高等计算流体力学讲义(2)

（20）
∂U ⎞ ⎛ ∂U l (k ) ⎜ + λ(k ) ⎟=0 ∂x ⎠ ⎝ ∂t
（21）
我们称由
dx (t ) = λ(k ) (U ) dt
（22）
定义的一族曲线 Γ k 为（3）式的特征线。 沿特征线
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DU Dt
显然在特征线上：
Γk
⎛ ∂U ∂U dx ⎞ =⎜ + ⎟ ∂x dt ⎠Γk ⎝ ∂t
v ∫ F (U )dt − Udx = 0 ，
Γ
(27)
则称 U( x , t )为方程
∂U ∂F + = 0 在初值 U( x ,0)=U0(x), − ∞ < x < ∞ 下的广义解或弱解。 ∂t ∂x 如果已知 U( x , t )是光滑的，设 Γ 围成的区域为 Ω ，则由(27)式利用 Green 公式知
K DU lk Dt
= 0 ， k = 1,2,", m
Γk
（23）
特征线的意义：对于两个自变量的双曲系统，通过引入特征线，可把偏微分方程组（3） 。 （23）式称为特征相容关系。 式化为特征线上的常微分方程组（23） 具体到一维 Euler 方程，左特征向量为：
G (γ − 1) ⎡ u 2 ua ⎤ a l1 = + , −u − ,1⎥ 2 ⎢ 2a ⎣ 2 γ − 1 γ −1 ⎦ G (γ − 1) ⎡ 2a 2 ⎤ l2 = − u 2 , 2u, −2 ⎥ 2 ⎢ 2a ⎣ γ − 1 ⎦ G (γ − 1) ⎡ u 2 ua ⎤ a l3 = − , −u + ,1⎥ 2 ⎢ γ −1 ⎦ 2a ⎣ 2 γ − 1
t1 ⎡ dx + ∫ ⎢ F U ( x ( t ) − ε , t ) dt − U ( x ( t ) − ε , t ) t2 dt ⎢ ⎣
(
)
x = x ( t ) −ε
令 ε → 0 ，则上式可简化为：
∫
t2
t1
⎡ dx ⎢ F (U (x(t ) + 0, t )) − U ( x(t ) + 0, t ) dt ⎢ ⎣ U + = U ( x(t ) + 0, t )
1 非线性守恒系统和 Euler 方程
一维一阶非线性守恒系统(守恒律)可写为下列一般形式 G ∂U ∂F + = 0 ， x ∈ R, t > 0 ∂t ∂x
（1）
其中 U 称为守恒变量，是有 m 个分量的列向量，即 U = (u1 , u 2 ,...u m ) T 。 F = ( f 1 , f 2 ,... f m ) T 称 为通量函数，是 U 的充分光滑的函数，且满足归零条件，即：
S = const
4. 广义解(弱解)
考虑 Bergers 方程
ut + uu x = 0
G x ∈ R, t > 0
(26)
u ( x, 0) = u0 ( x)
考虑如下初始条件,
⎧1 ⎪ u0 ( x) = ⎨1 − x ⎪0 ⎩
当存在连续解时,
x≤0 0 < x ≤1 x >1
u ( x, t ) = u ( x − ut , 0) = u0 ( x − ut )
− F (U ( x(t ) − 0, t )) + U ( x(t ) − 0, t )
x = x (t )
令
U − = U ( x(t ) − 0, t )
D=
dx dt
x = x (t )
并考虑到 t1,t2 可以任意取值，有：
[ F ] = D [U ]
其中 [F ] = F U
(30)
( ) − F (U ) ， [U ] = U
p p 为内能， h = e + 为焓。γ为比热比，对于空气，γ=1.4。 (γ − 1) ρ ρ
⎛ ⎜ 0 1 ⎜ 2 u A = ⎜ − (3 − γ ) ( 3 − γ )u ⎜ 2 γ −1 2 ⎜ 3 u ⎜ (γ − 1)u − γuE γE − 3 2 ⎝ ⎞ 0 ⎟ ⎟ γ − 1⎟ ⎟ ⎟ γu ⎟ ⎠
⎧ −1 x ≤ 0 u0 ( x ) = ⎨ x>0 ⎩1
时的解。此时，Bergers 方程为 ut + (u / 2) x = 0 ，初值在 x = 0 处有一个间断。 x = 0 处的
2
Rankine-Hogoniot 条件为：
