大学物理-近代物理习题

（1805）两个火箭相向运动，它们相对于静止观察者的速率者是3c/4 （c 为真空中的光速）。

试求两火箭相互接近的速率。

**设静止观察者为Ｋ系，火箭1为Ｋ＇系，火箭2为运动物体，Ｋ＇相对Ｋ系的速度u=3c/4，火箭2在Ｋ系中的速度4
3c v x -=，根据狭义相
对论地速度变换公式，火箭2相对Ｋ＇系的速度为c c
uv u
v u x
x x 96.01'2
-=--=两火箭的接近速率为0.96c***
（1806）两只飞船相向运动，它们相对地面的速率都是v ，在Ａ船中有一根米尺，米尺顺着飞船的运动方向放置，问Ｂ船中的观察者测得米尺的长度是多少？
**设地球为Ｋ系，飞船Ｂ为Ｋ＇系，飞船Ａ中的尺则为运动物体，若u=v 为Ｋ＇系相对Ｋ系的速率，则v v x -=是尺相对地球的速率，尺在Ｋ＇系中的速率为
2
2
2221211'c
v v
c v v v c uv u v v x x x +-=+--=--=
这就是尺相对观察者的速率，用12v 表示之，2
21212c
v v v +=
则Ｂ中观察者测得Ａ中米尺的长度是
1)1(411022
2
22222
22
2
120=+-=+-=-
=l v c v c c
c
v v c
v l l **
（1807）一光源在Ｋ＇系的原点Ｏ＇发出一光线，此光线Ｘ＇Ｙ＇平面内与Ｘ＇轴的夹角为θ＇。

设Ｋ＇系与Ｋ系相应有坐标轴互相平行，Ｋ＇系相对Ｋ系以速度u 沿Ｘ轴正方向运动，试求此光线在Ｋ系中的传播方向。

** 由题意，'sin ','cos 'θθc v c v y x ==，根据相对论速度变换公式
22
'cos 1'cos '1'c uc u
c c
uv u v v x x x θθ++=++=
22
2
222'
cos 11'sin '11'c uc c
u c c
uv c u v v x
y y θθ+-=
+-=
光线与Ｘ轴的夹角是
u
c c
u c arctg v v arctg x y +-=='cos 1'sin 2
2
θθθ** 1808Ｃ
（10分）设Ｋ＇系相对惯性系Ｋ以速率u 沿Ｘ轴正方向运动，Ｋ＇系和Ｋ系的相应坐标平行，如果从Ｋ＇系中沿Ｙ＇轴正向发出一光信号，求在Ｋ系中观察到该光讯号的传播速率和传播方向。

** 已知0',',0'===z y x v c v v ，按狭义相对论的速度变换公式：
0'11'1'11''1'22
2
2
222
2
2=+-=-=+-==++=c
uv c
u v v c u c c
uv c u v v u c uv u v v x
z z x
y y x x x
在Ｋ系中光讯号的速度大小c c
u c u v v v v z
y x =-+=++=)1(22
2
2
2
2
2
光讯号传播与Ｘ轴的夹角c
u
v v x 11
cos cos
--==α，即36.87°。

（1809）火箭Ａ以0.8c 的速率相对地球向正北方向飞行，火箭Ｂ以0.6c 的速率相对地球向正西方向飞行（c 为光速）。

求在火箭Ｂ中观察Ａ的速度的大小和方向。

**选地球为Ｋ系，火箭Ｂ为Ｋ＇系，正东方向为Ｘ和Ｘ＇轴的正向，正北方向为Ｙ和Ｙ＇轴的正向。

火箭Ａ为运动物体。

则Ｋ＇对Ｋ系的速度u=-0.6c ，0,8.0,0===z y
x v c v v 根据狭义相对论的速度变换公式：
11'64.011'6.01'2
2222=--==--==--=c
uv v v c c uv v v c c uv u
v v x z z x y y x x x ββ在火箭Ｂ中测得Ａ的
速度→
'
v 的大小为c
v v v v z y x 877.0'''|'|2
22=++=
→
，→
'
v 与Ｘ＇轴之间的夹角为
83.46|
'|'cos 1
==→
-v v x α**
（1812）在惯性系中，有两个静止质量都是0m 的粒子Ａ和Ｂ，它们以相同的速率v 相向运动，碰撞后合成为一介粒子，求这个粒子的静止质量0m ＇**
设粒子Ａ的速度为→A v ，粒子Ｂ的速度为→
B v ，合成粒子的运动速度为→
'v ， 则动量守恒得
2
202
2
0220'1''11c
v v m c v v m c v v m B
B A
A -=
-+
-→
→
→
因v v v B A ==，且→
→-=B A v v ，所以→
'v ＝0。

