多元函数的极值及其应用
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( 3) B 2 − AC = 0, 不确定 .
例1 求函数 z = x 3 + y 3 − 3 xy的极值
解
∵ f ( x , y ) = x 3 + y 3 − 3 xy
∴ f x ( x, y ) = 3 x − 3 y, f y ( x, y ) = 3 y − 3 x
2 2
f xx ( x , y ) = 6 x , f yy ( x , y ) = 6 y , f xy = −3
′ ( x , y ) = x 2 (4 − x − y ) − x 2 y fy
求驻点, 求驻点 令
x+ y = 6
D
o
x
f x′ ( x , y ) = 2 xy(4 − x − y ) − x 2 y = 0 f y′ ( x , y ) = x 2 (4 − x − y ) − x 2 y = 0
于是 B 2 − AC = 9 − 36 < 0 , 因为 A = 6 > 0 ,
所以函数在 (1,1 )点取得极小值 f (1 ,1 ) = − 1
对于驻点 ( 0 , 0 ), A = 0 , B = − 3 , C = 0
所以 B 2 − AC = 9 > 0 , 于是点 ( 0 , 0 )不是极值点 .
例2 求二元函数 z = f ( x , y ) = x 2 y(4 − x − y ) 在直线 x + y = 6 ， x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值. 上的最大值与最小值
解 先求函数在 D 内的驻点， 内的驻点， 一阶偏导数为
y
′ f x ( x, y) = 2 xy(4 − x − y) − x 2 y
z = f ( x, y) = x y(4 − x − y)
2
⑴得区域 D 内唯一驻点( 2,1) , 且 f (2,1) = 4,
边界上的最值， 再求 f ( x , y ) 在 D 边界上的最值，
⑵ 在边界 x = 0 和 y = 0 上 f ( x , y ) = 0 ,
y
x+ y=6
o x
再如 函数 z = xy
处无极值． 在 (0,0) 处无极值．
x
2、二元函数取得极值的条件 必要条件） 定理 1 （必要条件）
设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且在点 具有偏导数，
( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零, 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零, f x ( x 0 , y0 ) = 0 ， f y ( x 0 , y0 ) = 0 . 即 证 不妨设 z = f ( x , y )在点( x 0 , y0 ) 处有极大值 处有极大值, 则对于 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域内任意 ( x , y ) ≠ ( x 0 , y 0 ) 都有 f ( x , y ) < f ( x 0 , y 0 ) , 故当 y = y 0 ， x ≠ x 0 时， f ( x , y 0 ) < f ( x 0 , y 0 ) , 有 处有极大值, 说明一元函数 f ( x , y0 )在 x = x 0 处有极大值
可知 , S在定义域内必有最小值 ,
所以S 所以 在
( 3 2V , 3 2V )取得最小值 , 这就是说 ,当容器的 3 2V 3 3 长 2V ,宽为 2V , 高为 时, 用料最省. 2
三、条件极值 拉格朗日乘数法 在研究极值时， 无条件极值：在研究极值时，对自变量除了
限制在定义域内外，并无其它条件 限制在定义域内外，并无其它条件. 对自变量有附加条件的极值． 条件极值：对自变量有附加条件的极值． 实例： 毛毛有200元钱，他决定用来购买两 实例： 毛毛有 元钱， 元钱 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带， 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果， 购买 x 张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U ( x , y ) = ln x + ln y．设每张磁 盘8元，每盒磁带 元，问他如何分配这 元 每盒磁带10元 问他如何分配这200 元以达到最佳效果． 元以达到最佳效果． 问题的实质： 问题的实质：求 U ( x , y ) = ln x + ln y 在条 下的极值点． 件 8 x + 10 y = 200下的极值点．
一、多元函数的极值和最大值、最小值 多元函数的极值和最大值、 实例：某商店卖两种牌子的果汁， 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元 外地牌子每瓶进价1.2元 如果本地 瓶进价 元，外地牌子每瓶进价 元.如果本地 牌子的每瓶卖 x 元，外地牌子的每瓶卖 y 元， 则每天可卖出 70 − 5 x + 4 y 瓶本地牌子的果汁 ， 80 + 6 x − 7 y 瓶外地牌子的果 汁,问：店主每天以什么价格 问 卖两种牌子的果汁可取得最大收益？ 卖两种牌子的果汁可取得最大收益？ 每天的收益为
( 3)在边界 x + y = 6上, 即y = 6 − x
于是 f ( x , y ) = x 2 (6 − x )( −2) = −12 x 2 + 2 x 3
′ f x = −24 x + 6 x 2 令f x′ ( x ) = 0得 x1 = 0, x2 = 4
⇒ y = 6 − x | x = 4 = 2, (舍去 x = 0) 于是 f (4,2) = −64,
函数 f ( x , y )在 D 上的最大 (小 ) 值 .
