积分证明题教学内容

积分证明题

二、积分证明题

例1、设f （x ）在[0,π]上连续，⎰π0

0dx x f ＝）（，⎰π

0cosx dx x f ＝）（，求证存

在()()0f f 00212121=≠∈∈）

（）＝（，使，，，，ξξξξπξπξ 证：令F （x ）＝），（）（π≤≤⎰x 0dt t f x

则F(0)＝0，F(π)＝0，

又0＝⎰

π

cosx dx x f ）（＝⎰ππ0

0cosx x x cosx d ）（）＝（F F ＋⎰π

sinx

dx x ）（F ＝⎰

π

sinx dx x ）（F

如果F(x)sinx 在（0,π）内恒为正，恒为负 则⎰π0

sinx dx x ）（F 也为正或为负，与上面结果矛盾，故存在()πξ，0∈使()0sin ＝ξξF ，而sin 0≠ξ，所以F （ξ）＝0 于是在[][]πξξ，和，0区间上分别用罗尔定理，则存在()ξξ，01∈使

()0f 11＝）＝（ξξF '，存在()()()222f ξξπξξF '∈＝，使，＝0，其中21ξξ≠

例2、设）（x f 在[0,1]上有连续的一阶导数，且f （0）＝f （1）＝0，试证：

10

f x dx 4

M

≤

⎰

（），其中M ＝()x f max 1x 0'≤≤

证：用拉格朗日中值定理

f （x ）＝f （x ）－f （0）＝()x f 1ξ'，其中()x 01，∈ξ

f （x ）＝f （x ）－f （1）=()()1x f 2－ξ',其中()1x 2，

∈ξ 由 题设可知）（x f ()x x f 1M ≤'≤ξ; 又）（x f ()()()x 1x 1f 2－－M ≤'≤ξ

因此()⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡≤1

21

1

21121210

dx x 1dx x dx x f dx x f dx x f －＋）（＋）（＝）

（M

＝M ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡8181＋＝4M

例3．设f （x ），g （x ）在[]b a ，上连续，证明

()()dx x g dx x f dx x g x f b a 2b a 22

b a ⎰⎰⎰≤⎥⎦

⎤⎢⎣⎡）（）（

证一：（引入参数法）

设t 为实参数， 则[]b

2

a f x tg x dx 0≥⎰（）＋（）

2b a 2t dx x g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰）（＋2t dx x g x f b a ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎰）（）（ ＋()0dx x f b

a

2≥⎰

作为t 的一元二次不等式 A 2t ＋2Bt ＋C 0≥，则2B －AC ≤0

即AC B ≤2

,因此()()⎰⎰⎰≤⎥⎦

⎤⎢⎣⎡b

a 2

b a 22

b a dx x g dx x f dx x g x f ）（）（

证二：（引入变上限积分）

令F （u ）＝()()2

22f x g x dx f x dx g x dx u u u a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

⎰⎰⎰（）（）－

于是()u F '＝2f （u ）g （u ）()()()2222

()()f u g x dx g u f x dx u

u

a

a

f x

g x dx -⎰⎰⎰u

a

（）－

＝()()()u

2222a

2f u g u f x g x f u g x g u f x dx ⎡⎤⎣⎦⎰（）（）（）（）－（）－

＝[]2

f u

g x g u f x 0u

a

dx -≤⎰（）（）－（）（） ()a u ≥

则 F （u ）在[]b a ,上单调不增 故，）＝（时，0a )b (F F a b ≤≥

即()()0dx x g dx x f dx x g x f b

a 2

b a 22

b a ≤⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰－）（）（ 证三： （化为二重积分处理）

令 I ＝()dx x g dx x f b

a b

a 2

2

⎰⎰）（ ， 则I ＝()()()dxdy y g x f

D

⎰⎰⎰⎰=22

b

a b

a

22

dy y g dx x f ）（，

其中区域D ：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤b y a b x a ，同理 I ＝()()dxdy x g y f D

22⎰⎰

∴ 2I ＝()()()()[

]d xdy x g y f y g x f

D

⎰⎰+2222

ab b a 222≥+，故2I ()()()()[]dxdy x g y f y g x f D

⎰⎰≥2

因此，I ＝()dx x g dx x f b a

b a

2

2

⎰⎰）（()()()()()()2

a ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=≥⎰⎰

⎰b a b

a

b dx x g x f dy y g y f dx x g x f 例4．设f （x ）在[]b a ，上连续，证明()()()dx x f

a b dx x f b

a b ⎰⎰-≤⎥⎦

⎤⎢⎣⎡2

2

a

证：在例3中，令g （x ）＝1，则()a b dx x g -=⎰b

a

2

于是()2a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰b dx x f ＝()()()()()()dx x f

a b dx x g dx x f dx x g x f b

a

b a b

a b a ⎰⎰⎰⎰-=≤⎥⎦

⎤⎢⎣⎡2

22

2

例5．设()x f 0在[]b a ，上连续，且()x f 0>0，证明()()

()2

001

a b dx x f dx x f b

a

b

a

-≥⎰

⎰

证：在例3柯西不等式中，取f(x)为()x 0f ，g(x)为

()

x f 01

则()()dx x f dx x f

b a b

a

⎰⎰

=02

，()()

dx x f dx x g b

a

b a ⎰⎰=021

，

而()()()()()22

002

1a b dx x f x f dx x g x f b

a b

a

-=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡⋅

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰ 因此()()()dx x f dx x f a b b

a

b

a

⎰

⎰≤-002

1

例6、设()x f 0在[]b a ，上具有连续导数，且()a f 0＝()b f 0 ＝0，()120=⎰dx x f b

a ，

求证：()()4120220≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰⎰b a b a dx x f x dx x f 证：在例3柯西不等式中取f(x)为()x f '

0，g （x ）为x ()x f 0

于是()()()()20020220⎥⎦⎤⎢⎣⎡'≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰⎰⎰b a b a b a dx x f x xf dx x f x dx x f =()2

2021

⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰b

a

x xdf =()2

22

001()22b

b a a x f x f x dx ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰=41212=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-

一、有关变上（下）限积分