即合成粒子是静止的，由能量守恒得
202
2202
220'11c m c
v c m c
v c m =-+
-解出
2
2
0012'c v m m -=
，即3.33倍。

**
（1813）若光子的波长和电子的德布罗意波长λ相等，试求光子的质量与电子的质量之比。

** 光子动量)1(/λh c m P r r == 电子动量)2(/λh v m P e e == 两者波长相等，即)3(v
m c m e r =得到
c
v
m m e r =
电子质量)4(12
2
0c v m m e -=
式中0m 为电子的静止质量，由（2）（4）两
式解出
22
22
01h
c m c v λ+
=
代入（3）式得2
2
22
011h c m m m e
r
λ+=
即0.024倍。

**
（1814）在什么速度下粒子的相对论动量是非相对论动量的二倍；在什么速度下粒子的动能等于其静止能量？**按题意，
v m c v v m v
m mv 02
2
00212=-=，即
c v c v c
v c v 866.0,75.025.01,5.012222
22===-=-，动能20202c m c m mc E k =-=即 202
2
202
02212c m c
v c m c
m mc =-=，则c v 866.0=。

**
（1815）在实验室测得电子的速度是0.8c ，c 为真空中的光速，假设一观察者相对实验室以0.6c 的速率运动，其方向与电子运动方向相同，试求该观察者测得的电子的动能和动量是多少？（电子的静止质量kg m e 311011.9-⨯=）**设实验室为Ｋ系，观察者为Ｋ＇系中，电子为运动物体，则Ｋ＇对Ｋ系的速度为u=0.6c ，电子对Ｋ系的速度为c v x 8.0=，电子对Ｋ＇系的速度c c
uv u
v v x
x x 385.01'2
=--=
观察者测得电子动能为s m kg /⋅ J
c v c m E x k 152
2201085.6)1'11(
-⨯=--=动量s m kg c v v m mv p x /1014.1'1222
20⋅⨯=-=
=-**
（1832）动能是1kev 的电子，若想要同时测得其位置和动量，如果
位置限制在m 1010-范围内，试计算动量不确定量的百分比。

（
kg
m s J h e 3134101.9,1063.6--⨯=⋅⨯=）**由不确定关系式
h
p x x ≥∆∆，知
s m kg x
h p /1063.624
⋅⨯=∆≥∆-，
由经典的动能动量关系式m p mv E k 22122==s ，得电子的动量
s
m kg mE p k /1071.1223⋅⨯==-，动量不确定量的百分比为
%8.38≥∆p
p
** （1833）一质量为m 的微观粒子被约束在长度为Ｌ的一维线段上，试根据不确定关系式估算该粒子所具有的最小能量值，并由此计算在直径为m
1410-的核内质子和中子的最小能量。

（
kg
m s J h p 27341067.1,1063.6--⨯=⋅⨯=）**根据不确定关系式
≥∆∆x p x 有
≥∆∆x mv x ，即
x
m v x ∆≥
∆
，粒子的最小能量应满足2
222
2)(21)(21mL x m m v m E x mn
=∆≥∆=，在核内，质子与中子的最小能量
J
E mn 14104.3-⨯≥。

**
（1834）一电子处于原子某能态的时间为s 810-，计算该能态的能量的最小不确定量，设电子从上述能态跃迁到基态对应的能量为eV 39.3，试确定所发射的光子的波长及此波长的最小不确定量。

（s J h ⋅⨯=-341063.6）**根据不确定关系式 ≥∆∆t E ，得eV t
E 710659.0-⨯=∆≥∆
，根据光子能量与波长的关系
λ
νc
h
h E ==，得光子的波长
m E hc 71067.3-⨯==
λ，波长的最小不确定量为m E
E hc 1521013.7-⨯=∆=∆λ** （1901）试求出一维无限深方势阱中粒子运动的波函数
),3,2,1(sin
)(⋅⋅⋅==ψn a
x
n A x n π的归一化形式，式中
a 是势阱宽度。

**所谓归
一化就是让找到粒子的概率在可能找到的所有区域内进行积分，并使之等于100％，即⎰+∞∞-=ψψ1)()(*dx x x ，对我们的问题是a
A dx a x
n A a
2
1sin 0
2
2==⎰π，于是得到归一化的波函波
⋅⋅⋅==
ψ,3,2,1sin 2)(n a
x n a x n π**
（1902）已知粒子处于宽度为a 和一维无限深方势阱中运动的波函数为⋅⋅⋅==
ψ,3,2,1sin 2)(n a
x
n a x n π试计算1=n 时，在4
3421a
x a x =→=
区间找到粒
子的概率。

