点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

定理 在椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是

弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22

00a

b x y k MN

-=⋅.

证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，

则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,122

22

2222

1221 b y a x b y a x

)2()1(-，得.022

22

122

22

1=-+-b

y

y a x x

.22

12121212a

b x x y y x x y y -=++⋅--∴

又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN

==++--= .22

a

b x y k MN -=⋅∴

同理可证，在椭圆122

22=+a

y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点)

,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22

00b

a x y k MN

-=⋅.

例1 设椭圆方程为14

2

2

=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足1

()2

OP OA OB =

+，点N 的坐标为⎪⎭

⎫

⎝⎛21,21.当l 绕点M 旋转时，求： （1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最大值和最小值.

解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点

P

是弦AB 的中点 . 焦点在y 上，.1,422

==b a

假设直线l 的斜率存在

.

由22b

a x y k AB -=⋅得：

.41-=⋅-x

y

x y 整理，得：.0422=-+y y x 当直线l 的斜率不存在时，弦AB 的中点P 为坐标原点)0,0(O ，也满足方程。

∴所求的轨迹方程为.0422=-+y y x

（2）配方，得：.14

1)21(1612

2

=-+

y x .4141≤≤-∴x

12

7

)61(341

)21()2

1

()21(||22

22

22+

+-=-+-=-+-=∴x x x y x ∴当41=

x 时，41||min =NP ；当6

1

-=x 时，.6

21

||

max =

例2 在直角坐标系xOy 中，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆12

22

=+y x 有两个不同的交点P 和Q.（1）求k 的取值范围；（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存

在常数k ，使得向量+与

共线？如果存在，求k 的取值范围；如果不存在，请说明理由.

解：（1）直线l 的方程为

.2+=kx y

由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.12

,22

2y x kx y 得：.0224)12(22=+++kx x k

直线l 与椭圆1222

=+y x 有两个不同的交点，)12(83222+-=∆∴k k ＞0.解之得： k ＜2

2

-

或k ＞

22.∴k 的取值范围是⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, . （2）在椭圆

12

22

=+y x 中，焦点在

x

轴上，

1

,2==b a ，

).1,2(),1,0(),0,2(-=∴B A 设弦PQ 的中点为),(00y x M ，则).,(100y x OM =

由平行四边形法则可知：.2=+ +与共线，∴与共线.

12

y

x =-∴，从而

.22

00-=x y 由2200a

b x y k PQ -=⋅得：21

22-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⋅k

，.22=∴k 由（1）可知2

2

=

k

时，直线l 与椭圆没有两个公共点，∴不存在符合题意的常数k .

例3已知椭圆12222=+b

y a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22

=

e ，右准

线方程为

2=x .(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于

M 、N 两点，且

3

26

2||22=

+F F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P . 由平行四边形法则知：P F N F M

F 2222=+.

由3262||

22=

+F F 得：3

26||2=F .∴.926)1(2

2=+-y x ……………① 若直线l 的斜率不存在，则x l

⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F N F M F ，

与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在. 由22

a

b x y k MN

-=⋅得：

.211-=⋅+x y x y ∴).(21

22x x y +-= ………② ②代入①，得.9

26)(21)1(22

=+-

-x x x 整理，得：0174592

=--x x .解之得：3

17

=x ，或3

2-

=x

. 由②可知，3

17=

x

不合题意.∴32-

=x ，从而31±=y .∴.11

±=+=

x y

k ∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .