泛函

x1
J[y] = F (x, y, y ) dx
x0
泛函中的F = F (x, y )不显含y
这时的Euler–Lagrange方程就是
d ∂F dx ∂y
= 0,
所以，立即就可以得到它的首次积分
∂F ∂y
= 常量 C.
泛函中的F = F (y, y )不显含x
容易证明，
d dx
y
∂F ∂y
−F
=y
∂F ∂y
−
d dx
∂F ∂y
= 0.
这 个 方 程 称 为Euler–Lagrange方 程 ， 它 是 泛 函J [y]取 极 小 值 的 必 要 条 件 的 微 分 形 式 ． 一 般 说 来，这是一个二阶常微分方程．
对于泛函J [y]取极大值的情形，也可以类似地讨论，并且也会得到同样形式的必要 条件．
根据上面的讨论可知，作用量S取极值的必要条件的积分形式和微分形式分别是
δS =
t1 t0
∂L ∂q
δq
+
∂L ∂q˙
δq˙
dt = 0
和
∂L ∂q
−
d dt
∂L ∂q˙
=
0.
在给定的有势力场中，写出Lagrange量L的具体形式，就会发现，它和Newton力学的动力学方 程完全一样．
现在讨论泛函 的两种常见的特殊情形．
−
T ρ
∂2u ∂x2
= 0,
这正是第十二章导出的弦的横振动方程．
以上在一元函数和多元函数的泛函极值问题中，都限定了变量函数在端点或边界上 取定值，因而变量函数的变分在端点或边界上一定为0． 这种泛函极值问题称为固定端点或固定边界的泛函极值问题． 这类问题在数学上是最简单的，然而却又是物理上最常用的．
第5页
当函数的变分δy(x)足够小时，可以将被积函数在极值函数附近作Taylor展开，于是，有
x1
J[y + δy] − J[y] =
x0
δy
∂ ∂y
+ (δy)
∂ ∂y
F
+
1 2!
δy
∂ ∂y
+
(δy)
∂ ∂y
2
F +···
dx
=
δJ[y] +
1 2!
δ2J
[y]
+
·
·
·
,
其中
δJ[y] ≡ δ2J[y] ≡
S=
t1
dt
t0
x1 1 x0 2
ρ
也是位移u(x, t)的泛函．
∂u ∂t
2
−T
∂u ∂x
2
dx
L=
x1 1 x0 2
ρ
∂u ∂t
2
−T
称为Lagrange量(Lagrangian)，而被积函数
∂u ∂x
2
dx
1 2
ρ
∂u ∂t
2
−T
∂u 2 ∂x
称为Lagrange量密度．
§21.2 泛 函 的 极 值
x1
L = ds =
C
x0
1 + y 2dx.
显然，y(x)不同，L也不同，即L的数值依赖于整个函数y(x)而改变．L和函数y(x)之间 的这种依赖关系，称为泛函关系．
类似的例子还可以举出许多．例如，闭合曲线围成的面积，平面曲线绕固定轴 而生成的旋转体体积或表面积，等等．它们也都定了各自的泛函关系．
这就是二元函数情形下，泛函
J[u] = F (x, y, u, ux, uy)dx dy
S
取极值的必要条件的微分形式(Euler–Lagrange方程)．
把这个结果应用到例21.2中弦的横振动问题上，就得到使作用量
取极值的必要条件
S=
t1
dt
t0
x1 1 x0 2
ρ
∂u ∂t
2
−T
∂u ∂x
2
dx
∂2u ∂t2
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§21.1 泛 函 的 概 念
第2页
§21.1 泛 函 的 概 念
泛函，简单地说，就是以整个函数为自变量的函数．这个概念，可以看成是函数概念的 推广．
所谓函数，是指给定自变量x(定义在某区间内)的任一数值，就有一个y与之对应．y称 为x的函数，记为y = f (x)．
设在x, y平面上有一簇曲线y(x)，其长度
需要注意，Euler–Lagrange方程只是泛函取极值的必要条件，并不是充分必要条件．在 给定的定解条件下，Euler–Lagrange方程的解可能不止一个，它们只是极值函数的候选 者．到底哪一(几)个解是要求的极值函数，还需要进一步加以甄别．
§21.2 泛 函 的 极 值
第4页
• 何谓泛函极值？ • 泛函取极值的必要条件？
先回忆一下有关函数极值的概念．
所谓函数f (x)在x0点取极小值，是指当x在x0点及其附近|x − x0| < ε时，恒有
f (x) ≥ f (x0);
而如果恒有 则称函数f (x)在x0点取极大值．
f (x) ≤ f (x0),
+ ··· ,
于是，泛函J [u]取极值的必要条件就是泛函的一级变分为0，
δJ[u] =
S
δu
∂F ∂u
+ (δu)x
∂F ∂ux
+ (δu)y
∂F ∂uy
dx dy
=
S
∂F ∂u
−
∂ ∂x
∂F ∂ux
−
∂ ∂y
∂F ∂uy
δu dx dy
+
∂ ∂x
∂F ∂ux
δu
+
∂ ∂y
∂F ∂uy
δu
dx dy
§21.2 泛 函 的 极 值
第9页
3. 直接计算，就可以得到函数乘积的变分法则：
δ(F G) = (δF ) G + F (δG).
