两个虚数共轭的充要条件是两个虚数的和、积都是实数.注：复系数一元二次方程根与系数的关系依然适用，但不能根据判别式判断解的情况，且虚根通常也不是成对出现（非共轭），通常利用复数相等的方法来求解。

例题解析

设C z ∈，且i z 432+=，求z 。2.求下列复数的平方根

i 247)1(-i

4)2(3.利用1的立方根，求复数64的立方根

4.若122i ω=-+,则等于421ωω++=()

A ．1

B ．0

C ．3+

D ．1-+5.若复数z 满足方程32,02z z 则=+等于

（）

A ．i

22±B ．i 22-C ．22-D ．22± 6.求的平方根。

7.已知012=++x x ，求504030x x x ++的值；

8.在复数范围内分解因式：i x x x i x x +++--3

224)4(;32)3(;)2(;9)1(

9.计算：

10.在复数集上，解以下一元二次方程

(1)210

x +=(2)210x x ++=(3)2490

x +=(4)22450x x -+=(5)310

x -=11.若关于x 的一元二次方程220()x kx k k R --=∈有虚根，则实数k 的取值范围是.

12.已知方程2

0(,)x ax b a b R ++=∈的一个根为1,+求,a b 的值.13.已知关于的实系数方程22

30x kx k k ++-=有一模为1的虚根，求实数k .

14.已知方程2

10()x px p R -+=∈的两根为12x x 、，若121x x =-，求实数p 的值。15.22301x x ax a a a ++-=关于的方程2至少有一个模为的根，试确定实数的值。

16.设αβ、是实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根，α是虚数且2αβ是实数，求αβ

的值。.

17.（1）计算：232005

i i i i ++++ （2）求和：2012

321ωωωω+++++ 18.已知1x 与2x 是方程:20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（）

(A)1x 与2x 共轭

(B)240b ac ?=-≥(C)1212,b c x x x x a a

+=-=,(D)12||x x -=2

12214)(x x x x -+

课后作业

1.判断下列命题的真假，并说明理由；

(1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总有两个根．（

）(2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另一个根是12i -．（

）(3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（）

2.求方程2

250x ix --=的解．3.复数9-的平方根是（）A ．i 3B ．i 3-C ．i 3±D ．不存在

4.34i +的平方根是、。

5.在复数范围内解方程i x 82

=6.求i 3016+-的平方根；

7.设122

i ω=-+，则集合A={|()k k x x k Z ωω-=+∈}中元素的个数是。

21一元二次方程专项练习

一元二次方程专项练习一、选择题 x2-2a=0的一个根，则2a-1的值是 1.已知x=2是关于x的方程3 2 ( )．（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 2.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，? 制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，?那么x满足的方程是( )．（A）x2+130x-1400=0 （B）x2+65x-350=0 （C）x2-130x-1400=0 （D）x2-65x-350=0 3.当代数式x2+3x+5的值为7时，代数式3x2+9x-2的值是( )．（A）4 （B）0 （C）-2 （D）-4 4.方程（x+1）（x+2）=6的解是( )．（A）x1=-1，x2=-2 （B）x1=1，x2=-4 （C）x1=-1，x2=4 （D）x1=2，x2=3 5.下列方程属于一元二次方程的是( )．（A）（x2-2）·x=x2（B）ax2+bx+c=0 （C）x+1 =5 （D） x x2=0

6.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1， ?那么这个一元二次方程是( )．（A）x2+3x+4=0 （B）x2-4x+3=0 （C）x2+4x-3=0 （D）x2+3x-4=0 7.某市计划经过两年时间，绿地面积增加44%，?这两年平均每年绿地面积的增长率是( )．（A）19% （B）20% （C）21% （D）22% 8.下列方程中，无实数根的是( )．（A）x2+2x+5=0 （B）x2-x-2=0 （C）2x2+x-10=0 （D）2x2-x-1=0 9.方程x（x-1）=5（x-1）的解是( )．（A）1 （B）5 （C）1或5 （D）无解 10.把方程x2-4x-6=0配方，化为（x+m）2=n的形式应为( )．（A）（x-4）2=6 （B）（x-2）2=4 （C）（x-2）2=0 （D）（x-2）2=10 二、填空题 1.已知x2+y2-4x+6y+13=0，x，y为实数，则x y=_________． 2.请写出两根分别为-2，3的一个一元二次方程_________． 3.方程2x2-x-2=0的二次项系数是________，一次项系数是 ________，常数项是________． 4.已知三角形的两边分别是1和2，第三边的数值是方程2x2-5x+3=0 的根，则这个三角形的周长为_______． 5.若方程ax2+bx+c=0的一个根为-1，则a-b+c=_______．

