点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
定理 在椭圆122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是
弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22
00a
b x y k MN
-=⋅.
证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，
则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,122
22
2222
1221 b y a x b y a x
)2()1(-，得.022
22
122
22
1=-+-b
y
y a x x
.22
12121212a
b x x y y x x y y -=++⋅--∴
又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN
==++--= .22
a
b x y k MN -=⋅∴
同理可证，在椭圆122
22=+a
y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点)
,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22
00b
a x y k MN
-=⋅.
例1 设椭圆方程为14
2
2
=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足1
()2
OP OA OB =
+，点N 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛21,21.当l 绕点M 旋转时，求： （1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最大值和最小值.
解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点
P
是弦AB 的中点 . 焦点在y 上，.1,422
==b a
假设直线l 的斜率存在
.
由22b
a x y k AB -=⋅得：
.41-=⋅-x
y
x y 整理，得：.0422=-+y y x 当直线l 的斜率不存在时，弦AB 的中点P 为坐标原点)0,0(O ，也满足方程。

∴所求的轨迹方程为.0422=-+y y x
（2）配方，得：.14
1)21(1612
2
=-+
y x .4141≤≤-∴x
12
7
)61(341
)21()2
1
()21(||22
22
22+
+-=-+-=-+-=∴x x x y x ∴当41=
x 时，41||min =NP ；当6
1
-=x 时，.6
21
||
max =
例2 在直角坐标系xOy 中，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆12
22
=+y x 有两个不同的交点P 和Q.（1）求k 的取值范围；（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存
在常数k ，使得向量+与
共线？如果存在，求k 的取值范围；如果不存在，请说明理由.
解：（1）直线l 的方程为
.2+=kx y
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.12
,22
2y x kx y 得：.0224)12(22=+++kx x k
直线l 与椭圆1222
=+y x 有两个不同的交点，)12(83222+-=∆∴k k ＞0.解之得： k ＜2
2
-
或k ＞
22.∴k 的取值范围是⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, . （2）在椭圆
12
22
=+y x 中，焦点在
x
轴上，
1
,2==b a ，
).1,2(),1,0(),0,2(-=∴B A 设弦PQ 的中点为),(00y x M ，则).,(100y x OM =
由平行四边形法则可知：.2=+ +与共线，∴与共线.
12
y
x =-∴，从而
.22
00-=x y 由2200a
b x y k PQ -=⋅得：21
22-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅k
，.22=∴k 由（1）可知2
2
=
k
时，直线l 与椭圆没有两个公共点，∴不存在符合题意的常数k .
例3已知椭圆12222=+b
y a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22
=
e ，右准
线方程为
2=x .(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于
M 、N 两点，且
3
26
2||22=
+F F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P . 由平行四边形法则知：P F N F M
F 2222=+.
由3262||
22=
+F F 得：3
26||2=F .∴.926)1(2
2=+-y x ……………① 若直线l 的斜率不存在，则x l
⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F N F M F ，
与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在. 由22
a
b x y k MN
-=⋅得：
.211-=⋅+x y x y ∴).(21
22x x y +-= ………② ②代入①，得.9
26)(21)1(22
=+-
-x x x 整理，得：0174592
=--x x .解之得：3
17
=x ，或3
2-
=x
. 由②可知，3
17=
x
不合题意.∴32-
=x ，从而31±=y .∴.11
±=+=
x y
k ∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .
例4 已知椭圆1:2222=+b
y a x C （a ＞b ＞0）的离心率为33
，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、
B 两点. 当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为
2
2.
（1）求b a ,的值；（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有+=成立？若存在，求出所有点P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由.
解：（1）椭圆的右焦点为)0,(c F ，直线l 的斜率为1时，则其方程为
c x y -=，即0=--c y x .
原点O 到l 的距离：2
2
222
|
00|=
=
--=
c c
d ，∴1=c . 又3
3
=
=
a c e ，∴3=a . 从而2=
b .∴3=a ， 2=b . （2）椭圆的方程为1232
2=+y x . 设弦AB 的中点为),(y x Q . 由OB OA OP +=可知，点Q 是线段OP 的中点，点P 的坐标为)2,2(y x .∴123
422
=+y x .…………………① 若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点Q 与)0,1(F 重合，)0,2(=，点P 不在椭圆上，
故直线l 的斜率存在.
由22a
b x y k AB -=⋅得：
.321-=⋅-x y x y ∴)(3
2
22x x y --=.………………………② 由①和②解得：4
2,43±==
y x
.
∴当4
2,43==
y x 时，21
-=-=
x y
k AB
，点P 的坐标为)2
2,23(
，直线l 的方程为022=-+y x ；
当
4
2,43-==
y x 时，21
=-=
x y
k AB
，点P 的坐标为)2
2,23(
-，直线l 的方程为022=--y x .。