例 3 用钢板制作一个容积 V为一定的无盖长方体
容器 ,问如何选取长 ,宽, 高, 才能使用料最省 . V 解 设容器的长为 x , 宽为 y , 则高为 , 因此容器 xy V 1 1 的表面积为 S = xy + ( 2 x + 2 y ) = xy + 2V ( + ) xy x y S的定义域为0 < x < +∞ ,0 < y < +∞ 2V ∂S 2V ∂S = y− 2 , = x− 2 求S的偏导数 , x y ∂x ∂y 求得驻点 ( 3 2V , 3 2V )只有一个 ,由问题的性质
设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域 内 有 定 义 ， 对 于 该 邻 域 内 异 于 ( x 0 , y0 ) 的 点 ( x , y ) ： 若满足不等式 f ( x , y ) ≤ f ( x0 , y0 ) ， 则 称 函 数 在 ( x 0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x , y ) ≥ f ( x0 , y0 ) ， 则称函数在 ( x0 , y0 ) 有极 小值； 小值；
第六讲 多元函数的极值及其应用
• 内容提要
1.多元函数的极大值与极小值； 多元函数的极大值与极小值； 多元函数的极大值与极小值 2.最值问题； 最值问题； 最值问题 3.条件极值。 条件极值。 条件极值
• 教学要求
1.理解多元函数极值和条件极值的概念； 理解多元函数极值和条件极值的概念； 理解多元函数极值和条件极值的概念 2.掌握多元函数极值存在的必要条件； 掌握多元函数极值存在的必要条件； 掌握多元函数极值存在的必要条件 3.了解二元函数极值存在的充分条件； 了解二元函数极值存在的充分条件； 了解二元函数极值存在的充分条件 4.会用拉格朗日乘数法求条件极值； 会用拉格朗日乘数法求条件极值； 会用拉格朗日乘数法求条件极值 5.会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简 会求简单多元函数的最大值和最小值， 会求简单多元函数的最大值和最小值 单的应用问题。 单的应用问题。
f (x, y) = ( x − 1)(70 − 5 x + 4 y ) + ( y − 1.2)(80 + 6 x − 7 y )
的最大值. 求最大收益即为求二元函数 f ( x , y ) 的最大值
与一元函数类似，多元函数的最值与极值有关， 与一元函数类似，多元函数的最值与极值有关， 下面以二元函数为例讨论多元函数的极值问题. 下面以二元函数为例讨论多元函数的极值问题 1、二元函数极值的定义
Baidu Nhomakorabea
第三步 定出 B 2 − AC 的符号，再判定是否是极值. 的符号，再判定是否是极值 （1 ）当 B 2 − AC < 0时 , 点 ( x0 , y0 ) 是极值点 时是极大值点， 时是极小值点； 当 A < 0 时是极大值点， 当 A > 0 时是极小值点；
时不是极值点； （2 ） B 2 − AC > 0 时不是极值点；
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
充分条件） 定理 2（充分条件）设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数， 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数， f y ( x0 , y0 ) = 0 ， 且 f x ( x0 , y0 ) = 0 ,
fx ( x, y) = 0, 第一步 解方程组 f y ( x, y) = 0
求出实数解，得驻点 求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x 0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
A = f xx ( x0 , y0 , z0 ), B = f xy ( x0 , y0 , z0 ), C = f yy ( x0 , y0 , z0 )
记 f xx ( x0 , y0 ) = A ， f xy ( x0 , y0 ) = B ， f yy ( x0 , y0 ) = C ，
处是否取得极值的条件如下： 则 f ( x , y )在点 ( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下：
（1 ）当 B 2 − AC < 0时 , 点 ( x0 , y0 ) 是极值点
f x ( x, y) = 3 x 2 − 3 y = 0 由 解得驻点 (1,1) , ( 0,0) 2 f y ( x, y) = 3 y − 3 x = 0
对于驻点 (1,1 )有
A = f xx (1,1) = 6, B = f xy (1,1) = −3, C = f yy (1,1) = 6
即 f x ( x0 , y0 ) = 0 ; 类似地可证 f y ( x 0 , y 0 ) = 0 .