(1902)
(1903)
**找到粒子的概率为818.0sin 2)()(*434
2434
11==ψψ⎰
⎰
a a a
a dx a
x a dx x x π** （1905）一弹簧振子，振子质量kg m 310-=，弹簧的倔强系数110-⋅=m N k ，设它作简谐振动的能量等于kT （k 为玻尔兹曼常数），K T 300=。

试按量子力学结果计算此振子的量子数n ，并说明在此情况下振子的能量实际上可以看作是连续改变的。

（s
J h K J k ⋅⨯=⋅⨯=---341231063.6,
1038.1）**
按量子力学中的线性谐振子能级公式可得
111092.32
1221)2
1
(⨯≈-=-=
=+m
k h kT h kT n kT
h n πνν相邻能级间隔J h 3210055.1-⨯=ν此能量间隔与振子能量kT 相比较，11
1092.311⨯=
≈
n kT
h ν实在太小了，因此可以
看作是连续改变的。

**
（1906）已知氢原子的核外电子在在1s 态的定态波函数为
a
r e
a
-
=
ψ3
1001
π式中2
2
0e
m h a e πε=试求沿径向找到电子的概率为最大时的位
置坐标值。

（2121201085.8---⋅⋅⨯=m N C ε，s J h ⋅⨯=-3410626.6，kg m e 31101.9-⨯=，C e 19106.1-⨯=）
**氢原子1s 态的定态波函数为球对称的，在径向dr
r r +→区间找到电子的概率为dr r w 2
2
1004||πψ=即a
r
e
r w 22
-
∝沿径向对w 求极大，
0)22()(2222=-==--a r
a r e a r r e r dr d dr dw 得m e m h a r e 10
2
2010529.0-⨯==
=πε** （4170）一体积为V 0，质量为0m 的立方体沿其一棱方向相对于观察者A 以速度v 运动。

求：观察者A 测得其密度是多少？
**设立方体的长、宽、高分别以x 0，y 0，z 0表示，观察者A 测得立方体的长、宽、高分别为0022
,,1z z y y c
v x x ==-=相应的体积为22
01c
v V xyz V -==，观察者A 测得立方体的质量2
2
01c v m m -=
，故相应
密度)
1(22
00c
v V m V
m -==
ρ**
（4191）在氢原子光谱的巴耳末线系中有一频率为Hz 141015.6⨯的谱线，它是氢原子从能级=n E ______eV 跃迁到能级=k E ________eV 而发出的。

（普朗克常量s J h ⋅⨯=-341063.6；基本电荷C e 19106.1-⨯=）**-0.85; -3.4**
（4192）在氢原子光谱中，赖曼系（由各激发态跃迁到基态所发射的各谱线组成的谱线系）的最短波长的谱线所对应的光子能量为________eV ，巴耳末系的最短波长的谱线所对应的光子的能量为________eV 。

**13.6; 3.4**
（4193）设氢原子光谱的巴尔末系中第一条谱线（αH ）的波长为αλ，第二条谱线（βH ）的波长为βλ，试证明：帕邢系（由各高能态跃迁到主量子数为3的定态所发射的各谱线组成的谱线系）中的第一条谱
线的波长为βαβαλλλλλ-=**根据巴尔末公式：)1
21(1
22n
R -=λ，得第一条
谱线波长为
)31
21(
1
2
2-=R α
λ，第二条谱线波长为)4121(122-=R β
λ，而帕邢系中第一条谱线的波长应为
)41
31(
1
2
234
-=R λ，由342324111λλλ=-，可得
β
αβ
αλλλλλ-=
34** （4200）设大量氢原子处于n=4的激发态，它们跃迁时发射出一簇光谱线。

这簇光谱线最多可能有________条，其中最短的波长是___________
A 。

（普朗克常量s J h ⋅⨯=-341063.6）**6，975**
（4201）图示被激发的氢原子跃迁到低能级时，可发出波长为1λ、2λ、
3λ的辐射，其频率1ν、2ν和3ν的关系等式是三个波长的关系等式是______**1
2
3
1
231
1
1
λλλννν+
=
+=**
（4202）氢原子光谱的巴耳末系中，有一光谱线的波长为
A 4340，试求：（1）与这一谱线相应的光子能量为多少电子伏特？（2）该谱线是氢原子由能级n E 跃迁到k E 能级产生的，n 和k 各为多少？（3）最高能级为5E 的大量氢原子，最多可以发射几个线系，共几条谱线？请在氢原子能级图中表示出来，并说明波长最短的是哪一条谱线。

**（1）eV hc
h 86.2==
λ
ν（2）由于此谱线是巴耳末线系，其k=2又因为
)
6.13(4.32
12
21eV E eV
E E k -=-==
νh E n
E E k n +==
21
所以
51
=+=
ν
h E E n k （3）可发射四个线系，共有10条谱线。