高中数学选修1-2 4-4测试题(复数,统计案例,极坐标与参数方程)

高二数学第一次月考试卷(文科) 一、选择题(共12题,每题5分,共60分) 1、观察下列数的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中,第100项是( ) A ．10 B ．13 C ．14 D ．100 2、若复数3i z =-，则z 在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系; ③回归关系是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法; ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。 A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 4、向量a 对应的复数是5－4i ，向量b 对应的复数是－5＋4i ，则向量a ＋b 对应的复数是 ( ) A ．－10＋8i B ．10－8i C ．0 D ．10＋8i 5、直角坐标系中点)3,1(-P ，则它的极坐标是( ) A ．)3,2(π B.)34,2(π C ．)3,2(π- D ．)34,2(π- 6、已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是( ) A.y ∧ =1.23x ＋4 B. y ∧ =1.23x+5 C. y ∧ =1.23x+0.08 D. y ∧ =0.08x+1.

7、已知直线l 的参数方程为（t 为参数），则其直角坐标方程为（） A ． x+y+2﹣=0 B ． x ﹣y+2﹣ =0 C ．x ﹣y+2﹣ =0 D ．x+ y+2﹣ =0 8、在极坐标系中，点(2，3π )到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B 9、与参数方程为（t 为参数）等价的普通方程为（）？ A ．x2+=1 B ．x2+=1（0≤x ≤1） C ．x2+ =1（0≤y ≤2） D ．x2+ =1（0≤x ≤1，0≤y ≤2） 10、若复数Z=(m-2)+(m 2-3m+2)i 是纯虚数，则实数m 的值为( ) A. 1或2 B.-2 C. 1 D. 2 11、在极坐标系中，直线l 的方程为，则点到直线 l 的距离为（） A ． B ． C ． D ． 12、设z=x+yi （R y x ∈,），且则,2|4|=-z y x 的最小值是（） A ．3 B ．3- C ． - D ．-1 二、填空题(共4题,每题5分,共20分)

一元二次方程典型例题整理版

一元二次方程专题一：一元二次方程的定义典例分析：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（） A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（） A ．2±=m B ．m=2 C ．2-≠m D ．2±≠m 3、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、－l C 、 1 或－1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是（） A 、a ≠1 B 、a ≠－2 C 、a ≠1且a ≠－2 D 、a ≠1或a ≠－2 专题二：一元二次方程的解典例分析： 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为，另一根是。 3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。

4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（） A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习： 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解，求b 的值及方程的另一个根． 3、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为。专题三：一元二次方程的求解方法典例分析：一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法．难度训练： 1、如果二次三项式16)122++-x m x （是一个完全平方式，那么m 的值是_______________.

九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】

解一元二次方程专项练习题（带答案） 1、用配方法解下列方程：（1） 025122＝＋＋x x （2） 1042＝＋x x （3） 1162＝－x x （4）0422＝－－x x 2、用配方法解下列方程：（1） 01762＝＋－x x （2） x x 91852＝－（3） 52342＝－x x （4）x x 2452－＝ 3、用公式法解下列方程：（1） 08922＝＋－x x （2） 01692＝＋＋x x （3） 38162＝＋x x （4）01422＝－－x x 4、运用公式法解下列方程: (1) 01252＝－＋x x (2) 7962＝＋＋x x

