第三节绝对连续函数

第六章 微分与不定积分
第三节 绝对连续函数
一.绝对连续函数的定义
现在回到我们最初的问题上来：
牛顿一莱布尼兹公式对何种函数成立？
从单调函数的例子及上面的讨论不难看到，有界变差函 数的导数虽然可积，但也未必能使牛顿—莱布尼兹公式 成立。因此条件还要加强，这正是下面要引入的
定义: 设f是[a,b]上的函数，若对任意 0,存在
|
(
ai
,bi
)
n
(
x)dx
|
i1
n 1,2,3,
进而对任意开集 G [a, b，]只要 mG ，便有
| Gn (x)dx | n 1,2,3,
若 A [a, b] 是 G 型集，A Gk , Gk 是开集
k 1
mA ,则可设 Gk1 G，k当k充分大时，也有
mGk
,因此由 lim k
c是任意常数，则 F (x)是[a, b]上的绝对连续函数，且 F(x) f (x)a.e.[a,b] 证明：由积分的绝对连续性立得, F (x)是[a, b] 上的 绝对连续函数，于是 F (x) 几乎处处可微， 且 F (x) 在 [a,b]上可积,
并有F (x) F (a) F(t)dt (x [a,b]) 。 [a,x]
i 1
j 1 y j1 ~xi1 ~xi yi
因此， Vab ( f ) N 。这就是说,连续函数一定是 有界变差函数。下面的定理指出：对绝对连续函数， 牛顿—莱布尼兹公式是成立的。
定理9 设 f (x)是[a,b] 上的绝对连续函数，
则 f (x)在[a,b] 上几乎处处可微,
f '(x)在[a,b] 上Lebesgue可积，且
则
1
f (x)dx
dx
E1 { x|
f
(
x)
1} n
n E1 { x|
f
(
x
)
1 n
}
1 n
mE1{x
|
f
(x)
1} n
0
这与上面的证明矛盾，故必有 f (x) 0 a.e. 证毕。
定理11 设 f (x) 是[a, b] 上的Lebesgue可积函数，
F (x) f (x)dx c a x b, 其中 [a,x]
又由F的定义知 F (x) F (a) f (t)dt ,所以 [a,x]
对任意 x [a,b] ,有 [F(t) f (t)]dt 0 。 [a,x]
由定理10便得 F(x) f (x) a.e.证毕 。
至此我们得到了：一个函数等于其导数的Lebesgue积 分当且仅当该函数为绝对连续函数。由此可以证明，对 于绝对连续函数，分部积分公式及换元公式都是成立的。 具体说来即有下面的
从定义立知, [a,b]上的绝对连续函数一定是一致连续的。 绝对连续函数与有界变差函数又是什么关系呢？假设
f 是 [a,b]上的绝对连续函数，于是对任意 0 , 存在
0 ,使得只要
n
(bi ai )
就有
i 1
n
| f (bi ) f (ai ) |
i 1
取正整数N，使得
b a , 将分成N等分，设分点为
E
如果 f (x) 0，则 E1 {x [a,b] | f (x) 0} ，
E2 {x [a,b] | f (x) 0} ,至少有一个是 正测度集。
从而存在正整数n，使
mE2{x |
f
(x)
1} n
mE1{x | f ( 0. 不妨设
x) 1} n
mE1{x |
f(
0
x)
或 1}
n
0,
定理立知
[a,b]
f (x)dx lim n
[a,b]
n
(
x)dx
1
lim n [ f (x ) f (x)]dx
n [a,b]
n
lim n[ n
[b,b 1 ]
f (x)dx
[a,a1 ]
f (x)dx]
n
n
证毕。
f (b) f (a)
定理9告诉我们，绝对连续函数的确可以表示成 其导函数的Lebesgue积分，但问题尚未得到圆满解 决，因为我们还不知道绝对连续性是否为牛顿一莱 ， 布则。 尼兹公式成立的必要条件，现在就来讨论这个问 题。
推论1（分部积分法） 设 f (x，) g(x)均为 [a, b] 上的绝
对连续，则
[a,b] f (x)g'(x)dx f (x)g(x) |ba [a,b] f '(x)g(x)dx.