见图，波长
最短的是赖曼系中由n=5跃迁到n=1的谱线。

**
（4245）由于相对论效应，如果粒子的能量增加，粒子在磁场中的回旋周期将随能量的增加而增大，计算动能为410MeV 的质子在磁感应强度为1T 的磁场中的回旋周期。

（质子的静止质量为271067.1-⨯kg ，
J 106.1eV 119-⨯=）**J 106.1MeV 1094-⨯==k E ，质子的2701067.1-⨯=m kg ，B=1T 。

根据202c m mc E K -=，所以2
0c
E m m k +
=，回旋周期71065.72-⨯==qB m
T πs . ** （4246）波长为λ的单色光照射某金属M 表面发生光电效应，发射的光电子（电量绝对值为e ，质量为m ）经狭缝S 后垂直进入磁感应强度为→
B 的均匀磁场（如图示），今已测出电子在该磁场中作圆运动的最大半径为R . 求（1）金属材料的逸出功；（2）遏止电势差。

**
（1）A mv h +=221ν，因为R v m Bev 2=，所以m B
v Re =，故m B e R hc A 2222-=λ。

（2）因为2
2
1||mv U e a =，所以m B e R e mv U a 22||2222==**
（4248）已知中子的质量是kg m 271067.1-⨯=，当中子的动能等于温度T=300K 的热平衡中子气体的平均动能时，其德布罗意波长为_____________。

（s J h ⋅⨯=-34
1063.6，1
23
1038.1--⋅⨯=K J k ）**
A 46.1**
（4250）波长为
A 1=λ的伦琴辐射光子的质量为_________kg 。

（s J h ⋅⨯=-341063.6）**321021.2-⨯**
（4357）在O 参照系中，有一个静止的长方形，其面积为100cm 2。

观测者O’以0.8c 的匀速度沿正方形的对角线运动。

求O’所测得的该图形的面积。

**令O 系中测得正方形边长为a ，以对角线为X 轴正方向（如图），则边长在坐标轴上投影的大小为a a a a y x 2
2
,22==。

面积可表示为：x y a a S ⋅=2。

在以速度v 相对于O 系沿X 正方向运动的O’系中a a a a c
v a a y y x
x 22
'226.01'22==⨯=-=，
在O’系中测得的图形为菱形，其面积亦可表示为260''2'cm a a S x y =⋅=。

**
（4362）静止时边长为50cm 的立方体，当它沿着它的一个棱边平行的方向相对于地面以匀速度s m /104.28⨯运动时，在地面上测得它的体
积是_______**0.075m 3**
（4364）一艘宇宙飞船的船身固有长度为m L 900=，相对于地面以v=0.8c （c 为真空中光速）的匀速度在一观测站的上方飞过。

（1）观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？（2）宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？**（1）观测站测得飞船船身
的长度为m c
v L L 54122
0=-=，则s v L t 711025.2-⨯==∆。

（2）宇航员测得
飞船船身的长度为0L ，则s v
L t 70
21075.3-⨯==
∆** （4366）在惯性系S 中，有两事件发生地同地点，且第二事件比第一事件晚发生2=∆t 秒钟；而在另一惯性系S’中，观测第二事件比第一事件晚发生3'=∆t 秒钟，那么在S’系中发生两件事地地点之间的距离是多少？**令S’系与S 系的相对速度为v ，有2
2
1'c v t t -∆=
∆，则
s m t t c v /1024.2)'
(
182
⨯=∆∆-⋅=那么，在S ’系测得两事件之间的距离为m t t c t v x 8221072.6'''⨯=∆-∆=∆⋅=∆**
（4367）一发射台向东西两侧距离均为0L 的两个接收站E 与W 发射讯号，今有一飞机以匀速度v 沿发射台与两接收站的连线由西向东飞行，试问在飞机上测得两接收站接收到发射台同一讯号的时间间隔是多少？**在地面参照系：0=-=
∆c
L
c L t 在飞机参考系：2
222
221'1'c
v c vx t t c
v c vx t t E
E E W
W W --
=
--
=
，222
012'''c v c v L t t t E
W -=-=∆**
（4368）在K 惯性系中观测到相距m x 8109⨯=∆的两地点相隔s t 5=∆发生两事件，而在相对于K 系沿X 方向以匀速运动的K’系中发现此两事件恰好发生在同一地点。

试求在K’系中此两事件的时间间隔。

**设两系的相对速度为v ，由2
2
2222
2
1111'1'c v vt x x c v
vt x x --=
--=
，及题意''21x x =，
可得2211vt x vt x -=-，即t v x ∆=∆，又：2
21'
c
v
t t -∆=∆，即22
1'c v t t -∆=∆，代入得s c
x t t 4)(
)('2
2=∆-∆=∆** （4369）K 惯性系中观测者记录到两事件的空间和时间间隔分别是
m x x 60012=-和m t t 712108-⨯=-，为了使两事件相对于K 系沿正X 方
向匀速运动的K ’系来说是同时发生的，K’系必需相对于K 系以多大
的速度运动？**设相对速度为v ，由2222221'c v x c v t t --
=
，2
212111'c
v x c v t t --=。

