力学 第二章 质点运动学

∵ ax 与vx反号，∴粒子做减速运动，且速度、加速度均按 指数规律减小。
t 0时,初位置x0 C1 C2 , 初速度为v0 C2 ,加速度为a0 －C2 2 t ，x C1，v 0, a 0 表示粒子将无限接近于x C1处并且静止， 位移趋近于x x0 C2。
3、质点的运动学方程 矢量形式：r r (t )
标量形式：x x(t ), y y(t ), z z (t )
4、质点的运动学轨迹方程 质点运动时描出的轨迹称为质点的轨迹。 也就是位置矢量的矢端曲线。
质点在平面Oxy上运动， 轨迹方程： y y( x) 或者：f ( x, y, z ) 0
ˆ ˆ 例题：r R cos ti R sin tj, 求:轨迹方程。
y R x
解： x2 y 2 R2 .
二、位移
1、位移：由质点初位置引向末位置的矢量， 即位置矢量增量。
r r (t t ) r (t ) rB rA
ˆ ˆ ˆ 正交分解式：r xi yj zk
r( t )
o
A
r
r ( t t )
A'
r B
§2.2 瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量
一、平均速度与瞬时速度
1、平均速度：位矢对时间的平均变化率。
r r (t t ) r (t ) v t t
ΔS
是矢量
r( t )
r
S
r ( t t )
三、匀速和匀变速直线运动 1、匀速直线运动
运动学方程 x x0 vxt
x0、vx为常量
x x0 vt (与 s vt 对比）
dx 速度（瞬时速度） vx 常量 dt ——匀速直线运动
质点初坐标：t 0, x x0
dvx ax 0 dt
d r ˆ 解：a 2 10k dt 2 a 10ms , 90, 0
2 2
即质点作a 10ms 的匀加速运动，加速度沿z轴。
质点运动学的基本问题
已知 r , v , a的一个方面，通过求导或积分， 求另外两个方面，
r( t )
r( t )
o
A
r
ΔS B
r ( t t )
表明：位移可由位置坐标的分量决定。
2、路程：质点沿运动轨迹走过的路径的总长度。
注意:
1 位移只跟始末位置有关，而路程跟运动轨迹有关。
只有t 0，或者单方向直线运动中，位移大小 才等于路程。
(2) | r |, | r |, r的含义与区别： r和|r | 都表 示位矢的大小， r | r |, 但 r | r |
注意：如果既有上升又有下降过程，要取定一个 方向为正方向，整个过程加速度一样。
四、宇宙年龄和大小的估计 测量重力加速度
例1 哈勃指出：河外星云远离我们，距离跟速率之间 的关系为v H 0 r ——哈勃定律；已知哈勃常数H 0， 估计宇宙年龄和大小。
解：根据哈勃定律可以估算宇宙年龄为： t0 r / v H 0 -1 1.2 1010 a 一切速度不得超过光速，假设宇宙膨胀速度为 光速，则大小不得超过 R ct0 1.2 1023 km
第二章 质点运动学
运动只能理解为物体的相对运动，在力 学中，一般讲到运动，总是意味着相对于 坐标系的运动。 ——爱因斯坦
运动学：
描述随时间的推移，物体空间位置的变动。
动力学：
描述相互物体间相互作用与运动的关系。
§2.1 质点的运动学方程
一、质点的位置矢量与运动学方程
1、质点：具有质量的点。
• 质点是一种理想模型；
dr ˆ 解：v 15 ˆ 10tk j dt j 1 t 0, v 15 ˆ, v 15m / s
方向： 90， 0， 90 ˆ 2 t 1, v 15 ˆ 10k , v 152 10 2 18.03m / s j 方向： 90， arccos vy v 3342 '
4、注意：
（1）平均速度的大小不等于平均速率。 （2）瞬时速度的大小等于瞬时速率。 （3）即使位置矢量的大小不变，也可以有速度。
ΔS
r( t )
r
S
dr / dt
ΔS
r ( t t )
r( t )
r
S
r ( t t )
o
o
例题1
ˆ 15t ˆ 5t 2k( m , s )，求t 0,1s时的速度 ˆ r 10i j
• 质点是力学中最基本、最简单的模型,它是把实 际物体看作只有质量而无大小形状的点；
• 能否把实际物体当作质点处理,视问题性质而定； • 理想化方法是科学研究的基本方法； • 物理学中的所有规律都是建立在一定的理想模 型基础上的。
2、质点的位置矢量（位矢）
由参考点引向质点所在位置的矢量。
z
P r
3、速度在直角坐标系中的分量表示：
dx dy dz vx , v y , vz dt dt dt
即：瞬时速度的投影等于位置坐标对时间 的一阶导数。
大小：v vx v y vz
2 2
2
vy vx vz 方向： , cos , cos cos v v v
2、匀变速直线运动
运动学方程 1 2 x x0 v0t axt ① x0、v0 x、ax为常量 2
dx 速度 vx v0 axt ② dt dvx 加速度 ax 常量 dt ——匀变速直线运动
初始条件：t 0, x x0，vx v0 x
速度、加速度、位移的关系： vx 2 v0 x 2 2ax ( x x0 )
§2.4 质点的直线运动 (ax
一、从速度到运动学方程和位移