推论2（换元法） 若设 f (x)是 [a, b]上的可积函数，g(x)
是单调绝对连续函数，a g(), b g( ),则
N
a y0 y1 yN b
对[a,b]的任一分划
:a
x0
x1
xn
b,
将{
yk
}
N
k 0
添
加进去，得新的分划 ~ : a ~x0 ~x1 ~xm b(m n N)，于是
V (, f ) V (~, f ) m | f (~xi ) f (~xi1) | m
| f (~xi ) f (~xi1) | N
存在闭集
Fn
E ，使得 m( E
Fn )
1 n
，由 积分的绝对
连续性知对任意 0 ，存在N，当 n N 时,有
| f (x)dx | .
E Fn
因此，| f (x)dx || f (x)dx | | f (x)dx |
E Fn
Fn
E
| f (x)dx | E Fn
由 的任意性知 f (x)dx 0 。
Gk n (x)dx
n (x)dx
A
（为什么？）立得
| n (x)dx |
n 1,2,3,
A
现设 A [a, b]是任意可测集，mA ，则可找到
G 型集 G A 。使 mG mA ,
于是 | n (x)dx || n (x)dx | , n 1,2,3,
A
G
这说明{n (x)}具有积分等度绝对连续性，由Vitali
从而对任意 x [a, b，] 有
m
m
| [ f (x bi ) f (x ai )] | | f (x bi ) f (x ai ) |
i 1
i 1
进而
|
m
(
ai
,bi
)
n
(
x)dx
|
| n m [ f (x 1 ) f (x)]dx |
i 1
n
i1
m
| n [ i 1
lim
n
n
(
x)
f
'(x)
a.e. [a, b].
往证 {n}是[a, b] 上积分等度绝对连续的函数序列。任取
0, 存在 0 使得定义8中的不等式成立。设
(ai ,bi ), i 1,2, ,是[a,b] 内一列互不相交的区间,使
得 (bi ai ) , 则对任意正整数 m , 有 i 1 m (bi ai ) i 1
(
bi
,bi
1 n
)
f (x)dx
(
ai
,
ai
1 n
)
f (x)dx] |
m
n | (0,1 ) | [ f (bi x) f (ai x)]dx |
n
i 1
m
n | (0,1 ) [ f (bi x) f (ai x)] | dx
，
n i1
n 1,2,3,
由积分的绝对连续性易知
f '(x)dx f (b) f (a)
[a,b]
证明：由上面的讨论，显然仅需证明等式
f '(x)dx f (b) f (a)
[a,b]
成立。
对于 x b,令f (x) f (b), 记
n (x)
f
(x
1) n 1
f
(x)
n[
f
(x)
1) n
f
( x)],
n
则 n是[a, b] 上的可积函数，且
f (x)dx f (x)g(x) f (g(t)g'(t)dt
[ a ,b ]
[ , ]
推论1与推论2的证明作为练习留给读者。
1
f (x)dx 0 ,对[a,b]内任意闭集F,令 G (a,b) F,
G
则G是开集，注意到 f (x)dx f (x)d，x 从而
( a ,b )
[a,b]
f (x)dx
f (x)dx
F
(a,b)G
f (x)dx f (x)dx 0
( a ,b )
G
现设E是[a,b]内任一可测集，则对任意正整数n，
定理10 设 f (x)是[a,b]上的Lebesgue可积函
数，且对任意 x [a, b], f (x)dx 0 则 [a,x]
f (x) 0 a.e.[a,b]
证明：由 f (x)dx 0 [a,x]
及积分的基本性质不难得知对[a,b] 内任意区间I，有
f (x)dx 0 ,于是对[a,b]内任意开集G，也有
0, 使得对于[a,b]中的任意一组分点：
a1 b1 a2 b2 ... an bn
只要
n
n
(bi ai ) ,
i 1
便有 | f (bi ) f (ai ) | ,
i 1
则称f是[a,b]上的绝对连续函数，或称f在[a,b]