几何证明的辅助线添加方法(一)

M B
2
A
1
E
3 F D C
∴BM＝BF ∴BF＝ AC.
3．已知：如图，△ ABC 中，延长 AC 边上的中线 BE 到 G 使得 EG＝BE， 延长 AB 边上的中线 CD 到 F 使得 DF＝CD，连结 AF、 AG. （1）补全图形； （2） AF 与 AG 的大小关系如何？证明你的结论； （3）点 F、 A、G 三点的位置关系如何？
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∴△ ABC≌△DEF(SSS)
5．已知：如图△ABC 中，D 是 BC 边中点，E、F 分别 是 AB、 AC 上的点且 ED⊥ DF. 求证：BE＋CF>EF.
E B D C A F
证明与提示：延长 ED 到 M 连结 CM、 FM， 易证△BDE≌△CDM(SAS) ∴BE＝ CM ∵ED＝ DM， ED⊥DF ∴ FE=FM ∵在△CFM 中，CM+CF>FM ∴BE＋CF>EF.
A
D
B M
C
E
N
F
A
D
B
M
C
E
N
F
P
Q
答案与提示：作倍长中线，易证：△ACM≌△PBM，∴ AC＝ PB 同理：DF=EQ， ∵ AC＝DF∴ BP＝EQ 又有 AP=2AM，DQ=2DN，∵ AM=DN∴ AP=DQ ∴△ ABP≌△DEQ(SSS)，∴BM=EN ∴BC=EF ∵ AB=DE AC=DF
解答与提示： （1） 延长 AD 到 E，使得 DE＝ AD，连结 BE， 易证：△ACD≌△EBD（SAS） ． ∴ AC=BE=3 在△ ABE中， AB－ BE<AE<AB＋BE ∴5－3<2AD<5＋3， ∴1<AD<4
E B D C A
ex：答案： 由（1） ，易求得： 1<AC<11.
几何证明的辅助线添加方法 （一）
主讲教师： 龚剑钧
倍长中线 一．两个基本图形
A
A
B D C
F E B D C
E
二．例题分析 1．已知：△ ABC 中， AB＝5， AC＝ 3， AD 是中线， 求 AD 的取值范围.
A
B
C D
Ex：△ ABC 中， AD 是中线，AB＝5， AD＝3，求 AC 的取值范围.
A
A
求四边形 PDCE 的面积。
E C D
B C D E P
B
1． C 2。①②③⑤ 3。B 4。30a
5。D
6．提示：延长 AB 到 M，使得 BM=CF，连结 DM，易证： △DBM≌△DCF 得到∠EDM=600=∠EDF， 从而证△DME≌△DFE∴ EF=EM=BE＋ CF 7． C 8。6
∵∠ ABC＋∠ ACB＋∠BAC＝1800 ∴∠1＋∠BAC＋∠2=1800 ∴F、 A、G 共线 .
4．已知：如图，△ ABC 和△DEF 中， AM、DN 是中线 且 AB＝ DE， AC＝DF， AM＝ DN. 求证：△ ABC≌△DEF. （有两边及第三边上中线对应相等的两个三角形全等）
巩固练习: 1．如图，已知 MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列添加的条件中， 哪一个不能用于判定△ABM≌△CDN 的是 ( )
A C M N B D
A．∠M=∠N; B．AB=CD; C．AM=CN; D．AM∥CN 2．如图：已知△ ABC 中， AB AC ，∠BAC 90 ， 直角∠ EPF 的顶点 P 是 BC 中点，两边 PE ， PF 分别 交 AB ， AC 于点 E ， F ，给出以下五个结论：
)
1 < AB < 29
4 < AB < 19
8．如图 ABC 中, AD 是 BC 上的中线, BE 是 ABD 中 AD 边上的中线, 若 ABC 的面积是 24, 则 ABE 的面积是________。 9． 如图 , 三角形 ABC 的面积为 1, BD:DC=2:1,E 是 AC 的中点, AD 与 BE 相交于点 P,
DC = DB,
∠ BDC = 120 , 求证 :
E、 F 分别为 AB、AC 上的点 , ∠ EDF =60 .
A
EF = BE + CF .
E F B D C
7．△ABC 中, A.
AC = 5, 中线 AD = 7, 则 AB 边的取值范围是 ( B. 4 < AB < 24 C. 9 < AB < 19 D.
