题型五特殊四边形的动态探究题

试题演练

1. 如图，AD 是⊙O 的直径，AD ＝2BD ，点C 是ACD ︵上的不与A 、D 重合的动点，连接BC ，BA ，

AC .

(1)求∠ACB 的度数；

(2)填空：已知⊙O 半径为4.

①当l CD ︵＝________时，四边形OBDC 是菱形；

②当l CD ︵＝________时，四边形ABDC 是矩形．

2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以点A 为圆心，AC 为半径作⊙A ，交AB 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点E 作EF ∥AB 交⊙A 于点F ，连接AF ，BF ，DF .

(1)求证：△ABC ≌△ABF ；

(2)填空：

①当∠CAB 等于______时，四边形ACBF 为正方形；

②当∠CAB 等于________时，四边形ADFE 为菱形．

3. (’15郑州模拟)如图，扇形OAB 的半径OA ＝3，圆心角∠AOB ＝90°，点C 是AB ︵上异于A 、

B 的动点，过点

C 作C

D ⊥OA 于点D ，作C

E ⊥OB 于点E ，连接DE ，点G 、H 在线段DE 上，且DG ＝GH ＝HE .

(1)当点C 在AB ︵上运动时，在CD 、CG 、DG 中，长度不变的线段是________，该线段的长

度是________；

(2)求证：四边形OGCH 是平行四边形；

(3)当OD ＝________时，四边形OGCH 是菱形．

4. 如图，CD 是△ABC 的中线，点E 是AF 的中点，CF ∥AB .

(1)求证：CF ＝AD ；

(2)若已知AB ＝10，AC ＝6，填空：

①当BC 长为________时，四边形BFCD 是矩形；

②当BC 长为________时，四边形BFCD 是菱形．

5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝13 cm ，AD ＝4 cm ，点E 、F 同时分别从D 、B 两点出发，以

1 cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动，点G、H分别为AE、CF的中点，设运动时

间为t(s)．

(1)求证：四边形EGFH是平行四边形．

(2)填空：

①当t为________s时，四边形EGFH是菱形；

②当t为________s时，四边形EGFH是矩形．

6. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm.点P由B出发沿BA方向向点

A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，P，Q运动速度均为2 cm/s.

以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E.设运动的时间为t

(单位：s)(0≤t≤4)解答下列问题：

(1)在点P，Q运动过程中，平行四边形AQPD的面积是否具有最大值，若有，请求出它

的最大值；否则，请说明理由．

(2)填空：

①当t的值为________s时，平行四边形AQPD为矩形；

②当t的值为________s时，平行四边形AQPD为菱形．

7. (’15平顶山模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方

向平移，使点E与点C重合，得△GFC.

(1)求证：BE＝DG；

(2)填空：

①若∠B＝60°，当BC＝________AB时，四边形ABFG是菱形；

②若∠B＝60°，当BC＝________AB时，四边形AECG是正方形．

8. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD＝8 cm，AC＝4 cm，点E从点B出发沿BD方向

以1 cm/s的速度向点D运动，同时点F从点D出发沿DB方向以同样的速度向点B运动，设点E、F运动的时间为t(s)，其中0＜t＜8.

(1)求证：△BEC≌△DFA；

(2)填空：

①以点A、C、E、F为顶点的四边形一定是________形；

②当t的值为________时，以点A、C、E、F为顶点的四边形为矩形．

【答案】

1. 解：(1)∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD ＝90°，

∵AD ＝2BD ，

∴在Rt △ABD 中，cos ∠D ＝

BD AD ＝BD 2BD ＝12

， ∴∠D ＝60°，

∴∠ACB ＝∠D ＝60°；

(2)①4π3；②8π3

. 【解法提示】①当BC ⊥OD 时，∵OB ＝OD ＝BD ，∴OE ＝DE ，∵OD 是半径，BC 是弦，∴BE

＝CE ，∴四边形OBDC 是菱形，则OD ＝CD ＝OC ，∴∠COD ＝60°，∴lCD ︵＝60 π×4180＝4π3

；②当BC 经过圆心O 时，易得四边形ABDC 是矩形，△AOC 为等边三角形，∴∠COD ＝180°－

60°＝120°，∵l CD ＝120 π×4180＝8π3

. 2. 【思路分析】(1)首先利用平行线的性质得到∠FAB ＝∠CAB ，然后利用SAS 证得两三角形全等即可；(2)①当∠CAB ＝45°时，四边形ACBF 为正方形．∠FAB ＝∠CAB ＝45°，进而∠FAC ＝∠AFB ＝∠ACB ＝90°，四边形ACBF 为矩形，再由邻边AC ＝AF 得其为正方形；②当∠CAB ＝60°时，四边形ADFE 为菱形．根据∠CAB ＝60°，得到∠FAB ＝∠AFE ＝∠CAB ＝∠AEF ＝60°，从而得到EF ＝AD ＝AE ，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断．

解：(1)证明：∵EF ∥AB ，

∴∠E ＝∠CAB ，∠EFA ＝∠FAB ，

∵∠E ＝∠EFA ，

∴∠FAB ＝∠CAB ，

又∵AF ＝AC ，AB ＝AB ，

∴△ABC ≌△ABF (SAS)；

(2)①45° ②60°

【解法提示】①当∠CAB ＝45°时，由(1)知，∠FAB ＝∠CAB ＝45°，∠FAC ＝∠AFB ＝∠ACB ＝90°，故四边形ACBF 为矩形，又∵AC ＝AF ，∴四边形ACBF 为正方形．