则有：2
2
12212121)(''c
v x x c v
t t t t ---
-=
-由题意：
''12t t =有：4.0=c v 则：c v 4.0=** （4370）在K 惯性系中，相距m x 6105⨯=∆的两个地方发生两事件，时间间隔s t 210-=∆；而在相对于K 系沿正X 方向匀速运动的K ’系中
观测到这两件事却是同时发生的。

试计算在K ’系中发生这两事件的地点间的距离'x ∆是多少？**设两系的相对速度为v ，由
2
21
2112
222221'1'c
v
x c v t t c
v x c v t t --
=
--=，及题意：''21t t =，可得222121x c v t x c v t -=-即
x c v t ∆=∆2，又22222
)(1't c x c
v x x ∆-∆=-∆=∆，代入上式：
m t c x x 622104)()('⨯=∆-∆=∆**
（4371）在惯性系K 中发生两事件，它们的位置和时间的坐标分别是（x 1，t 1）及（x 2，t 2），且t c x ∆>∆；若在相对于K 系沿正X 方向匀速运动的K’系中发现这两事件却是同时发生的。

试证明在K’系中发生这两事件的位置间的距离是：222't c x x ∆-∆=∆（式中12x x x -=∆，
12t t t -=∆，c 表示真空中的光速）**设两系的相对速度为v 。

由
2
2
12112
222221'1'c
v x c v t t c
v x c v
t t --
=
--
=
，及题意：
''21t t =，可得222121x c v t x c v t -=-，即x c v t ∆=∆2，又2
2
1'c
v x x -∆=∆。

把
x
t
c
c v ∆∆=，代入上式：222)('t c x x ∆+∆=∆**
（4372）在惯性系K 中发生两事件，它们的位置和时间的坐标分别是（x 1，t 1）及（x 2，t 2），且t c x ∆>∆；若在相对于K 系沿正X 方向匀速运动的K’系中观测，这两事件恰好是发生在同一地点上，试证明这两事件在K ’系中看来它们的时间间隔是：2
2)(
'c
x t t ∆-∆=∆（式中12x x x -=∆，12t t t -=∆，c 表示真空中的光速）。

**设两系的相对速度
为v 。

根据洛仑兹变换2
2
1112
2
2221'1'c v vt x x c v vt x x --=
--=
，由题意：''21x x =，则：
2211vt x vt x -=-，故：t v x ∆=∆，又：2
2
1'c v t t -∆=
∆，得：
2222)()(1'c x
t c
v t t ∆-∆=-∆=∆。

**
（4373）静止的μ子的平均寿命约为s 60102-⨯=τ。

今在8km 的高空，由于π介子的衰变产生一个速度为v=0.998c （c 为真空中光速）的μ子，试论证此μ子有无可能到达地面。

**考虑相对论效应，以地球为参照系，μ子的平均寿命：
s c
v 62
2
106.311-⨯=-=
ττ，
则μ子的平均飞行距离：km v L 46.9=⋅=τ，μ子的飞行距离大于高度，有可能到达地面。

**
（4378）火箭相对于地面以v=0.6c （c 为真空中光速）的匀速度向上飞离地球，在火箭发射't ∆=10秒钟后（火箭上的钟），该火箭向地面发射一导弹，其速度相对于地面为1v =0.3c ，问火箭发射后多长时间，导弹到达地球？（地球上的钟）。

计算中假设地面不动。

**按地球的钟，导弹发射的时间是在火箭发射后s c v
t t 5.121'2
2
1=-∆=
∆这段时间火箭
在地面上飞行距离：1t v S ∆⋅=导弹相对地球速度c v 3.01=，则导弹飞到地球的时间是s v S
t 251
2==
∆那么从火箭发射后到导弹到达地面的时间是s t t t 5.3721=∆+∆=∆**
（4380）宇宙飞船相对于地球以速度u=0.5c ，（c 为真空中光速）飞
行，今飞船向前发射一枚火箭，火箭相对于飞船的速度为v’=0.5c ，即火箭的速度为光速，这枚火箭就是光子火箭。

