第一章第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件

【互动探究】 1．下列四个命题中是真命题的是( C ) ①“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若 m≤1，则方程 x2－2x＋m＝0 有实根”的逆否命题； ④“若 A∩B＝B，则 A⊆B”的逆否命题 A．①② B．②③ C．①②③ D．③④
4．充分条件与必要条件
1．命题 可以判断_真__假__的陈述句叫做命题；命题就其结构而言分为 __条__件__和_结__论___两部分；就其结果正确与否分为真__命__题__和假__命__题__．
2．四种命题 原命题：如果 p，那么 q(或若 p 则 q)；逆命题：_若__q__则__p__； 否命题：__若____p_则_____q__；逆否命题：_若____q__则____p__.
• (1)若p⇒q，q p，则p是q的 充分不必要条件； • (2)若p⇒q，q⇒p，则p是q的 必要不充分条件； • (3)若p⇒q，q⇒p，则p是q的 充要条件； • (4)若p q，q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
考点2 充要关系的判断
例2：①(2011 年天津)设集合 A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈ R|x<0} ，C ＝{x ∈R|x(x －2)>0} ，则“x ∈A ∪B”是“x ∈C”的
3．四种命题之间的相互关系
原命题与___逆__否_命__题___，逆命题与_否_命__题___是同真同假．
4．充分条件与必要条件 • (1)若p⇒q，q p，则p是q的 充分不必要条件； • (2)若p⇒q，q⇒p，则p是q的 必要不充分条件； • (3)若p⇒q，q⇒p，则p是q的 充要条件； • (4)若p q，q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
考点1 Biblioteka Baidu种命题的关系及真假的判断
例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判 断真假：
(1)面积相等的两个三角形是全等三角形； (2)若 x＝0，则 xy＝0； (3)当 c<0 时，若 ac>bc，则 a<b； (4)若 mn<0，则方程 mx2－x＋n＝0 有两个不相等的实数根． (5)若x2+y2=0，则x，y都为0.
解析：解不等式得 p：－2≤x≤3.
①当 m>0 时，q：2－3m≤x≤2＋3m.
p 是 q 的充分不必要条件，即 p⇒ q，等价于 q⇒p.
2－3m≥－2， 从而2＋3m≤3，
m>0
⇒0<m≤13.
②当 m<0 时，q：2＋3m≤x≤2－3m. p 是 q 的充分不必要条件，即 p⇒ q，等价于 q⇒p.
2＋3m≥－2， 从而2－3m≤3，
m<0
⇒－13≤m<0.
③当 m＝0 时，q：x＝2，显然合乎题意．
综上所述，实数 m 的取值范围为－13≤m≤13.
互动探究:
3.已知条件 p : x 1,条件q : 1 1 , x
则p是┓q的
条件.
方法规律小结:
• 1．处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结 论，然后才能进行推理和判断． • 2．判断命题的充要关系有三种方法： • (1)定义法． • (2)等价法，即利用A⇒B与┓B⇒ ┓A； • B⇒A与┓A⇒ ┓B；
() A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
【互动探究】 2．(2011 年福建)若 a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”A的() A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点3 充要关系的应用 例3：已知 p:－2≤x≤3，q：x2－4x＋4－9m2≤0，若 p是 q的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围．