（3） 2325x x ＝＋（4） 1)53)(2(＝－－x x 5、用分解因式法解下列方程：（1）01692＝＋＋x x （2） x x x 22)1(3－＝－（3）)32(4)32(2＋＝＋x x （4）9)3(222－＝－x x 6、用适当方法解下列方程：（1） 22(3)5x x -+= （2） 22330x x ++= （3） 2)2)(113(=--x x ；（4） 4 ) 2)(1(13)1(+-= -+x x x x 7、解下列关于x 的方程: (1) x 2+2x －2=0 (2) 3x 2+4x －7= (3) (x +3)(x －1)=5 （4) (x －2)2+42x =0 8、解下列方程（12分）（1）用开平方法解方程：4)1(2=-x （2）用配方法解方程：x 2 —4x +1=0 （3）用公式法解方程：3x 2+5(2x+1)=0 （4）用因式分解法解方程：

定积分复数极坐标参数方程理

第三讲定积分微积分【ME 恒学课堂之定积分微积分基础把控】 1. 和式()5 11i i y =+∑可表示为（） A.（y 1+1）+（y 5+1） B.y 1+y 2+y 3+y 4+y 5+1 C.y 1+y 2+y 3+y 4+y 5+5 D.（y 1+1）（y 2+1）…（y 5+1） 2. 关于定积分3 321(2)x x dx -+?下列说法正确的是（） 3. 求由曲线y=3e x 与直线x=2，y=3围成的图形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为________ 4. 下列各阴影部分面积s 不可以用()()b a s f x g x dx =-??? ??表示的是( ) A. B.

C. D.

5. 计算3 2 (32)= x dx +? 6. 定积分20162015(2016)= dx ? 7. 定积分2 1 ()= x dx -? 8. 用定积分的几何意义求 420 (16)=x dx -?的值 9. 曲线x y cos =与直线0=x ，π=x ,0=y 所围成平面图形面积等于________. 10. 若?=+1 02)2(dx k x ，则__________=k . 11. 根据?=π 200sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是（） A ．面积为0 B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积 C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积 D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积 12. 由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为 13. 分如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sinx(0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( ) A. 1 π B.2 π C.3 π D.π4 14. 甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，

中考数学复习一元二次方程专项易错题附答案解析

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨5 2 m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了9 20 m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15 2 m%，求出m的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评” 网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+5 2 m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣9 20 m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15 2 m%”列方程解出即可．试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得： 120×0.8a（1﹣25%）（1+5 2 m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣ 9 20 m]（1+15m%）=120×0.8a （1﹣25%）×2（1+ 15 2 m%），即72a（1+ 5 2 m%）+a（72﹣ 9 20 m）（1+15m%）=144a （1+ 15 2 m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍）， m2=20．答：m的值是20．

深入浅出讲解麦克斯韦方程组

深入浅出讲解麦克斯韦方程组前一段时间给大家发过一篇《世界上最伟大的十个公式》，排在第一位的是麦克斯韦方程，它是电磁学理论的基础，也是相对论假定光速不变的依据，可见排在十大公式之首，理所应当！为了让大家更好地理解该方程，我们找到了一篇由孙研发表在知乎上的关于麦克斯韦方程的非常完美的讲解，呈现个大家。在文章的最后，我们还为大家附上了一段讲解麦克斯韦方程的英文动画视频，如果你英文比较好，不妨看一下。以下是正文：有人要求不讲微积分来讲解一下麦克斯韦方程组？感觉到基本不太可能啊，你不知道麦克斯韦方程组里面每个方程都是一个积分或者微分么？？那既然这样，我只能躲躲闪闪，不细谈任何具体的推导和数学关系，纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。 1. 力、能、场、势经典物理研究的一个重要对象就是力force。比如牛顿力学的核心就是F=m a这个公式，剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。但是力有一点不好，它是个向量vector（既有大小又有方向），所以即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死。很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。能量energy说到底就是力在空间上的积分（能量=功=力×距离），所以和力是有紧密联系的，而且能量是个标量scalar，加减乘除十分方便。分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。在电磁学里，我们通过力定义出了场field的概念。我们注意到洛仑兹力总有着F=q(E+v×B) 的形式，具体不谈，单看这个公式就会发现力和电荷（或电荷×速度）程正比。那么我们便可以刨去电荷（或电荷×速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。具体到两个电荷间的库仑力的例子，就可以理解为一个电荷制造了电场，而另一个电荷在这个电场中受到了力，反之亦然。类似地我们也可以对能量做相同的事情，刨去能量中的电荷（或电荷×速度），剩下的部分便是势potential。一张图表明关系：积分力－－－＞能｜｜场＜－－－势微分