这一结论对不对？如有错误请改正。

**题中所述的结论的伽利略变换得到的，但这是不对的，要用相对论速度变换：54'1'2
c
c
uv u v v =++=
，即火箭的速度为0.8c 。

**
（4392）用单色光照射某一金属产生光电效应，如果入射光的波长从
1λ=400nm 减到2λ=360nm （1nm=910-m ），遏止电压改变多少？数值
加大还是减少？（普朗克常量s J h ⋅⨯=-341063.6，基本电荷
C e 19106.1-⨯=）**由爱因斯坦方程A mv h +=
221ν又||2
1
2a U e mv =所以A hc
U e a -=λ
||，即)1
1
(
|)||(|1
2
12λλ-
=-hc U U e a a 遏止电压改变
V e hc U a 345.0)1
1(||1
2=-=
∆λλ数值加大。

** （4393）以波长λ=410nm （1nm=910-m ）的单色光照射某一金属，产生的光电子的最大动能K E =1.0eV ，求能使该金属产生光电效应的单色光的最大波长是多少？（普朗克常量s J h ⋅⨯=-341063.6）**设能使该金属产生光电效应的单色光最在波长为0λ由00=-A h ν可得
A hc A hc
=
=-00
0λλ又按题意K E A hc
=-λ得nm E hc hc K
6120=-=
λ
λ** （4394）在光电效应实验中，测得光电子动能K E 与入射光频率ν的关系曲线如图所示，试证：普朗克常量QS
RS h =。

（即直线的斜率）**由爱因斯坦方程A mv h +=22
1
ν及逸出功
νh A =得
0220212
1νννννν-=-==
-K E mv
h mv h h 因为0νν=时0=K E 由图可知入射光
频率为ν时
h QS
RS
E K ==-0νν。

**
（4414）处于第一激发态的氢原子被外来单色光激发后，发射的光谱中，仅观察到三条巴尔末系光谱线，试求这三条光谱线中波长最长的那条谱线的波长以及外来光的频率。

（里德伯恒量1710097.1-⨯=m R ）**因为巴尔末系中观察到三条光谱线，所以只可能是从n=5的轨道，从n=4的轨道，从n=3的轨道分轨道分别跃迁到n=2的轨道而发出的。

由22222222221)121(-⋅=-=n n R n
Rc n n
λν，得222
22221-⋅=n n R n λ，所求的波
长为氢原子从n=3的轨道迁到n=2的轨道发出的谱线的波长，上式
代入n=3得
nm m 4311056.6723=⨯=-λ，外来光应使氢原了多n=2的轨道跃迁到n=5的轨道，且nm 43125=λ，所以其频率为：Hz c
1425
251091.6⨯==
λν。

**
（4417）测得氢原子光谱中的某一谱线系的极限波长为
nm K 7.364=λ)101(9
A nm -=试推证此极限波长属于巴尔末系。

（里德伯
恒量1710097.1-⨯=m R ）**
]
1
1[
1
2
2n k R -=λ
当∞→n 得极限波长21k R k =λ所以22≈==R k R k k k λλ可见：该波长属于巴尔末系**
（4418）氢原子发射一条波长为
A 4340=λ的光谱线。

试问该谱线属于哪一谱线系？氢原子是从哪个能级跃迁到哪个能级辐射出该光谱线的？（里德伯恒量1
7
10097.1-⨯=m R ）**
A 4340属于可见光范围，谱线
属于巴尔末系或)121(
1
2
2~
n R -==
λ
ν 1414112
-=-=R R R
n λλλ，代入数值可得225≈n ，
可见该辐射是氢原子从n=5的能级跃迁到n=2的能级的辐射。

**
（4429）戴维逊-革末电子衍射实验装置如图所示，自热阴极K 发射出的电子束经U=500V 的电势差加速后投射到某种晶体上，在掠射角 20=φ时，测得电子流强度出现第二次极大值，试计算电子射线的德布罗意波长及晶体的晶格常数。

（电子质量kg m e 31101.9-⨯=普朗克常量s J h ⋅⨯=-341063.6，基本电荷C e 19106.1-⨯=）**nm U
m h p
h e 0549.02===
λ据φλsin 2d k =得φ
λ
sin 2k d =
代入k=2，得d=0.161nm**
（4430）已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为：
)0(sin 2)(a x a
x a x ≤≤=
πψ求：发现粒子几率最大的位置。

**先求粒子
的位置几率密度a
x
a
x π2
2sin 2
|)(|=ψ求最大位置：
2
2cos
12sin 2|)(|22a x
a
a x a x ππ-==
ψ当12cos -=a x π时2|)(|x ψ有最大值。

在
a x ≤≤0范围内可得
ππ=a x 2所以a x 2
1
=。

** （4431）α粒子在磁感应强度为B=0.025T 的均匀磁场中沿半径
R=0.83cm 为的圆形轨道运动。

（1）试计算其德布罗意波长。

（2）若使质量m=0.1g 的小球以与α粒子相同的速率运动，则其波长为多少？（α粒子的质量kg m 271064.6-⨯=α，普朗克常量s J h ⋅⨯=-341063.6，基本电荷C e 19106.1-⨯=）**（1）德布罗意公式：mv
h
=
λ由题意可知α粒子受磁场力作用作圆周运动。