凡能使一阶偏导数同时为零的点， 凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为 函数的驻点 函数的驻点. 驻点 注意： 注意：对可偏导的函数 极值点 驻点
但不是极值点. 的驻点， 但不是极值点 例如 点(0,0)是函数 z = xy 的驻点，
时是极大值点， 时是极小值点； 当 A < 0 时是极大值点， 当 A > 0 时是极小值点；
时不是极值点； （2 ） B 2 − AC > 0 时不是极值点；
时可能是极值点, （3 ） B 2 − AC = 0 时可能是极值点, 也可能不是极值 点，还需另作讨论． 还需另作讨论．
极值的一般步骤： 求函数 z = f ( x , y )极值的一般步骤：
二、二元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 与一元函数相类似， 极值来求函数的最大值和最小值. 极值来求函数的最大值和最小值
求最值的一般方法：
将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及 的边界上的最大值和最小值相互比较， 在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较， 其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.
为最大值, 比较后可知 f ( 2,1) = 4 为最大值
f (4,2) = −64为最小值
在解决实际问题时 , 若 按问题的性质 , 知道
由该问题 归结出来的函数 f ( x , y ) 在开区域 D 内
一定能取得最在值 ( 或最小值 ), 而函数在 D内只有 一个驻点 , 那么可以肯定该驻点处 的函数值就是
大 、 极 值、 小 统 为 值 值 极 值 称 极 . 使 数 得 值 点 x0 , y0 )称 极 点 函 取 极 的 ( 为 值 .
z
2 2 例如 函数 z = 3 x + 4 y
处有极小值． 在 (0,0) 处有极小值．
又如函数 z = − x 2 + y 2
o x
y
o
y
在 (0,0) 处有极大值． 处有极大值．
例1 求函数 z = x 3 + y 3 − 3 xy的极值
解
∵ f ( x , y ) = x 3 + y 3 − 3 xy
∴ f x ( x, y ) = 3 x − 3 y, f y ( x, y ) = 3 y − 3 x
2 2
f xx ( x , y ) = 6 x , f yy ( x , y ) = 6 y , f xy = −3
′ ( x , y ) = x 2 (4 − x − y ) − x 2 y fy
求驻点, 求驻点 令
x+ y = 6
D
o
x
f x′ ( x , y ) = 2 xy(4 − x − y ) − x 2 y = 0 f y′ ( x , y ) = x 2 (4 − x − y ) − x 2 y = 0
于是 B 2 − AC = 9 − 36 < 0 , 因为 A = 6 > 0 ,
所以函数在 (1,1 )点取得极小值 f (1 ,1 ) = − 1
对于驻点 ( 0 , 0 ), A = 0 , B = − 3 , C = 0
所以 B 2 − AC = 9 > 0 , 于是点 ( 0 , 0 )不是极值点 .