第1题
A E F B P 第 14 题 图 C
① AE CF ②∠APE ∠CPF ③ △EPF 是等腰直角三角形 ④ EF AP ⑤ S四边形AEPF S△ ABC ． 当∠ EPF 在△ ABC 内绕顶点 P 旋转时（点 E 不与 A ， B 重合） ， 上述结论中始终正确的序号有______________．①②③⑤
1 2
3．如图，已知∠1 ∠2 ， AC AD ，增加下列条件： ① AB AE ；② BC ED ；③∠C ∠D ；④∠B ∠E ． 其中能使 △ ABC ≌△ AED 的条件有（ Ａ． 4 个 Ｂ． 3 个 ） Ｄ．1 个
（第 3 题图）
Ｃ． 2 个
4．右图是由 9 个等边三角形拼成的六边形， 若已知中间的小等边三角形的边长是 a， 则六边形的周长是 .
B D F C A E
答案与提示： （1）如图； （2） AF=AG
A F D
1 2
G E
B
C
证明：∵ AE=CE,EG=BE,∠ AEG＝∠CEB ∴△ ACD≌△MBD（SAS） ∴ AG＝BC ∴ AF＝ AG. （3）F、 A、G 共线 . ∴∠2∠＝ ACB 由（2）知：△ACD≌△ MBD 同理：∠1＝∠ABC 同理： AF＝BC
5．如图， Rt△ ABC 沿直角边 BC 所在的直线向右平移 得到 △DEF ，下列结论中错误的是（ Ａ． △ ABC ≌△DEF Ｃ． AC DF Ｂ． DEF 90 Ｄ． EC CF
B E C 第5题 F
）
A
D
6．△ ABC 中 ,
AB = AC = BC,
△ DCB 中 ,
7 (提示：连结 CP，设 S△CPE＝ x， 30 1 x 3 y 2 ∴x y 7 ) S△CDP ＝ y，得 1 30 2 x y 3
9。
B C F A D E
7．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等， 那么在什么情况下，它们会全等？ (1) 阅读与证明： 对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等 (证明略 ) 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下： 已知：△ ABC、△ A1B1C1 均为锐角三角形，AB= A1B1 ，BC= B1C1 ，∠C=∠ C1 ， 证明：△ ABC≌△ A1B1C1 .(请你将下列证明过程补充完整)
B E D M C A F
6．已知：如图，梯形 ABCD 中， AD//BC， E 为 CD 中点且 AE⊥ BE，
A
求证： AB＝ AD+BC.
D E
B
C
证明与提示：延长 AE、 BC 交于点 F， ∵ AD//BC∴∠ D=∠ FCE ∠ DAE=∠ F ∵ ED=EC ∴△ ADE≌△ FCE ∴ AE＝ EF AD＝ CF ∵ BE⊥ AF ∴ BA＝ BF ∴ AB＝ AD+BC.
2．已知：如图，△ ABC 中，D 是 BC 中点，E 是 AC 上一点， 连结 BE 交 AD 于 F， 若 AE＝ EF， 求证： AC＝BF.
F B D C A E
Ex：上题中，若 AC＝ BF，其它条件不变， 求证： AE＝EF. 证明同理（略）
证明与提示：延长 AD 到 M，使得 DM＝ AD，连结 BM， 由（1）知，易证：△ ACD≌△MBD（SAS） ∴ AC＝BM∠M＝∠1 ∵ AE＝EF ∴∠1＝∠2 ∵∠2＝∠3 ∴∠M＝∠3
证明：分别过点 B、 B1 ，作 BD⊥ CA 于 D， B1D1 C1A1 于 D1 ， 则∠ BDC= B1D1C1 = 90º，∵BC= B1C1 ，∠C=∠ C1 ∴△ BCD≌△ B1C1D1 ∴BD= B1D1
（ 2）归纳与叙述：由 (1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论。
解： （1）又∵AB＝A1B1，∠ADB＝∠A1D1B1＝90° ∴△ADB≌△A1D1B1 ∠A＝∠A1， 又∵∠C＝∠C1，BC＝B1C1。 ∴△ABC≌△A1B1C1。 (2）若△ABC 与△A1B1C1 均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形， AB=A1B1，BC=B1Cl，∠C=∠Cl．则△ABC≌△A1B1C1．