所以，qRB v m R v m qvB ==αα,2
另q=2e ，eRB v m 2=α故nm eRB
h
21000.12-⨯==
αλ（2）由上一问可得αm eRB v 2=对于质量为m 的小球m mv
h
341064.6-⨯==
λ** （4434）在一维无限深势阱中运动的粒子，由于边界条件的限制，势阱宽度d 必须等于德布罗意半波长的整数倍。

试利用这一条件导出能
量量子化公式⋅⋅⋅==
,3,2,182
22n md h n E n [提示：非相对论动能和动量的关
系m p E K 22=]**依题意d n =2λ，则有n d 2=λ。

由于λh p =，则d nh
p 2=。

故
2
22282md h n m p E ==即⋅⋅⋅==,3,2,182
2
2n md h n E n **
（4435）同时测量能量为1keV 的作一维运动的电子的位置与动量时，若位置的不确定值在0.1nm （m nm 9101-=）内，则动量的不确定值的百分比
P
P
∆至少为何值？（电子质量kg m e 31101.9-⨯=，J eV 19106.11-⨯=，普朗克常量s J h ⋅⨯=-341063.6）**1keV 的电子，其动量为
1231071.12--⋅⋅⨯==s m kg mE p K 据不确定关系式： ≥∆∆x p 得12310106.0--⋅⋅⨯=∆=
∆s m kg x
p
[若不确定关系式写成h x p ≥∆⋅∆，则
%39=∆p p 或2
≥∆⋅∆x p 则%1.3=∆p p ，均可视为正确]** （4442）光子的波长为
A 3000=λ，如果确定此波长的精确度610-=∆λ
λ
，
试求此光子位置的不确定量。

**光子动量λ
h
p =，按题意，动量数值
的不确定量为λ
λ
λλλ∆=
∆-=
∆h h
p 2根据测不准关系得：
λ
λ
πλ
π∆=∆≥∆22p
h
x 故m x 048.0≥∆**
（4448）设在碰撞中原子可交出其动能一半，如果要用加热的方式使基态氢原子大量激发，试估计至少要把它加热到多高温度？（玻尔兹曼常数1231038.1--⋅⨯=K J k ）**当加热到温度T 时，氢原子的平均动能
kT E 23=
，碰撞时可交出动能2
1
2321⨯=kT E ，因此用加热的方式使之激发，则要求温度1T 满足1214
3
E E kT -≥式中eV E eV E 4.36.1321-=-=所以
K T 51106.1⨯≥。

**
（4502）功率为P 的点光源，发出波长为λ的单色光，在距光源为d 处，每秒钟落在垂直于光线的单位面积上的光子数为多少？若
A 6630=λ，则光子的质量为多少？（普朗克常量341063.6-⨯=h J ·S ）
解：设光源每秒钟发射的光子数为n ，每个光子的能量为hv 则由λ/nhc nhv P == 得：)/(hc P n λ=
令每秒种落在垂直于光线的单位面积的光子数为n 0，则)4/()4/(/220hc d P d n s n n π=π==λ 3分
光子的质量36221033.3)/()/(/-⨯====λλc h c hc c hv m kg 2分 （4511）在地球表面测得单位时间内太阳辐射到每单位面积的能量为2/1340m W s =（1）已知地日距离为m d 11105.1⨯=，计算太阳发射的总功率。

（2）把太阳看作绝对黑体，计算太阳的温度。

（太阳的半径为
m R s 8100.7⨯=，斯忒藩－玻尔兹曼常数4281067.5---⋅⋅⨯=K m W σ）**（1）
W s d P 2621079.34⨯==π（2）太阳的辐出度272
/1015.64)(m W R P T M s
B ⨯==
π对于绝
对黑体4)(T T M B σ=故太阳的温度K
T M T B 34
107.5)
(⨯==σ
**
（4603）某一宇宙射线中的介子的动能207c M E k =，其中0M 是介子的静止质量。

试求在实验室中观察到它的寿命是它固有寿命的多少倍。

**实验室参照系中介子的能量02020087E c M c M E E E k =+=+=设介子的速度为v ，又有2
2
02
2
202
11c v E c v
c M Mc E -=
-=
=可得
8112
2
=-=c v E E 令固有
寿命为0τ，则实验室寿命02
2
81τττ=-=
c v **
（4604）设快速运动的介子的能量约为E=3000MeV ，而这种介子在静止时的能量为MeV E 1000=，若这种介子的固有寿命是s 60102-⨯=τ，求它运动的距离（真空中光速s m /109979.28⨯）。