一元二次方程概念专项练习

一元二次方程概念专项练习知识梳理： 1.一元二次方程的一般形式：a x2＋bx＋c=0(a≠0) 2.一元二次方程的特点： ①整式方程 ②a不为0 ③只含有一个未知数 ④未知数的最高次数为2 3.重点：一元二次方程的识别与判断 4.难点：题目不表明所需要判断的方程是一元二次方程还是一元一次方程时，需要分类讨论一、选择题 1、在下列方程中是一元二次方程的是（） A．x2－2xy+y2=0 B．x(x+3)=x2－1 C．x2－2x=3 D．x+ =0 2、下列方程为一元二次方程的是 ( ) A. B. C. D. 3、下列方程中，一元二次方程个数（） ①、；②、；③、；④、；⑤、. A、5个 B、4个 C、3个 D、2个 4、已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（） A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2 5、以1，-2为根的一元二次方程是 A.x2+x-2=0 B.x2-x+2=0 C.x2-x-2=0 D.x2+x+2=0 6、已知x=0是二次方程（m +1）x2+ mx + 4m2- 4 = 0的一个解，那么m的值是（） A．0 B．1 C．- 1 D． 7、若c（c≠0）为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根，则c+b的值为（） A．1 B．-1 C．2 D．-2 8、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于

A．1 B．2 C．1或2 D．0 9、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 10、若为方程的解，则的值为（） A.12 B.6 C.9 D.16 二、填空题 11、如果,则一元二次方程必有一个根是. 12、已知是方程的解，则代数式的值为 . 13、已知，则的值是 . 14、某中学摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有名学生，则根据题意列出的方程是。 15、若实数a满足，则3___________．三、简答题 16、关于的方程是否一定是一元二次方程？请证明你的结论. 17、若关于的一元二次方程的常数项为0，求的值是多少？ 18、已知关于x的方程．（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？

麦克斯韦方程组浅析

麦克斯韦方程摘要：本文对麦克斯韦方程组作了全面的分析和阐述，主要包括：麦克斯韦方程组的建立与推导，麦克斯韦方程组的表现形式及其意义，麦克斯韦方程组的应用等三个方面的内容。关键词：麦克斯韦方程组库仑定律毕奥—萨伐尔定律法拉第定律引言：麦克斯韦方程组是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在1865年英国皇家学会上发表的《电磁场的动力学理论》中提出来的。麦克斯韦在全面深入的审视了库仑定律、毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，经过长达十年的研究后才得到的成果。可以说，麦克斯韦方程组概括了电磁场的基本性质和规律，构成完整的经典电磁场理论体系。它与洛伦磁力方程共同组成经典电磁学的基础方程，其重要性不言而喻。一、麦克斯韦方程组的建立与推导 1、麦克斯韦方程组的建立麦克斯韦方程组是经典电磁学理论的核心，因此麦克斯韦方程组的建立过程实际上就是经典电磁学理论的建立过程。到1845年，关于电磁现象的三个基本实验定律：库仑定律、毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律已经被总结出来，这为麦克斯韦方程组的建立提供了理论基础。此外，19世纪30年代，法拉第创造性的提出了场和场线的概念，结束了长期以来科学历史上关于超距作用与近距作用的争论。随后，场的思想逐渐完善，科学家们建立了较为成熟的电磁场概念，这对麦克斯韦的工作具有极大的帮助。 1855年，麦克斯韦开始了电磁学基础理论方面的研究。在随后的十年里，他相继发表了《论法拉第力线》、《论物理力线》、《电磁场的动力学理论》等三篇论文。麦克斯韦建立电磁理论的过程大致可分为三步：第一步，麦克斯韦分析总结了电磁学已有的成果，提出感生电场的概念；第二步，他设计了电磁作用的力学模型，对已经确立的电学量和磁学量之间的关系给以物理解释。第三步，他把近距作用理论引向深入，明确地提出了电磁场的概念，并且全面阐述了电磁场的含义，建立了电磁场的普遍方程即麦克斯韦方程组。【1】 2、麦克斯韦方程组的推导我们先来考察一下库仑定律： r e F 2 00 14r q q πε= 因为q F E =，所以E = r e 2 004r q πε。（1）电场高斯定律推导 (a) 对于真空中静止的单个点电荷，作任意的高斯面，电荷位于面内。则有：