例2 求二元函数 z = f ( x , y ) = x 2 y(4 − x − y ) 在直线 x + y = 6 ， x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值. 上的最大值与最小值
解 先求函数在 D 内的驻点， 内的驻点， 一阶偏导数为
y
′ f x ( x, y) = 2 xy(4 − x − y) − x 2 y
z = f ( x, y) = x y(4 − x − y)
2
⑴得区域 D 内唯一驻点( 2,1) , 且 f (2,1) = 4,
边界上的最值， 再求 f ( x , y ) 在 D 边界上的最值，
⑵ 在边界 x = 0 和 y = 0 上 f ( x , y ) = 0 ,
y
x+ y=6
o x
再如 函数 z = xy
处无极值． 在 (0,0) 处无极值．
x
2、二元函数取得极值的条件 必要条件） 定理 1 （必要条件）
设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且在点 具有偏导数，
( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零, 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零, f x ( x 0 , y0 ) = 0 ， f y ( x 0 , y0 ) = 0 . 即 证 不妨设 z = f ( x , y )在点( x 0 , y0 ) 处有极大值 处有极大值, 则对于 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域内任意 ( x , y ) ≠ ( x 0 , y 0 ) 都有 f ( x , y ) < f ( x 0 , y 0 ) , 故当 y = y 0 ， x ≠ x 0 时， f ( x , y 0 ) < f ( x 0 , y 0 ) , 有 处有极大值, 说明一元函数 f ( x , y0 )在 x = x 0 处有极大值
可知 , S在定义域内必有最小值 ,
所以S 所以 在
( 3 2V , 3 2V )取得最小值 , 这就是说 ,当容器的 3 2V 3 3 长 2V ,宽为 2V , 高为 时, 用料最省. 2
三、条件极值 拉格朗日乘数法 在研究极值时， 无条件极值：在研究极值时，对自变量除了
限制在定义域内外，并无其它条件 限制在定义域内外，并无其它条件. 对自变量有附加条件的极值． 条件极值：对自变量有附加条件的极值． 实例： 毛毛有200元钱，他决定用来购买两 实例： 毛毛有 元钱， 元钱 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带， 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果， 购买 x 张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U ( x , y ) = ln x + ln y．设每张磁 盘8元，每盒磁带 元，问他如何分配这 元 每盒磁带10元 问他如何分配这200 元以达到最佳效果． 元以达到最佳效果． 问题的实质： 问题的实质：求 U ( x , y ) = ln x + ln y 在条 下的极值点． 件 8 x + 10 y = 200下的极值点．
一、多元函数的极值和最大值、最小值 多元函数的极值和最大值、 实例：某商店卖两种牌子的果汁， 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元 外地牌子每瓶进价1.2元 如果本地 瓶进价 元，外地牌子每瓶进价 元.如果本地 牌子的每瓶卖 x 元，外地牌子的每瓶卖 y 元， 则每天可卖出 70 − 5 x + 4 y 瓶本地牌子的果汁 ， 80 + 6 x − 7 y 瓶外地牌子的果 汁,问：店主每天以什么价格 问 卖两种牌子的果汁可取得最大收益？ 卖两种牌子的果汁可取得最大收益？ 每天的收益为
( 3)在边界 x + y = 6上, 即y = 6 − x
于是 f ( x , y ) = x 2 (6 − x )( −2) = −12 x 2 + 2 x 3
′ f x = −24 x + 6 x 2 令f x′ ( x ) = 0得 x1 = 0, x2 = 4
⇒ y = 6 − x | x = 4 = 2, (舍去 x = 0) 于是 f (4,2) = −64,
函数 f ( x , y )在 D 上的最大 (小 ) 值 .
例 3 用钢板制作一个容积 V为一定的无盖长方体
容器 ,问如何选取长 ,宽, 高, 才能使用料最省 . V 解 设容器的长为 x , 宽为 y , 则高为 , 因此容器 xy V 1 1 的表面积为 S = xy + ( 2 x + 2 y ) = xy + 2V ( + ) xy x y S的定义域为0 < x < +∞ ,0 < y < +∞ 2V ∂S 2V ∂S = y− 2 , = x− 2 求S的偏导数 , x y ∂x ∂y 求得驻点 ( 3 2V , 3 2V )只有一个 ,由问题的性质
设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域 内 有 定 义 ， 对 于 该 邻 域 内 异 于 ( x 0 , y0 ) 的 点 ( x , y ) ： 若满足不等式 f ( x , y ) ≤ f ( x0 , y0 ) ， 则 称 函 数 在 ( x 0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x , y ) ≥ f ( x0 , y0 ) ， 则称函数在 ( x0 , y0 ) 有极 小值； 小值；
第六讲 多元函数的极值及其应用
• 内容提要
