清华大学微积分课件(全)x57

应该如何计算？ 应该如何计算？
∫∫∫ z dxdydz = ∫∫ dxdy ∫ Ω
2 x + y ≤2
2 2
2
1
z dz
2
这样做对吗？ 为什麽？ 应该如何计算？ 这样做对吗？ 为什麽？ 应该如何计算？
∫∫∫ z dxdydz = ∫∫ dxdy ∫ Ω
2 x + y ≤1
2 2
2
1
z dz
2 x2 + y
2012-4-2 10
3 2
I = =
∫∫
D*
2x + y x x
3 2
J dudv 2x dudv 2x + y
2 2 −
3 2
∫∫
D*
2x + y
3 2
= 2 ∫∫ dudv = 2 ∫
D*
du ∫
12
4
dv
= 32
2012-4-2
2
11
二、三重积分的计算
三重积分
f ( x, y, z)dV ∫∫∫
( 3)
∂ ( x , y) * J ( u, v ) = det ≠ 0 (∀( u, v ) ∈ D ) ∂( u, v )
则有换元公式
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f [x(u, v), y(u, v)] ⋅ J dudv
2012-4-2
D
D*
3
例如直角坐标与极坐标
之间的变换
x = r cos θ ,
使满足条件 * (1) 将 O − uvw 空间中的区域 Ω 一一对应地
变到 O − xyz 空间中的区域 Ω
( 2)变换函数在 Ω 上有连续的一阶偏导数
*
2012-4-2 19
∂ ( x , y, z ) ( 3 )雅可比行列式 : det ≠0 ∂ ( u, v , w )
∀ ( u, v , w ) ∈ Ω *
x + y = 4和 x + y = 12 是直线族 x + y = v 中对应的 v = 4和 v = 12 两条直线
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当 − 2 ≤ u ≤ 2 ,4 ≤ v ≤ 12时, y 曲线族 = u中的曲线和直线族 x x + y = v中的直线的交点添满了 整个区域 D , 故可引入变换 y = u x x + y = v
π x , x + z = 围成的空间区域。 围成的空间区域。 2
π 2
•
x
[解]
=
= =
∫∫∫ Ω
y cos( x + z ) dxdydz
∫∫
D xy π 2 0
dσ
∫
π
2
z
−x
0
y cos( x + z ) dz
π 2
π x+z = 2
∫
dx ∫
0
y ( 1 − sin x ) dy
Dxy•
y
2
+
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dxdy ∫ ∫∫
1≤ x 2 + y 2 ≤ 2
z 2 dz 2
18
(二) 三重积分的变量替换 二
定理： 定理：设函数 f ( x , y , z )在有界闭域 Ω 上连续 , 作变换
x = x ( u, v, w) * y = y( u, v, w) ( u, v , w) ∈ Ω z = z ( u, v, w)
∂( x, y, z) J = det = sinθ ∂(r,θ , z) 0
cosθ
− r sinθ 0 r cosθ 0 = r 0 1
体积微元: dV = rdrdθdz
∫∫∫ Ω
Ω*
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f ( x , y , z ) dxdydz
= ∫∫∫ f ( r cos θ , r sin θ , z ) rdrd θ dz
作业
P114 习题 3 P124 习题 4 2. 4. 1. 2. 3.