2018高考数学解题技巧极坐标与参数方程

2018高考数学解题技巧解答题模板3：极坐标与参数方程 1、题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化（2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径；椭圆22 221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ =??=?为参数；双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ =??=?为参数；抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数极坐标与直角坐标互化公式：若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。解题方法及步骤（1）、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222（t 为参数）表示的曲线是（） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即2≥y ，可见与以上参数方程等价的普通方程为)2(422≥=-y y ，显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.

数学一元二次方程的专项培优练习题含答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围； ()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤ ；（2）2k =-．【解析】【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---??-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】解：()1关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---??-=-+≥，解得134 k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-， () 222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-， 134 k ≤， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-．【点睛】本题考查了一元二次方程2 ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系． 2．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1）用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．

关于麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组▽-----乐天10518 关于热力学的方程，详见“麦克斯韦关系式”。麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations）是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电磁场的基本方程组。它含有四个方程，不仅分别描述了电场和磁场的行为，也描述了它们之间的关系。麦克斯韦方程组Maxwell's equations 麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场与的四个基本方程。方程组的微分形式，通常称为麦克斯韦方程。在方程组中，电场和磁场已经成为一个不可分割的整体。该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在。麦克斯韦提出的涡旋电场和假说的核心思想是：变化的磁场可以激发涡旋电场，变化的电场可以激发涡旋磁场；电场和磁场不是彼此孤立的，它们相互联系、相互激发组成一个统一的电磁场。麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有规律综合起来，建立了完整的体系。这个电磁场理论体系的核心就是麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程组在中的地位，如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。以麦克斯韦方程组为核心的电磁理论，是经典物理学最引以自豪的成就之一。它所揭示出的的完美统一，为物理学家树立了这样一种信念：物质的各种相互作用在更高层次上应该是统一的。另外，这个理论被广泛地应用到技术领域。 [] 历史背景

1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律（1785年），安培—毕奥—萨伐尔定律（1820年），法拉第定律（1831-1845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。概念的产生，也有麦克斯韦的一份功劳，这是当时物理学中一个伟大的创举，因为正是场概念的出现，使当时许多物理学家得以从牛顿“超距观念”的束缚中摆脱出来，普遍地接受了电磁作用和引力作用都是“近距作用”的思想。 1855年至1865年，麦克斯韦在全面地审视了、—毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，把数学分析方法带进了电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。 [] 积分形式麦克斯韦方程组的积分形式：麦克斯韦方程组的积分形式: 这是1873年前后，麦克斯韦提出的表述电磁场普遍规律的四个方程。（1）描述了电场的性质。在一般情况下，电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的感应电场，而感应电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量无贡献。（2）描述了磁场的性质。磁场可以由传导电流激发，也可以由变化电场的位移电流所激发，它们的磁场都是涡旋场，磁感应线都是闭合线，对封闭曲面的通量无贡献。（3）描述了变化的磁场激发电场的规律。（4）描述了变化的电场激发磁场的规律。变化场与稳恒场的关系：当时，方程组就还原为静电场和稳恒磁场的方程：