**根据
2
2
02
2
202
11c v E c v c m mc E -=
-=
=可得
30110
2
2
==
-E E
c v 由此求出
s m v /10998.28⨯≈又介子运动的时间02
2
301τττ=-=
c v ，因此它运动的距
离m v l 410798.1⨯≈=τ**
（4612）如图所示，一频率为ν的入射光子与起始静止的自由电子发生碰撞和散射，如果散射光子的频率为'ν，反冲电子的动量为p ，则
在与入射光子平行的方向上的动量守恒定律的分量形式为
_________。

**θ
φ
ν
ν
cos
cos
'
p
c
h
c
h
+
=**
**
（4720）一隧道长为L，宽为d，高为h，拱顶为半圆，如图，设想一列车以极高的速度v沿隧道长度方向通过隧道，若从列车上观察。

（1）隧道的尺寸如何？（2）设列车的长度为
l，它全部通过隧道的时间是多少？**（1）从列车上观察，隧道的长度缩短，其它尺寸均
不变。

隧道为
2
2
1
'
c
v
L
L-
=。

（2）从列车上观察，隧道以速度v经过列
车，它经过列车全长所需时间为
v
l
v
L
t0
'
'+
=，即列车全部通过隧道的时
间为
v
l
c
v
L
t
2
2
1
'
+
-
=。

**
（4732）观察者甲以0.8c的速度（c真空中光速）相对于静止的观察者乙运动，若甲携带一质量为1kg的物体，则（1）甲测得此物体的总能量为_______；（2）乙测得此物体的总能量为________。

**J16
10
9⨯J
17
10
5.1⨯**
（4733）已知一静止质量为
m的粒子，其固有寿命为实验室测量到的
寿命的
n
1，则此粒子的动能是_______。

**
)1
(2
-
n
c
m**
（4734）匀质细棒静止时的质量为0m ，长度为0l ，当它沿棒长方向作高速的匀速直线运动时，测得它的长为l ，那么，该棒的运动速度v=________，该棒所具有的动能k E =_________。

**2
21l l c -
)1(
20-l
l c m ** （4735）已知μ子的静止能量为105.7MeV ，平均寿命为s 8102.2-⨯，试求动能为150MeV 的μ子的速度v 是多少？平均寿命τ是多少？**据相对论动能公式202c m mc E k -=，得)111(
2
2
20--
=c v c m E k ，即
419.11112
02
2
==
--c m E c v k
，解得c v 91.0=，平均寿命为
s c
v 82
20
1030.51-⨯=-=
ττ**
（4740）在X 射线散射实验中，散射角为 451=φ和 602=φ的散射光波长改变量之比21:λλ∆∆=______。

**0.586**
（4741）分别以频率为1ν和2ν的单色光照射某一光电管。

若21νν>（均大于红限频率0ν），则当两种频率的入射光的光强相同时，所产生的光电子的最大初动能1E _____2E ；为阻止光电子到达阳极，所加的遏止电压||1a U _____||2a U ；所产生的饱和光电流1s I ___2s I 。

（用>或=或<填入）**>，>，<**
（4742）某金属产生光电效应的红限为0ν，当用频率为)(0ννν>的单色光照射该金属时，从金属中逸出的光电子（质量为m ）的德布罗意波长为。

**
)
(20νν-m h
**
（4743）光电管的阴极用逸出功为A=2.2eV 的金属制成，今用一单
色光照射此光电管，阻极发射出光电子，测得遏止电势差为V U a 0.5||=试求：（1）光电管阴极金属的光电效应红限波长；（2）入射光波长。

（普朗克恒量s J h ⋅⨯=-341063.6，基本电荷C e 19106.1-⨯=）**（1）由
00λνhc
h A =
=，得nm m A hc 5651065.570=⨯==
-λ，
（2）由||2
1
2a U e mv = A U e hc
h a +==||λ
ν nm A U e hc a 173||=+=
λ** （4744）以波长为m μλ200.0=的单色光照射一铜球，铜球能放出电子，现将此铜球的电势达到多高时不再放出电子？（铜的逸出功为
eV A 10.4=，普朗克常数C eV s J h 19341060.11,1063.6--⨯=⋅⨯=）**当铜球
充电达到正电势U 时，有22
1
mv A eU h ++=ν当A eU h +≤ν时，铜球不再放出电子，所以，eV A hc
A h eU 12.2=-=-≥λ
ν故V U 12.2≥时，铜球
不再放出电子。

**
（4745）波长为
A 500.00=λ的X 射线被静止的自由电子所散射，若散射的波长变为
A 522.0=λ，试求反冲电子的动能k E 。

（普朗克常量
s J h ⋅⨯=-341063.6）**入射光子的能量为0
0λεhc
=
散射光子的能量为
λ
εhc
=
反冲电子的动能为J E k 1601068.1-⨯=-=εε**。