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1
第十一讲
一、二重积分的变量替换 二、三重积分的计算
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2
一、 二重积分的变量替换
定理 : 设 f ( x , y ) ∈ C( D ), 作变换 x = x ( u, v ), y = y ( u, v ) 满足 (1) 把 uv 平面上的区域 D *一一对应地变到 xy 平面上的区域 D 1 * ( 2 ) x ( u, v ), y( u, v ) ∈ C ( D )
2 2 D
x y + 2 ≤ 1 ( a > 0, b > 0 ) 2 a b
[解] 由于积分区域是椭圆 , 可作变换 解
2
2
x = ar cos θ ,
则 D变成 D 变成
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y = br sin θ
*
0 ≤ r ≤ 1 : 0 ≤ θ ≤ 2π
5
∂( x, y) a cosθ J = det = ∂( r, θ ) b sinθ 于是
1 3 2 3 a − r rdr = a ∫0 (1 − sin θ ) dθ 3
2
1 π 2 3 = ( − ) a 所以 V = 4V1 = 4 (π − 2)a3 3 2 3 3 2 327 2012-4-2
则
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz Ω
= ∫∫∫ f [ x( u, v , w ), y( u, v , w ), z( u, v , w )] ⋅ J dudvdw
Ω′
∂( x, y, z ) 其中, J = det ∂ ( u, v , w )
20
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(三) 柱坐标系下三重积分的计算 三 z
22
如果包围积分区域 Ω的上、下曲面可用 的上、 柱坐标表示为
z = z1 ( r , θ ),
z = z2 ( r , θ )
Ω在 xy平面上的投影区域为 Dxy , 则三重积分
可以化为累次积分
∫∫∫ Ω
Dxy
f ( x , y , z ) dxdydz
z2 ( r ,θ ) z1 ( r ,θ )
f ( x , y, z ) ∈ R ( Ω )
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o
x
• z = z1 ( x, y)
( x,•y) Dxy
13
y
则有
∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz Ω
= ∫∫ dσ ∫
Dxy z2 ( x, y) z1 ( x, y)
先 一 后 二
f ( x, y, z)dz
进而有
∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz Ω
∫
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π 2 0
1 1 π x ( 1 − sin x ) dx = − 2 16 2
x x
16
[ 例 2 ]计算
2
∫∫∫ Ω
2
z dxdydz , 其中 Ω 是由曲面
2
z = x + y , 平面 z = 1及 z = 2所围成的空间
z
区域 . [解] Dz : x2 + y2 ≤ z 解
2 2 2 2 2
− ar sinθ = abr br cosθ
2
I = ∫∫ ( a r cos θ +b r sin θ )abrdrdθ
D*
= ∫ ( a cos θ + b sin θ )dθ ∫ abr dr
2 2 2 2 3 0 0
2π
1
=
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π ab
4
(a + b )
2 2
Ω
= lim ∑ f (ξi , ηi , ζ i ) ⋅ ∆Vi
λ→0
i=1
n
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12
（一）直角坐标系下的计算
f ( x, y, z)dV =∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz ∫∫∫
Ω Ω
z
(1 ) Ω ⊆ R
3
z = z2( x, y) •
Ω
有界闭域
z1 ( x , y ) ≤ z ≤ z 2 ( x , y ) Ω : ( x , y ) ∈ D xy
6
[例2] 计算 I =
2
∫∫
D
2x + y x
3 2
dxdy , 其中 D 是
抛物线 y = 2 x 和直线 x + y = 4 , x + y = 12所围成的
[ 分析 ] :
D
如何选取 变换函数？ 变换函数？
7
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D 的边界 y =
2 x和
D
y = − 2 x 是曲线族
y = u 中对应的 x u = 2 和 u = − 2两条曲线
2
∫∫∫ z dxdydz =
2
Ω
∫
2 1
dz ∫∫ z dxdy
2 Dz
2 1
1
•z
Dz
y
= ∫ z dz∫∫ dxdy = ∫ z 2π ( z )2 dz 1
2 Dz
2
o
x
17
=π∫
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2 1
15 z dz = π 4
3
问题: 本例题若“先一后二” 问题: 本例题若“先一后二”且先对 z积分 , ,
2π
D xy
4−r2 r2 3
0 ≤ θ ≤ 2π : 0 ≤ r ≤ 3
∫
0
dθ
∫
3
0
dr
∫
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13 zrdz = π 4
25
[ 例 4 ] 求球体 x + y + z ≤ a 被圆
2 2 2 2
柱面 x + y = ax 所截出的那一
2 2
部分体积
[解] 解
V .
