简谐运动的六种图象

简谐运动的六种图象 Last updated at 10:00 am on 25th December 2020

简谐运动的六种图象北京顺义区杨镇第一中学范福瑛

简谐运动在时间和空间上具有运动的周期性，本文以水平方向弹簧振子的简谐运动为情境，用图象法描述其位移、速度、加速度及能量随时间和空间变化的规律，从不同角度认识简谐运动的特征．

运动情境：如图1，弹簧振子在光滑的水平面B、C之间做简谐运动，振动周期为T，振幅为A，弹簧的劲度系数为K。

以振子经过平衡位置O向右运动的时刻为计时起点和初始位置，取向右为正方向。分析弹簧振子运动的位移、速度、加速度、动能、弹性势能随时间或位置变化的关系图象。

1.位移-时间关系式，图象是正弦曲线，如图2

2．速度-时间关系式，图象是余弦曲线，如图3

3．加速度-时间关系式，图象是正弦曲线，如图4

4.加速度-位移关系式，图象是直线，如图5

5．速度-位移关系式，图象是椭圆，如图6

，

整理化简得

6．能量-位移关系

弹簧和振子组成的系统能量（机械能）守恒，

总能量不随位移变化，如图7直线c

弹性势能，图象是抛物线的一部分，如图7曲线b

振子动能，图象是开口向下的抛物线的一部分，如图7曲线a

图象是数形结合的产物，以上根据简谐运动的位移、速度、加速度、动能、弹性势能与时间或位移之间的关系式，得到对应的图象，从不同角度直观、全面显示了简谐运动的规律，同时体现了数与形的和谐完美统一。

2011-12-20?人教网

【基础知识精讲】

1.振动图像

简谐运动的位移——时间图像叫做振动图像，也叫振动曲线.

(1)物理意义：简谐运动的图像表示运动物体的位移随时间变化的规律，而不是运动质点的运动轨迹.

(2)特点：只有简谐运动的图像才是正弦(或余弦)曲线.

2.振动图像的作图方法

用横轴表示时间，纵轴表示位移，根据实际数据定出坐标的单位及单位长度，根据振动质点各个时刻的位移大小和方向指出一系列的点，再用平滑的曲线连接这些点，就可得到周期性变化的正弦(或余弦)曲线.

3.振动图像的运用

(1)可直观地读出振幅A、周期T以及各时刻的位移x.

(2)判断任一时刻振动物体的速度方向和加速度方向

(3)判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况.

【重点难点解析】

本节重点是理解振动图像的物理意义，难点是根据图像分析物体的运动情况.

一切复杂的振动都不是简谐运动.但它们都可以看做是若干个振幅和频率不同的简谐运动的合运动.

所有简谐运动图像都是正弦或余弦曲线，余弦曲线是计时起点从最大位移开始，正弦

曲线是计时起点从平衡位置开始，即二者计时起点相差.我们要通过振动图像熟知质点做简谐运动的全过程中，各物理量大小、方向变化规律.

例1一质点作简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如下图所示，由图可知，在

t=4S时，质点的()

A.速度为正最大值，加速度为零

B.速度为负最大值，加速度为零

C.速度为零，加速度为正最大值

D.速度为零，加速度为负最大值

解析：(1)根据简谐运动特例弹簧振子在一次全振动过程中的位移、回复力、速度、

加速度的变化求解.由图线可知，t=4s时，振动质点运动到正最大位移处，故质点速度为零，可排除A、B选项.质点运动到正最大位移处时，回复力最大，且方向与位移相反，故加速度为负最大值，故选项D正确.

(2)利用图线斜率求解.该图线为位移、时间图像，其曲线上各点切线的斜率表示速度矢量.在t=4s时，曲线上该点切线的斜率为零，故该点速度大小为零，可排除A、B项.由

简谐运动的动力学方程可得a=-x,当位移最大时，加速度最大，且方向与位移方向相反，故选项D正确.

说明本题主要考查简谐运动过程中的位移，回复力，速度和加速度的变化情况.运用

斜率求解的意义可进一步推得质点在任意瞬间的速度大小，方向.t=1s、3s时质点在平衡位置，曲线此时斜率最大，速度最大，但1s时斜率为负，说明质点正通过平衡位置向负

方向运动，3s时斜率为正，表过质点通过平衡向正方向运动.

例2如下图所示是某弹簧振子的振动图像，试由图像判断下列说法中哪些是正确的.()

A.振幅为3m，周期为8s

末振子速度为负，加速度为零

C.第14s末振子加速度为正，速度最大

末和8s末时振子的速度相同

解析：由图像可知振幅A=3cm，周期T=8s，故选项A错.

4s末图线恰与横轴相交，位移为零，则加速度为零.过这一点作图线的切线，切线与横轴的夹角大于90°(或根据下一时刻位移为负)，所以振子的速度为负.故选项B正确.

根据振动图像的周期性，可推知第14s末质点处于负的最大位移处(也可以把图线按原来的形状向后延伸至第14s末)，因此质点的加速度为正的最大值，但速度为零，故选项C错误.

第4s末和第8s末质点处在相邻的两个平衡位置，则速度方向显然相反(或根据切线斜率判断)，所以选项D错误.选B.

说明根据简谐运动图像分析简谐运动情况，关键是要知道图像直接表示出哪些物理量，间接表示了哪些物理量，分析间接表示的物理量的物理依据是什么.

【难题巧解点拨】

简谐运动图像能够反映简谐运动的运动规律，因此将简谐运动图像跟具体的运运过程联系起来不失为讨论简谐运动的一种好方法.

(1)从简谐运动图像可直接读出不同时刻t的位移值，从而知道位移x随时间t的变化情况.

(2)在简谐运动图像中，用作曲线上某点切线的办法可确定各时刻质点的速度大小和方向，切线与x轴正方向的夹角小于90°时，速度方向与选定的正方向相同，且夹角越大表明此时质点的速度越大.当切线与x轴正方向的夹角大于90°时，速度方向与选定的正方向相反，且夹角越大表明此时质点的速度越小.也可以根据位移情况来判断速度的大小，因为质点离平衡位置越近，质点的速度就越大，而最大位移处，质点的速度为零.