4. 变分运算和积分(微分的逆运算)也可以交换次序，
b
b
δ F dx = (δF ) dx.
a
a
这只要把等式两端的定积分写成级数和即可看出．
5. 复合函数的变分运算，其法则和微分运算完全相同，只要简单地将微分法则中的“d”
第7页
这就是能量守恒．
下面研究二元函数的情形．设有二元函数u(x, y), (x, y) ∈ S，在此基础上可以定义泛函
J[u] = F (x, y, u, ux, uy) dx dy.
S
仍然约定，u(x, y)在S的边界Γ 上的数值给定，即
首先，当然要计算
u Γ 固定.
J[u + δu] − J[u]
第8页
根据边界条件，u Γ 固定，可知 上式右端第二项的线积分为0，所以
δu Γ = 0,
δJ[u] =
S
= 0.
∂F ∂u
−
∂ ∂x
∂F ∂ux
−
∂ ∂y
∂F ∂uy
δu dx dy
再利用δu的任意性，就可以导出上面的被积函数一定为0，
∂F ∂u
−
∂ ∂x
∂F ∂ux
−
∂ ∂y
∂F ∂uy
= 0,
就是y(x)的泛函．这里，要求变量函数y(x)一定通过端点(x0, y0)和(x1, y1)． 由Galileo Galilei提出)
例2 弦的横振动问题．设在弦上隔离出足够短的一段弦，则该段弦的
动能
=
1 2
ρ∆x
∂u ∂t
2
,
势能
=
1 2
T
∆x
∂u ∂x
2
,
(此问题最早
其中u(x, t)是弦的横向位移，ρ是弦的线密度，T 是张力．这样，弦的Hamilton作用量
δJ[y] ≡
x1 x0
δy
∂F ∂y
+ (δy)
∂F ∂y
dx = 0.
将上式积分中的第二项分部积分，同时代入边界条件，就有
δJ[y] =
∂F ∂y
δy
x1 x0
+
x1 x0
δy
∂F ∂y
− δy
d ∂F dx ∂y
dx
=
x1 x0
∂F ∂y
−
d ∂F dx ∂y
δy dx = 0.
由于δy的任意性，就可以得到
= F (x, y, u + δu, (u + δu)x, (u + δu)y) dx dy
S
− F (x, y, u, ux, uy) dx dy
S
=
S
δu
∂ ∂u
+
(δu)x
∂ ∂ux
+ (δu)y
∂ ∂uy
F dx dy
+
1 2!
S
δu
∂ ∂u
+
(δu)x
∂ ∂ux
+ (δu)y
∂ ∂uy
2
F dx dy
§21.1 泛 函 的 概 念
第3页
图 21.1
例1 如图21.1所示，在重力作用下，一个质点从(x0, y0)点沿平面曲线y(x)无摩擦地自由 下滑到(x1, y1)点，则所需要的时间
T=
(x1 ,y1 ) (x0 ,y0 )
ds
x1
=
2g(y0 − y) x0
1 + y 2 dx 2g(y0 − y)
泛函的形式可以是多种多样的，但是，在本书中我们只限于用积分
x1
J[y] = F (x, y, y ) dx
x0
定义的泛函，其中的F 是它的宗量的已知函数，具有连续的二阶偏导数． 如果变量函数是二元函数u(x, y)，则泛函为
J[u] = F (x, y, u, ux, uy) dxdy,
S
其中ux ≡ ∂u/∂x, uy ≡ ∂u/∂y． 对于更多个自变量的多元函数，也可以有类似的定义．
=
x1 x0
∂F ∂y
δy
+
∂F ∂y
(δy)
dx,
x1 x0
δy
∂ ∂y
+ (δy)
∂ ∂y
2
F dx
x1 x0
∂2F ∂y2
(δy)2
+
2Baidu Nhomakorabea
∂2F ∂y∂y
δy(δy)
+
∂2F ∂y 2
(δy)
2
dx
分别是泛函J [y]的一级变分和二级变分．这样就得到：泛函J [y]取极小值的必要条件是泛函的
一级变分为0，
下面以一元函数为例，总结一下变分的几条简单运算法则．
1. 首先，由于变分是对函数y进行的，独立于自变量x，所以，变分运算和微分或微商运
算可交换次序，
δ
dy dx
=
d(δy) dx
即
δy = (δy) .