(u 2 / 2) |x =0+ −(u 2 / 2) |x =0− = D(u |x =0+ −u |x =0− )
t
x=x(t)
x = x(t ) − ε
t=t2
P Γ
x = x(t ) + ε
t=t1 x
6
在 Γ 上应用（27）式，有
∫
t2
t1
⎡ dx ⎢ F (U (x(t ) + ε , t ))dt − U (x(t ) + ε , t ) dt ⎢ ⎣
⎤ x ( t 2 ) −ε dt ⎥ + ∫ U ( x, t 2 )dx ⎥ x ( t 2 ) +ε x = x ( t ) +ε ⎦ ⎤ x (t1 ) +ε dt ⎥ + ∫ U ( x, t1 )dx = 0 ⎥ x ( t1 ) −ε ⎦ dx dt ⎤ ⎥ dt = 0 x = x (t ) ⎥ ⎦
由上式知 D = 0 。所以， u ( x, t ) = u0 ( x) 在间断处满足 Rankine-Hogoniot 条件，在其他地方 满足微分方程，即 u ( x, t ) = u0 ( x) 是 Bergers 方程的一个广义解。另外，容易验证
⎧ −1 x ≤ −t ⎪ u ( x, t ) = ⎨ x / t −t < x ≤ t ⎪1 x>t ⎩
R
间变化，但其总量保持守恒。 多维守恒律可以写为
G G G ∂U + ∇ • ( Fi + Gj + Hk ) = 0 ∂t
守恒律的空间导数项可以写为散度形式。 守恒系统（1）可以展开成所谓拟线性形式
（2）
1
∂U ∂U + A(U ) =0 ∂t ∂x A 是 m × m 矩阵，称为系数矩阵或 Jacobi 矩阵，其具体形式为
（3）
⎡ ∂f1 ⎢ ∂u ⎢ 1 ⎢ ∂f 2 A = ⎢ ∂u1 ⎢ ⎢ ... ⎢ ∂f ⎢ m ⎢ ∂u1 ⎣
，容易验证：
∂f1 ∂u2 ∂f 2 ∂u2 ∂f m ∂u2
∂f1 ⎤ ∂um ⎥ ⎥ ∂f 2 ⎥ ... ∂um ⎥ ⎥ ⎥ ∂f m ⎥ ⎥ ∂um ⎦ ⎥ ...
（4）
∂F ∂F ∂U ，通常也记 A = 。流体力学无粘流动的 Euler 方程是典型的 =A ∂x ∂x ∂U
特征相容关系为
Dp Du ± ρa = 0， Dt Dt dx =u±a dt
（24）
4
DS =0， Dt
dx =u dt
（25）
其中 S = C v ln
p
ργ
为熵。对于均熵流动， （24）式可以积分出：
R ± = const ，沿 dx =u±a dt
其中 R ± = u ±
2
γ −1
a 。此时（25）式退化为：
双曲型系统有 m 个独立的特征向量，设 l1 , l 2 ," l m 为左特征向量，则
l k A = λ( k ) l k , k = 1,2," m
（10）
左特征向量为行向量。设左特征向量组成的矩阵
⎛ l1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜l ⎟ L=⎜ 2⎟ ⎜#⎟ ⎜l ⎟ ⎝ m⎠
（11）
则：
LA = ΛL
+ −
+
−U − 。
上述关系（30）式称为 Rankine-Hogoniot 关系。综上所述，双曲型守恒律的弱解 U ( x, t ) 是被有限个间断线分开的分片光滑函数。在光滑区， U ( x, t ) 满足微分方程（29）式，在间 断线的两侧， U ( x, t ) 满足 R-H 关系。 广义解是不唯一的。为了说明这一问题，我们举一个例子：考虑 Burgers 方程在初值为
把（5）式写成拟线性形式，其 Jacobi 矩阵为：
（7）
守恒型方程和非守恒型方程。 原始变量对应的非守恒型 Euler 方程
Wt + A(W )Wx = 0
⎧ρ ⎫ ⎪ ⎪ W = ⎨u ⎬ ⎪ p⎪ ⎩ ⎭ ⎡u A(W ) = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
ρ
u
ρ a2
0 ⎤ 1/ ρ ⎥ ⎥ u ⎥ ⎦
（12）
其中：
Λ = diag ( λ (1) , λ (2) ,", λ ( m ) )
(13)
设 r1 , r2 ," rm 为右特征向量，则
Ark = λ( k ) rk
（14）
右特征向量为列向量。设右特征向量组成的矩阵为