一元二次方程专项练习

知识点一、一兀二次方■程的有关is 念 1- 一元二次方程的耙盔 ■MftfiJS.只含有f 未堀缸一5&,并且未磁的歸次数是乱二次）的整4为程，叫做一元二次沁 IV 捌一元二次方程必须抓住三个条ifH 2- 一元二次方程的一般地任何T ■关千筈的一元二次方程，者髓訛点形如亦■*■弘+亡=°@ * °）,这种范式叫做一元二决昱二次顾，J 是二扶顶葢数；圧是一；欠顷，b 昱一次顶盏蚣u 是常数项. ⑴只有当a ?〔时，方程口「+牀乂 = Q 才是一元二次》程? 吃）在农备项系数时，应把一元二灰方程叱成一般形式，指明一元二次方程备项系救丽性质絢号. 3.i 元二次方程的解= 使一无二次方程左右两边相等的未知數的值叫做一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 亿—元二次方程很的重要结论（D 若訥心），则_元二衣方程耐+加+匚=°3厂〕好TR 〒”反之也成立，即若科1是一元二次方程颂十加+z °仏注0）的一^根，则（2）若才b+T 『!UTEr 次方程财十尿+f = 丸）蠱有一振^_1;眉之也威屯即苦 TET 次媚用仏+“0（处0）的_^.则心d 心）若—元二次方程曲'+处火E 有一t 根尸心剿口反之也成立.若曰，則一X 二 B ) .3 3. 已知y V2x J x 2 6，贝U x y 的平方根是 _______ 4. 若x 21 V y~3 0 ,则xy 的值为 ________ . 5. 已知实数x , y 满足2x y y 2 y 1 0,求x y 的值. 4 6. 已知x 号，化简J （x 2）2 x 4的结果是 _____________ 7. __________________ 比较大小：4 J 3 _________ 7 |^2 J 3 = 方程的一^那式.其中 i 不荽漏掉前面的 ifcse 二次根式 1?当X 取何值时，以下代数式有意义? （2） r 12x F 列根式中，不是最简二次根式的是（ (1) .1 2x 2. (4)、. X 2 ⑶

极坐标和参数方程题型及解题方法

一、复习提问 1、极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、如何把极坐标系转化为直角坐标系？答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为),(y x ，在极坐标系下的坐标为),(θρ，则有下列关系成立：ρ θx = cos ，ρ θy = sin ， 3、参数方程?? ?==θ θ sin cos r y r x 表示什么曲线？ 4、圆2 2 2 )()(r b y a x =-+- 的参数方程是什么？ 5、极坐标系的定义是什么？答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设ρ=OP OP ，又θ=∠xOP . ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置. 6、参数方程的意义是什么？二、题型与方法归纳 1、题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化（2） { 参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化

(3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤（1）、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 22 2（t 为参数）表示的曲线是（） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有42 2=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即2≥y ，可见与以上参数方程等价的普通方程为)2(422≥=-y y ，显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B. 练习1、与普通方程2 10x y +-=等价的参数方程是（）（t 为能数）解析：所谓与方程2 10x y +-=等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,x y 的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解. 对于A 化为普通方程为[][]2 101101x y x y +-=∈-∈，，，，；对于B 化为普通方程为2 10(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，；对于C 化为普通方程为2 10[0)(1]x y x y +-=∈+∞∈-∞，，，，; 对于D 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，. 而已知方程为2 10(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，，显然与之等价的为B . 练习2、设P 是椭圆2 2 2312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是，最小值为 . 分析：注意到变量),(y x 的几何意义，故研究二元函数2x y +的最值时，可转化为几何问题.若设2x y t +=，则方程2x y t +=表示一组直线，（对于t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然),(y x 既满足2 2 2312x y +=，又满足2x y t +=，故点),(y x 是方程组 222312 2x y x y t ?+=? +=?的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一???==t y t x A 2cos sin ???-==t y t x B 2tan 1tan ???=-=t y t x C 1???==t y t x D 2sin cos