1.多元函数的极大值与极小值； 多元函数的极大值与极小值； 多元函数的极大值与极小值 2.最值问题； 最值问题； 最值问题 3.条件极值。 条件极值。 条件极值
• 教学要求
1.理解多元函数极值和条件极值的概念； 理解多元函数极值和条件极值的概念； 理解多元函数极值和条件极值的概念 2.掌握多元函数极值存在的必要条件； 掌握多元函数极值存在的必要条件； 掌握多元函数极值存在的必要条件 3.了解二元函数极值存在的充分条件； 了解二元函数极值存在的充分条件； 了解二元函数极值存在的充分条件 4.会用拉格朗日乘数法求条件极值； 会用拉格朗日乘数法求条件极值； 会用拉格朗日乘数法求条件极值 5.会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简 会求简单多元函数的最大值和最小值， 会求简单多元函数的最大值和最小值 单的应用问题。 单的应用问题。
f (x, y) = ( x − 1)(70 − 5 x + 4 y ) + ( y − 1.2)(80 + 6 x − 7 y )
的最大值. 求最大收益即为求二元函数 f ( x , y ) 的最大值
与一元函数类似，多元函数的最值与极值有关， 与一元函数类似，多元函数的最值与极值有关， 下面以二元函数为例讨论多元函数的极值问题. 下面以二元函数为例讨论多元函数的极值问题 1、二元函数极值的定义
Baidu Nhomakorabea
第三步 定出 B 2 − AC 的符号，再判定是否是极值. 的符号，再判定是否是极值 （1 ）当 B 2 − AC < 0时 , 点 ( x0 , y0 ) 是极值点 时是极大值点， 时是极小值点； 当 A < 0 时是极大值点， 当 A > 0 时是极小值点；
时不是极值点； （2 ） B 2 − AC > 0 时不是极值点；
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
充分条件） 定理 2（充分条件）设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数， 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数， f y ( x0 , y0 ) = 0 ， 且 f x ( x0 , y0 ) = 0 ,
fx ( x, y) = 0, 第一步 解方程组 f y ( x, y) = 0
求出实数解，得驻点 求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x 0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
A = f xx ( x0 , y0 , z0 ), B = f xy ( x0 , y0 , z0 ), C = f yy ( x0 , y0 , z0 )
记 f xx ( x0 , y0 ) = A ， f xy ( x0 , y0 ) = B ， f yy ( x0 , y0 ) = C ，
处是否取得极值的条件如下： 则 f ( x , y )在点 ( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下：
（1 ）当 B 2 − AC < 0时 , 点 ( x0 , y0 ) 是极值点
f x ( x, y) = 3 x 2 − 3 y = 0 由 解得驻点 (1,1) , ( 0,0) 2 f y ( x, y) = 3 y − 3 x = 0
对于驻点 (1,1 )有
A = f xx (1,1) = 6, B = f xy (1,1) = −3, C = f yy (1,1) = 6
即 f x ( x0 , y0 ) = 0 ; 类似地可证 f y ( x 0 , y 0 ) = 0 .
凡能使一阶偏导数同时为零的点， 凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为 函数的驻点 函数的驻点. 驻点 注意： 注意：对可偏导的函数 极值点 驻点
但不是极值点. 的驻点， 但不是极值点 例如 点(0,0)是函数 z = xy 的驻点，
时是极大值点， 时是极小值点； 当 A < 0 时是极大值点， 当 A > 0 时是极小值点；
时不是极值点； （2 ） B 2 − AC > 0 时不是极值点；
时可能是极值点, （3 ） B 2 − AC = 0 时可能是极值点, 也可能不是极值 点，还需另作讨论． 还需另作讨论．
极值的一般步骤： 求函数 z = f ( x , y )极值的一般步骤：
二、二元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 与一元函数相类似， 极值来求函数的最大值和最小值. 极值来求函数的最大值和最小值
求最值的一般方法：
将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及 的边界上的最大值和最小值相互比较， 在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较， 其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.
为最大值, 比较后可知 f ( 2,1) = 4 为最大值
f (4,2) = −64为最小值
在解决实际问题时 , 若 按问题的性质 , 知道
由该问题 归结出来的函数 f ( x , y ) 在开区域 D 内
一定能取得最在值 ( 或最小值 ), 而函数在 D内只有 一个驻点 , 那么可以肯定该驻点处 的函数值就是
大 、 极 值、 小 统 为 值 值 极 值 称 极 . 使 数 得 值 点 x0 , y0 )称 极 点 函 取 极 的 ( 为 值 .
z
2 2 例如 函数 z = 3 x + 4 y
处有极小值． 在 (0,0) 处有极小值．
又如函数 z = − x 2 + y 2
o x
y
o
y
在 (0,0) 处有极大值． 处有极大值．