z
z = a −r
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o
x
3 2
z = 0
1 2 2 z1 = ( x + y ) 3
24
用什麽坐标系计算较好 ？
柱坐标系
的下、 积分区域 Ω 的下、上曲面的柱坐标 2 r 2 方程分别是 z1 = , z2 = 4 − r 3 Ω 在 xoy 平面投影区域 D xy 为
∫∫∫ Ω
=
zdxdydz
23
[例3] 求三重积分
Ω 是由上半球面 x + y + z = 4 ( z ≥ 0 )和
2 2 2
∫∫∫ zdxdydz , 其中 Ω
旋转抛物面 x 2 + y 2 = 3 z所围成
z
y
[解] 积分区域 Ω 的下、上 解 的下、
曲面分别是 1 2 2 2 2 z1 = ( x + y ), z2 = 4 − x − y 3 其交线在 xoy 平面上的投影 x 2 + y2 = 3 曲线为： 曲线为：
r1 (θ ) ≤ r ≤ r2 (θ ) Dxy : α ≤θ ≤ β
= ∫∫ rdrdθ ∫
f (r cosθ , r sinθ , z)dz
z2 ( r ,θ)
= ∫ dθ∫
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β
r2 ( θ)
α
r1 ( θ)
rdr ∫
z1 ( r ,θ)
f (r cos θ, r sinθ, z)dz
d
z
c x
Dz
y
先 二 后 一
15
∀z ∈[c, d ], f ( x, y, z) ∈ R( Dz ) o
则有
f ( x, y, z)dxdydz ∫∫∫
Ω
= ∫ dz∫∫ f ( x, y, z)dσ
c
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d
Dz
[ 例 1 ]计算
z = 0, y = 0, y =
∫∫∫ Ω
y cos( x + z ) dV , 其中 Ω 是由
y = r sin θ
− r sinθ =r r cosθ
∂( x, y) cosθ J = det = ∂( r , θ ) sinθ
于是有
∫∫
D
f ( x, y)dσ
= ∫∫ f (r cosθ , r sinθ )rdrdθ
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D*
4
[例1] 计算 I = ∫∫ ( x + y )dxdy , 其中 D是
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y = u [解] 作变换： 解 作变换： x x + y = v
− 2 ≤ u ≤ 2 D : 4 ≤ v ≤ 12
*
1 2x ∂ ( x, y) J = det = =− ∂ ( u,v ) ∂ ( u, v ) det ∂ ( x , y ) 2x + y
= ∫ dx∫
a
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b
y2 ( x )
y1 ( x )
dy∫
z2 ( x, y )
z1 ( x, y )
f ( x, y, z)dz
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( 2 ) Ω ⊆ R 有界闭域 ( x , y ) ∈ Dz Ω : c ≤ z ≤ d f ( x , y, z ) ∈ R ( Ω )
3
z
z
当 M 取遍空间一切点时
•M(r, θ , z)
0 ≤ r < +∞
o x
θ
r
y
• P
− ∞ < z < +∞
三组坐标面： 三组坐标面： r = 常数 , 圆柱面
θ = 常数 , 半平面 z = 常数 , 平面 21
0 ≤ θ ≤ 2π
直角坐标与柱坐标的关 系
x = r cos θ y = r sin θ 2012-4-2 z = z
2
2
由对称性 只需计算 第一挂限 的体积 V 1
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o
x
y
r = acosθ
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V1 = ∫∫∫ dV
Ω
利用柱坐标计算
V1 = ∫∫∫ dV = ∫∫∫ rd θ drdz
= =
∫
π
2 0
Ω
Ω*
dθ ∫
a cos θ 0
rdr ∫
2
a2 −r 2
0
dz
π
∫
π
2wk.baidu.com0
dθ ∫
a cos θ 0