如果上天能再给我一次机会,我会选择看懂麦克斯韦方程组

花了好长好长时间写的，请不要转载。（知乎日报已获授权）提问简直坑爹。不讲微积分怎么讲麦克斯韦方程组？麦克斯韦方程组里面每个方程都是一个积分或者微分。既然这样，我只能躲躲闪闪，不细谈任何具体的推导和数学关系，纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。（知乎日报注：虽然作者已经很努力地用通俗的语言讲解，下文仍含大量方程和公式，请理性选择，按需阅读^ ^） 1. 力、能、场、势经典物理研究的一个重要对象就是力force。比如牛顿力学的核心就是F=m a 这个公式，剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。但是力有一点不好，它是个向量vector（既有大小又有方向），所以即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死。很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。能量energy 说到底就是力在空间上的积分（能量=功=力×距离），所以和力是有紧密联系的，而且能量是个标量scalar，加减乘除十分方便。分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。在电磁学里，我们通过力定义出了场field 的概念。我们注意到洛仑兹力总有着F=q(E+v ×B) 的形式，具体不谈，单看这个公式就会发现力和电荷（或电荷×速度）程正比。那么我们便可以刨去电荷（或电荷×速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。具体到两个电荷间的库仑力的例子，就可以理解为一个电荷制造了电场，而另一个电荷在这个电场中受到了力，反之亦然。类似地我们也可以对能量做相同的事情，刨去能量中的电荷（或电荷×速度），剩下的部分便是势potential。

高考文科数学复习_极坐标与参数方程

平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。 2．极坐标系内一点的极坐标平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对就叫做点的极坐标。（1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数；当时表示极点；当时，点的位置这样确定：作射线，使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所求的点。（2）点与点（）所表示的是同一个点，即角与的终边是相同的。综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，即，, 均表示同一个点. 3. 极坐标与直角坐标的互化当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合； ③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：直角坐标化极坐标：；极坐标化直角坐标：.

此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系. 4. 直线的极坐标方程：（1）过极点倾斜角为的直线：或写成及. 5. 圆的极坐标方程：（1）以极点为圆心，为半径的圆：. （2）若，，以为直径的圆：知识点三：参数方程 1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）. 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。知识点四：常见曲线的参数方程 1．直线的参数方程（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：（为参数）；其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，，在下方时，)。（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：

一元二次方程专题复习

一元二次方程专题复习一、选择题 1、设方程x2－4x－1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是( )． A．－4 B．－1 C． 1 D． 0 2、设方程x2－4x－1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是( )． A．－4 B．－1 C． 1 D． 0 3、方程组的解是（） A．B． … C．Ｄ． 4、若关于的一元二次方程的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和l），则a 的取值范围是（） A． B． C． D． 5、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于（） A．1 B．2 C．1或2 D．0 6、方程的根是( ) A．B．C． D． 7、已知代数式的值为9，则的值为（）

A．18 B．12 C．9 D．7 8、关于x的一元二次方程的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．无法确定 9、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于 A．1 B．2 C．1或2 D．0 10、已知是关于的一元二次方程的两实数根，则式子的值是（） A． B． C．D． ' 11、一元二次方程x一2x=0的解是( ) A．0 B．2 C．0，一2 D．0，2 12、设一元二次方程的两个实数根为和，则下列结论正确的是（） A．B． C．D． 13、三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（）或13 14、关于的一元二次方程的解为( )．

A.=1，=－1 B.==1 C. ==－1 D.无解 15、将方程x2+4x+1=0配方后，原方程变形为 ( ) A．(x+2)2=3 B．(x+4)2=3 C．(x+2)2=-3 D. (x+2)2=-5 16、若关于x的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则k的值为 ( ) A.－1或 B.－1 C. D.不存在 17、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（） A．1 B．12 C．13 D．25 & 二、填空题 18、设一元二次方程的两个实数根分别为和，则，． 19、已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，则(x1－2) (x2－2)= ． 20、已知一元二次方程的一个根为，则． 21、方程的较大根为，方程的较小根为，则。