vx x)
1、从速度到运动学方程 vx x x vx dt x t C C待定
vz arccos 5618' v
二、平均加速度与瞬时加速度
1、平均加速度：速度矢量对时间的平均变化率。
v v (t t ) v (t ) a t t
v( t )
v
速度矢端曲线 v ( t t )
o
Βιβλιοθήκη Baidu
2、瞬时加速度： 质点在t时刻的瞬时加速度等于t至t t时间内的平 均加速度当t 0时的极限。
考虑t1过程，h h v1t1 1 gt12 ② 2
再考虑由A落到O的过程：v22 v12 2gh 8h 由①,②, ③得: g 2 2 t2 t1
③
例3：威尔逊云雾室中带电粒子的运动学方程 x C1 C2et ，
试描述粒子在云室中的运动情况。（粒子进入云室开始计时）
§2.3 质点的直线运动 ( x vx
一、运动学方程 x x t
二、速度和加速度
dx 1、速度（瞬时速度） vx dt 大小表示质点在t时刻运动的快慢；
ax )
正负分别对应于质点沿Ox正向和负向运动。
dvx d 2 x 2、加速度 ax 2 dt dt ax与vx同号，则加速；ax与vx反号，则减速。
3、自由落体运动 t 0, y y 0
若取向下为正方向，则加速度为g 1 2 v gt， y y0 gt ， v 2 2 g ( y y0 ) 2
o y
若取向上为正方向，则加速度g - g
4、竖直上抛运动
若取向上为正方向，则加速度为-g v v0 gt , v 2 v0 2 2 gy 1 2 y y0 v0t gt 2
2 v dv d r a lim 2 t 0 t dt dt
即：质点的瞬时加速度等于速度矢量对时间的 变化率或一阶导数；也等于位置矢量对时 间的二阶导数。
单位：m / s 2
量纲：LT
－2
v( t )
v
dv / dt
速度矢端曲线 v ( t t )
解：
vx C2 e t ax vx
粒子做减速运动，且速度、加速度均按指数规律减小。
t 0时,初位置x0 C1 C2 , 初速度为v0 C2 , 加速度为a0 －C2 2 t ，x C1，v 0, a 0 表示粒子将无限接近于x C1处并且静止， 位移趋近于x x0 C2。
O
y
r OP
x
ˆ ˆ yj zk， r ( x, y, z ) ˆ r xi x, y, z称作质点的位置坐标。
位置矢量的大小：r x 2 y 2 z 2
位置矢量的方向： cos x / r， y / r， z / r , cos cos cos2 cos2 cos2 1
例2 真空管竖直放置，取其中O、A两点， OA h。在O点上抛小球，又落回O点 所用时间为t2，经过小球A点由落回A点 所用时间为t1。求重力加速度。
v1 A
v2
y
t1 h
O
t2
t
解：视小球为质点，以O点为原点建立竖直向上的坐标系Oy
竖直上抛运动学方程的一般形式, y y0 v0t 1 gt 2 2 考虑t2过程， 0 v2t2 1 gt22 ① 0 2
o
方向：沿速度矢端曲线的切线，且指与t增 加相对应的方向。
注意：①一般速度与加速度的方向并不在一条直线上
②即使速度的大小不变，也可以产生加速度
3、加速度在直角坐标系中的分量表示
dvx d x dvz d z d y ax 2 , ay 2 , az 2 dt dt dt dt dt dt
r dr 大小：v lim t 0 t dt dr ds t 0时， ＝ds dr dt dt 瞬时速度的大小等于瞬时速率。
dr / dt
ΔS
r( t )
r
S
r ( t t )
o
方向：沿轨迹在质点所在处的切线并指向 质点前进的方向。
即：瞬时加速度的投影等于位置坐标对时间 的二阶导数。
2
dv y
2
2
大小：a ax 2 a y 2 az 2
ay ax az 方向： cos , cos , cos , a a a
例题2
2ˆ ˆ r 10i 15t ˆ 5t k (m, s)，求加速度 a j
求导 积分
v( t )
求导
积分
a( t )
直线运动的基本概念和基本问题
r x
x( t )
求导 积分
v vx
vx ( t )
求导 积分
a ax
ax ( t )
注意： ①标量的绝对值就是矢量的大小，标量的正负表示矢量的 方向是与x轴同向还是反向 ②一维运动中只有一个分量，人们有时省去脚标，直接用 v,a 代替 vx, ax ,这时的v,a 是可正可负的代数量
o
路程 S 平均速率＝ ＝ 0 时间 t 是标量
2、瞬时速度 质点在t时刻的瞬时速度等于t至t t时间内 的平均速度当t 0时的极限。
r dr v lim t 0 t dt
即：质点的瞬时速度等于位置矢量对时间的 变化率或一阶导数。
单位：m / s
量纲：LT －1
例3：威尔逊云雾室中带电粒子的运动学方程 x C1 C2et ，
试描述粒子在云室中的运动情况。（粒子进入云室开始计时） 解：由运动学方程知粒子做直线运动,先求速度和加速度
dx d t de t d ( t ) vx C2 (e ) C2 C2 e t dt dt d ( t ) dt dvx d de t t ax (C2 e ) C2 C2 2e t vx dt dt dt