理论力学第六章刚体的简单运动

荡木用两条等长的钢索
平行吊起，如图所示。钢索
长为长l，度单位为m。当荡
O2
木摆动时钢索的摆动规律
M
l B
为 时
0 sin
间，单位为s
π t，其中 t 为 ；4 转角φ0的单
位为rad，试求当t=0和t=2 s时，
荡木的中点M的速度和加速
度。
O1 φl
O
（+）
A
O2
解：
l
B M
A点的运动方程为
s 0l sin
πt 4
将上式对时间求导，得A点的速度
vddst π 4l0coπ 4st
再求一次导，得A点的切向加速度
at ddvt 1π62l0sin
πt 4
A点的法向加速度
an
v2 l
1π62l02cos2
πt 4
O1 φl
A O
（+）
O2 l
M
B
代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在 这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：
A
1
B
0
M
0
O1
2O
O2
运动分析 AB杆作平动
vA
A
vN
1N
B
0 vM
O1 aA
M aN aM 2O
0
O2
１、齿轮传动
§6-４ 轮系的传动比
① 啮合条件
R 1 1vAvBR 2 2
② 传动比
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
２、带轮传动
r 11 v A v A v B v B r 22
方向如图示。 R0.5m, r0.3m 求：
①滑轮3s内的转数； ②重物B在3s内的行程；
③重物B在ｔ＝3s时的速度；
④滑轮边上C点在初瞬时的加速度；
⑤滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度。
例3：O1A=O2B=2r，0为常量，齿轮1固结在直杆 AB上，
带动齿轮2绕O轴转动，两齿轮的半径均为r，且 O1O2=AB，求：轮1和轮2轮缘上任一点的加速度。
t (s) φ(rad) 00 2 φ0
v (m·s－1)
at (m·s－
2)
π 4
（水平向右）
0
0
0
π 16
0l
an (m·s－2)
π2 16
2 0
（l 铅直向上）
0
§6-2 刚体绕定轴的转动
1、定义
刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称 为刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。
转轴 ：两点连线
该点到轴线的垂直距离成正比，方向与半径间的夹角 都相同。
Baidu Nhomakorabea
思考1：试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的
速度和加速度。(O 1 A O 2 B O 1 O 2 A)B
aN
vN aM vM
思考2：试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的
速度和加速度。(O 1 A O 2 B O 1 O 2 A)B
aMt
aMn
vM
M O αω
A
滑轮的半径r=0.2 m，可绕 水平轴O转动，轮缘上缠有不可 伸长的细绳，绳的一端挂有物体 A（如图），已知滑轮绕轴O的
转动规律=0.15t3 ，其中t以s计， 以rad计，试求t=2 s时轮缘上M
点和物体A的速度和加速度。
解：
首先根据滑轮的转动规律，求得
它的角速度和角加速度
第六章
刚体的简单运动
§6-１刚体的平行移动
1、定义
刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始 位置，这种运动称为平行移动，简称平移。
2、运动方程
r rr rBrArAB
3、速度和加速度分布
r
因为
d rA B 0
dt
rr
所以
vrBddrtB
drA dt
r vA
刚体平移→点的运动
arBddvrtB
i1 2
1 2
r2 r1
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
Ⅲ
n1
减速箱由四个齿轮构 成，如图所示。齿轮Ⅱ和Ⅲ 安装在同一轴上，与轴一起 转动。各齿轮的齿数分别为 z1=36 ， z2=112 ， z3=32 和 z4=128 ，如主动轴Ⅰ的转速 n1=1 450 r﹒min－1，试求从 动轮Ⅳ的转速n4。
解：用n1， n2 ， n3和n4分别表示各齿
s R 2、速度
vs& R& R
速度分布图
结论: 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分 别与这些
点到转轴的距离成正比。
3、加速度
加速度分布图
at
dv dt
sR
an
v2
1R2
R
R2
结论:
a at2an 2R24
tan
at an
2
在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度 a 的大小与
最后，求得从动轮Ⅳ的转速为
n4
n1 1 i14
17rmi－ n1
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度
1、角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
r
大 小 r 作 用 线 沿 轴 线
d
dt 滑动矢量
指 向 右 手 螺 旋 规 则
r
r
k
角加速度矢量
r dr dkrkr
dt dt
2、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
r dvA
dt
arA
二、刚体平动的特征
1、其上任一直线 始终平行于它的初始位置； 2、任一点的轨迹 可能是直线也可是曲线； 3、 平动时各点轨迹形状 相同，且彼此平行； 4、在任一瞬时各点的速度矢量,加速度矢量 都相同。
平动刚体的运动可以简化为 一个点的运动。
例 题 6- 1
O1 l A
O
（+）
vM
M
0.45t2 0.9t
O αω
代入 t =2 s， 得
1.8rads－ 1, 1.8rasd － 2
轮缘上 M 点上在 t =2 s 时的速度为
A
vMr0.36 m s－ 1
vM at
aM M
O an
αω
加速度的两个分量
at r0.36m s－ 2
a nr2 0 .64 m 8 s－ 2
轮的转速，且有
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
Ⅲ
n1
n2 n3
应用齿轮的传动比公式，得
i12
n1 n2
z2 z1
,
i34
n3 n4
z4 z3
将两式相乘，得
因为n2= n3，于是从动轮Ⅰ到齿轮Ⅳ的传动比为
i14nn14
z2z4 z1z3
12.4
n1n3 z2z4 n2n4 z1z3
由图可见，从动轮Ⅳ和主动轮Ⅰ的转向相同。
转角： 单位:弧度(rad)
2、运动方程
ft
3、角速度和角加速度
角速度
d
dt
大小：ddt
方向：逆时针为正
角加速度
ddt dd2t2 && &
n与 的关系为:
2πn πn
60 30
匀速转动 匀变速转动
d 0
dt
0 t
d cont
dt
0 t
0
0t
1t2
2
§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度 1、点的运动方程
总加速度 aM 的大小和方向
aMat2an20.74m 1 s－ 2
A
tan 0.55,6 2
29
vM at
a
M
O an
αω
A
vA aA
vAvM0.36 m s－ 1 aAat 0.36 m s－ 2
它们的方向铅直向下。
〔例〕已知：重物A的 aA1m/2（s 常数）初瞬时速度 v01.5m/s