麦克斯韦方程组的理解

麦克斯韦方程组的积分形式：麦克斯韦方程组的积分形式: (in matter) 这是1873年前后，麦克斯韦提出的表述电磁场普遍规律的四个方程。其中：（1）描述了电场的性质。在一般情况下，电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的感应电场，而感应电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量无贡献。（2）描述了磁场的性质。磁场可以由传导电流激发，也可以由变化电场的位移电流所激发，它们的磁场都是涡旋场，磁感应线都是闭合线，对封闭曲面的通量无贡献。（3）描述了变化的磁场激发电场的规律。（4）描述了变化的电场激发磁场的规律。变化场与稳恒场的关系：当变化场与稳恒场的关系时，方程组就还原为静电场和稳恒磁场的方程： (in matter) 在没有场源的自由空间，即q=0, I=0，方程组就成为如下形式：

(in matter) 麦克斯韦方程组的积分形式反映了空间某区域的电磁场量(D、E、B、H)和场源(电荷q、电流I)之间的关系。编辑本段微分形式麦克斯韦方程组微分形式：在电磁场的实际应用中，经常要知道空间逐点的电磁场量和电荷、电流之间的关系。从数学形式上，就是将麦克斯韦方程组的积分形式化为微分形式。利用矢量分析方法，可得： (in matter) 注意：(1)在不同的惯性参照系中，麦克斯韦方程有同样的形式。 (2) 应用麦克斯韦方程组解决实际问题，还要考虑介质对电磁场的影响。例如在各向同性介质中，电磁场量与介质特性量有下列关系：在非均匀介质中，还要考虑电磁场量在界面上的边值关系。在利用t=0时场量的初值条件，原则上可以求出任一时刻空间任一点的电磁场，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。编辑本段科学意义 (一)经典场论是19世纪后期麦克斯韦在总结电

第05讲真空中的麦克斯韦方程组

第4讲真空中的麦克斯韦方程组第一章电磁现象的普遍规律（3） §1.3 真空中的麦克斯韦方程组以上两节由实验定律总结了恒定磁场的基本规律。随着交变电流的研究和广泛应用，人们对电磁场的认识有了一个飞跃。由实验发现不但电荷激发电场，电流激发磁场，而且变化着的电场和磁场可以互相激发，电场和磁场成为统一的整体——电磁场。和恒定场相比，变化电磁场的新规律主要是：（1）变化磁场激发电场（法拉第电磁感应定律）；（2）变化电场激发磁场（麦克斯韦位移电流假设）。下面分别讨论这两问题。 1. 电磁感应定律自从发现了电流的磁效应之后，人们跟着研究相反的效应，即磁场能否导致电流？开始人们企图探测处于恒定磁场中的固定线圈上的感应电流，这些尝试都失败了，最后于1831年法拉第发现当磁场发生变化时，附近闭合线圈中有电流通过并由此总结出电磁感应定律：闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁通量变化率成正比，其方向关系在下面说明。如图1-6，设L 为闭合线圈，S 为L 所围的一个曲面，d S 为S 上的一个面元。按照惯例，我们规定L 的围绕方向与d S 的法线方向成右手螺旋关系。由实验测定，当通过S 的磁通量增加时，在线圈L 上的感应电动势E 与我们规定的L 围绕方向相反，因此用负号表示。电磁感应定律表为 ε=??- S d dt d S B （1.3---1）

线圈上的电荷是直接受到该处电场作用而运动的，线圈上有感应电流就表明空间中存在着电场。因此，电磁感应现象的实质是变化磁场在其周围空间中激发了电场，这是电场和磁场内部相互作用的一个方面。感应电动势是电场强度沿闭合回路的线积分，因此电磁感应定律（1.3---1）式可写为 L S d d d dt ?=- ?? ?E B S l （1.3---2）若回路L 是空间中的一条固定回路，则上式中对t 的全微商可代为偏微商 L S d d t ??=-???? B E S l 化为微分形式后得 t ??- =??B E （1.3---3）这是磁场对电场作用的基本规律。由（1.3---3）式可见，感应电场是有旋场。因此在一般情况下，表示静电场无旋性的（1.1---10）式必须代以更普遍的（1.3---3）式。 2. 位移电流上面我们研究了变化磁场激发电场问题，进一步我们要问，变化电场是否激发磁场？在回答这问题之前，我们先分析非恒定电流分布的特

第2讲 复数方程的根 学生版