2. 变分运算也是一个线性运算，
δ(α F + β G) = α δF + β δG,
其中α和β是常数．
设对于(某一函数集合内的)任意一个函数y(x)，有另一个数J [y]与之对应，则称J [y]为y(x)的 泛函．
这里的函数集合，即泛函的定义域，通常包含要求y(x) 满足一定的边界条件，并且具有 连续的二阶导数．这样的y(x)称为可取函数．
泛函不同于复合函数，例如g = g(f (x))． 对于后者，给定一个x值，仍然是有一个g值与之对应； 对于前者，则必须给出某一区间上的函数y(x)，才能得到一个泛函值J [y]． (定义在同一区间上的)函数不同，泛函值当然不同． 为 了 强 调 泛 函 值J [y]与 函 数y(x)之 间 的 依 赖 关 系 ， 常 常 又 把 函 数y(x)称 为 变 量 函 数．
换成“δ”即可．例如，
δF (x,
y,
y
)
=
∂F ∂y
δy +
∂F ∂y
δy
.
这里注意，引起F 变化的原因，是函数y的变分，而自变量x是不变化的．所以，绝对不会出现 “(∂F /∂x)δx”项．
这些运算法则，当然完全可以毫不困难地推广到多元函数的情形．
作为完整的泛函极值问题，在列出泛函取极值的必要条件、即Euler–Lagrange 方程后， 还需要在给定的定解条件下求解微分方程，才有可能求得极值函数．
t1
S = L(t, q, q˙) dt
t0
§21.2 泛 函 的 极 值
第6页
其中q和q˙是描写质点运动的广义坐标和广义动量，L = T − V 是动能T 和势能V 之差，称 为Lagrange量．
Hamilton原理告诉我们，在一切(运动学上允许的)可能路径中，真实运动的(即由力学规 律决定的)路径使作用量S取极值．
函数f (x)在x0点取极值(极小或极大)的必要条件是在该点的导数为0，
f (x0) = 0.
可以用同样的方法定义泛函的极值．
“当变量函数为y(x)时，泛函J [y]取极小值”的含义就是：对于极值函数y(x)及其“附 近”的变量函数y(x) + δy(x)，恒有
J[y + δy] ≥ J[y].
所谓函数y(x) + δy(x)在另一个函数y(x)的“附近”，指的是： 1. |δy(x)| < ε； 2. 有时还要求|(δy) (x)| < ε． 这里的δy(x)称为函数y(x)的变分． 可以仿照函数极值必要条件的导出办法，导出泛函取极值的必要条件．
∂F ∂y
+y
d ∂F dx ∂y
−
∂F ∂y
y
−
∂F ∂y
y
=−y
∂F ∂y
−
d dx
∂F ∂y
,
所以，这时的Euler–Lagrange方程也可以有首次积分
y
∂F ∂y
−F
= 常量 C.
把这个结果应用到例21.3中，如果Lagrange量L不显含t，则有
q˙
∂L ∂q˙
−
L
=
常量 C,
§21.2 泛 函 的 极 值
在导出Euler–Lagrange方程时，实际上用到了变分法的一个重要的基本引理：
设φ(x)是x的连续函数，η(x)具有连续的二阶导数，且η(x) x=x0 = η(x) x=x1 = 0，若对于任意η(x)，
x1
φ(x) η(x) dx = 0
x0
均成立，则必有φ(x) ≡ 0．
例3 用量是
设质点在有势力场中沿路径q = q(t)由t0, q(t0)点运动到t1, q(t1)点，它的Hamilton作
S
= 0.
利用公式
S
取
就能将上面的结果化为
∂Q ∂x
−
∂P ∂y
dx dy =
Γ
P dx + Qdy ,
Q
=
∂F ∂ux
δu,
P
=
−
∂F ∂uy
δu,
δJ[u] =
S
∂F ∂u
−
∂ ∂x
∂F ∂ux
−
∂ ∂y
∂F ∂uy
δu dx dy
+
Γ
−
∂F ∂ux
dx
+
∂F ∂uy
dy
δu.
§21.2 泛 函 的 极 值
不妨不失普遍性地假定，所考虑的变量函数均通过固定的两个端点
y(x0) = a, y(x1) = b,
即 δy(x0) = 0, δy(x1) = 0.
考虑泛函的差值
x1
J[y + δy] − J[y] =
F x, y + δy, y + (δy) − F (x, y, y ) dx,
x0
§21.2 泛 函 的 极 值