R = r1 , r2 ,", rm
(
)
（15）
3
则：
AR = RΛ
（16） （17） （18） （19）
∫∫ ( ∂t
Ω
∂U
+
∂F )dxdt = v Fdt − Udx = 0 ∫ ∂x Γ
(28)
由于闭曲线可以在光滑区内任取，由(28)式可得：
∂U ∂F + =0 ∂t ∂x
即，在光滑区，弱解就是古典解。
（29）
假定 U ( x, t ) 是由一条间断线 X = X (t ) 分隔开的分片连续可微函数， 取如图所示的闭曲 线Γ
由此可知
⎧1 ⎪1 − x ⎪ u ( x, t ) = ⎨ ⎪1− t ⎪ ⎩0
参见图 1
x≤t t < x ≤1 x >1
u
t=1/2
t=1
5
即t → 1时
⎧1, x < 1 u ( x, t ) |t →1 = ⎨ ⎩0, x > 1
可见,对于非线性问题,即使初始值是连续的,其解仍然可能出现间断。 对于 Euler 方程， 其解的结构中可能出现激波或接触间断，此时，不存在古典意义下的解（古典解要求解是充 分光滑的） 。为此，必须拓展双曲型守恒律解的概念。 定义（广义解或弱解） ： 设 U( x , t )是分片连续可微的函数，在 t ≥ 0 的半平面，如果对于与 U( x , t )的间断线 只有有限个交点的任意分段光滑的闭曲线 Γ ，都有:
由（12）式， （16）式分别有
A = LΛL−1 A = RΛ R
−1
矩阵 A 与一个对角阵相似，我们称 A 可以对角化。显然
R = L−1 。
3．特征线与 Riemann 不变量
以左特征向量左乘（3）式
K ⎛ ∂U ∂U ⎞ lk ⎜ +A ⎟=0 t ∂ ∂x ⎠ ⎝
K K 考虑到 l k A = λ(k )l k ，有：
为什么要研究守恒型方程？ 使用非守恒型方程计算有激波间断的流动，激波位置或激波速度可能不对。
2
2．双曲型方程的定义
令 Jacobi 矩阵的特征值为 λ( k ) , k = 1,2,", m ，则如果 A 的所有特征值均为实数且 A 可以 ，则（3）式（以及（1）式）称为双曲系统。如果 对角化（即有 m 个线性无关的特征向量） A 的所有特征值为互异实数，则（3）式称为严格双曲系统。 矩阵 A 的特征值 λ ，由下式定义：
∂U ∂F + =0 ∂t ∂x
（5）
非线性守恒律，可以写为
其中：
U = ( ρ , ρu , ρE ) T F = ( ρu, ρu 2 + p, ρuH ) T
（6）
这里ρ，u，p，E，H 分别为密度、速度、压力、总能和总焓。对于完全气体， E = e + 1 u2 ， 2
H =h+ 1 u2 ， e = 2
高等计算流体力学讲义（2）
第二章 可压缩流动的数值方法
§1. Euler 方程的基本理论 0 概述
在计算流体力学中，传统上，针对可压缩 Navier－Stokes 方程的无粘部分和粘性部分分 别构造数值方法。 其中最为困难和复杂的是无粘部分的离散方法； 而粘性项的离散相对简单， 一般采用中心差分离散。所以，本章主要研究无粘的 Euler 方程的解法。在推广到 Navier－ Stokes 方程时，只需在 Euler 方程的基础上，加上粘性项的离散即可。Euler 方程是一种典型 的非线性守恒系统。 下面我们将讨论一般的非线性守恒系统以及 Euler 方程的一些数学理论， 作为研究数值方法的基础。
A − λI = 0
（8）
显然，对于 m × m 阶矩阵， （8）式有 m 个根 λ( k ) , k = 1,2,", m 。 对于一维 Euler 方程，有：
λ(1) = u − a λ( 2 ) = u λ
其中 a =
( 3)
（9）
=u+a
γp 为音速。显然 Euler 方程为双曲型方程。 ρ
F (U ) lim U →0 =0
即通量是对守恒变量的输运，守恒变量为零时，通量也为零。 守恒律的物理意义 设 U 的初始值为：U ( x, 0) = U 0 ( x), x ∈ R 。如果 U 0 ( x) 在 x ∈ R 中有紧支集（即 U 0 在 有限区域以外恒为零） ，则
∫
R
U ( x, t )dx = ∫ U 0 ( x)dx 。即此时虽然 U ( x, t ) 的分布可以随时