第2讲 复数方程的根 学生版

第2讲复数方程的根

知识精讲

1.复数的平方根：

在复数集C 内，如果),,,(,R d c b a di c bi a ∈++满足：

di

c bi a +=+2)(则称bi a +是di c +的一个平方根.

2.复数的立方根：

如果复数21,z z 满足312z z =，则称21z z 是的立方根；用待定系数法，依据复数相等条件求解。

3.-1的平方根为i

±1的立方根有i i 2

321,2321,1--+-。记i 2321+-=ω，则：1,,2ωω都是1的立方根；ϖωω

ϖωω-=+==++1,1,012；实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况:

设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且,

１、当2

40b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根，42b x a -±=２、当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根，2b x a =-

3、当240b ac ∆=-<时，方程有两个不等的虚数根，i a

b a

c a b x 2422-±-=说明：

1、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中恒有解；

2、若实系数一元二次方20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中有虚根，则虚根成对出现(互为共轭虚数)；

3、根与系数的关系依然适用，即不论∆的正负，恒有a

c x x a b x x =-

=+2121,；

4、对于任意二次三项式都有212()()ax bx c a x x x x ++=--，(0)a ≠，其中21,x x 是方程2

0ax bx c ++=的二根。

5、两个虚数共轭的充要条件是两个虚数的和、积都是实数.注：复系数一元二次方程根与系数的关系依然适用，但不能根据判别式判断解的情况，且虚根通常也不是成对出现（非共轭），通常利用复数相等的方法来求解。

例题解析

1.

设C z ∈，且i z 432+=，求z 。2.求下列复数的平方根

i 247)1(-i

4)2(3.利用1的立方根，求复数64的立方根

4.若122i ω=-+,则等于421ωω++=()

A ．1

B ．0

C ．3+

D ．1-+5.若复数z 满足方程32,02z z 则=+等于

（）

A ．i

22±B ．i 22-C ．22-D ．22± 6.求的平方根。

7.已知012=++x x ，求504030x x x ++的值；

8.在复数范围内分解因式：i x x x i x x +++--3

224)4(;32)3(;)2(;9)1(

9.计算：

10.在复数集上，解以下一元二次方程

(1)210

x +=(2)210x x ++=(3)2490

x +=(4)22450x x -+=(5)310

x -=11.若关于x 的一元二次方程220()x kx k k R --=∈有虚根，则实数k 的取值范围是.

12.已知方程2

0(,)x ax b a b R ++=∈的一个根为1,+求,a b 的值.13.已知关于的实系数方程22

30x kx k k ++-=有一模为1的虚根，求实数k .

14.已知方程2

10()x px p R -+=∈的两根为12x x 、，若121x x =-，求实数p 的值。15.22301x x ax a a a ++-=关于的方程2至少有一个模为的根，试确定实数的值。

16.设αβ、是实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根，α是虚数且2αβ是实数，求αβ

的值。.

17.（1）计算：232005

i i i i ++++ （2）求和：2012

321ωωωω+++++ 18.已知1x 与2x 是方程:20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（）

(A)1x 与2x 共轭

(B)240b ac ∆=-≥(C)1212,b c x x x x a a

+=-=,(D)12||x x -=2

12214)(x x x x -+

课后作业

1.判断下列命题的真假，并说明理由；

(1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总有两个根．（

）(2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另一个根是12i -．（

）(3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（）

2.求方程2

250x ix --=的解．3.复数9-的平方根是（）A ．i 3B ．i 3-C ．i 3±D ．不存在

4.34i +的平方根是、。

5.在复数范围内解方程i x 82

=6.求i 3016+-的平方根；

7.设122

i ω=-+，则集合A={|()k k x x k Z ωω-=+∈}中元素的个数是。