茆诗松《概率论与数理统计教程》课件讲义
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点估计常用方法：矩估计法、极大似然估计法。
1. 无偏性
E(x) ;
E( p)
2. 一致性
lim P x 1; n
3. 有效性
ˆ1 ˆ
lim P p 1 n
总体参数的区间估计就是依照一 定的概率保证程度，用样本估计值估计 总体参数取值范围的方法。
参数估计的精度通常是指抽样误差 的大小。抽样误差越大，参数估计的精 度就越低；抽样误差越小，参数估计的 精度就越高。参数估计的精度必须通过 计算抽样误差才能反映。我们采用抽样 平均误差，即所有抽样估计值的标准差 作为参数估计的抽样误差大小的尺度。
M
(x )2
i 1
M
Up
M
(p )2
i 1
M
大数法则（大数定律）
lim P ( 1
n
n
n
Xi
i 1
) 1
大数法则从数量关系角度阐明了
样本和总体之间的内在联系，证明了随着
抽样容量n的增加，能够以接近1的概率期
望抽样平均数与总体平均数的偏差为任意
小。
1. 按照一定的抽样方式抽取适当的样本进 行调查，针对该种抽样方式选择总体参数的最优样本 估计量，计算估计值，以此作为总体参数的点估计；
1. 根据样本资料对总体的数量特征作出具有一 定可靠性的估计和推断
2. 按照随机性原则从全部总体中抽取样本单位
3. 抽样推断必然会产生抽样误差
1. 某些现象不可能进行全面调查，为了解其全面资料 就必须采用抽样推断方法
2. 某些理论上可以进行全面调查的现象，采用抽样推 断可以达到事半功倍的效果
3. 抽样推断可以对全面调查的结果进行评价和修正
不重复抽样又叫无放还抽样或不重 置抽样。它是每抽出一个样本单位后，把 结果记录下来，该单位就不再放回到总体 中去参加以后的抽选。在不重复抽样过程 中，总体单位数逐渐减少，并且每个单位 至多只有一次被抽中的可能性。
用样本指标来代表总体指标时就会产生一定 的误差，这种误差是抽样推断方法本身所固有的，所 以叫抽样误差，属于代表性误差。
二、参数估计的误差范围与概率度 三、总体参数的区间估计
一、简单随机抽样 二、分层抽样 三、系统抽样 四、整群抽样
一、平均数的必要样本容量 二、成数的必要样本容量 三、影响必要样本容量的因素
抽样推断方法与其它统计调查方法相比， 具有省时、省力、快捷的特点，能以较小 的代价及时获得总体的有关信息。
一、抽样推断的特点和作用 二、重复抽样与不重复抽样 三、抽样误差与抽样平均误差 四、抽样推断的理论基础 （大数法则、中心极限定理） 五、参数估计的基本步骤
一、总体参数的点估计 二、点估计量的优良标准
一、参数估计的精度与抽样平均误差计算
1. 抽样平均数的抽样平均误差 2. 抽样成数的抽样平均误差
方法：抽签法、随机数表法（计算机产生）
分层抽样，即类型抽样，它先将 总体各单位按某一有关标志分成若干个类 型组，然后按照一定比例再从各类型组中 随机抽取样本单位。采用这种方法可提高 样本的代表性，减少抽样误差。对于那些 总体情况复杂、各单位之间差异较大、单 位数量较多的抽样调查问题，一般都可以 采用分层抽样的方法进行抽样调查。
抽样误差主要包括样本平均数与总体平均数 的差数，样本成数与总体成数的差数。抽样误差愈小， 表示样本的代表性愈高；反之，代表性就愈低。
抽样误差的大小决定于以下几个因素： 1. 样本容量n的多少。 2. 总体被研究标志的变异程度。 3. 抽样方法的选择。
抽样平均误差就是抽样平均数或 成数的标准差。
Ux
一、抽样推断的基本概念与原理 二、参数估计中的点估计 三、参数估计中的区间估计 四、抽样组织方式及其参数估计 五、必要样本容量的确定
4. 抽样推断可用于工业生产过程中的质量控制
5. 利用抽样推断的原理，可以对某些总体的假设进行 检验，来判断假设的真伪，为决策提供依据
重复抽样又叫有放还抽样或重置抽 样。它是每抽出一个样本单位后，把结 果记录下来，随即将该单位放回到总体 中去，使它和其余的单位在下一次抽选 中具有同等被抽中的机会。在重复抽样 过程中，总体单位数始终保持不变，并 且同一个单位有多次被抽中的可能性。
用样本估计值与总体参数的最大绝对误差限
来表达。统计上称这一误差限为抽样极限误
差或抽样允许误差。
x
x
x
p p p
抽样极限误差的实际意义就是希望总体平均
数落在抽样平均数 x 的范围之内；总体成 x
数落在抽样成数 pp 的范围之内。
源自文库
例题3
开头例题
简单随机抽样又叫纯随机 抽样，是最简单、最普遍的抽样组织 方法。它是按照随机性原则直接从总 体的全部单位中，抽取若干个单位作 为样本单位，保证总体中每个单位在 抽选中都有同等被抽中的机会。
重复抽样：
ux
2
nn
不重复抽样：
ux
2 N n
n N 1
例题1
u 2 1 n
x
n N
重复抽样：
up
1
n
不重复抽样：
up
1
n
N N
n 1
up
1 1 n
n N
例题2
抽样误差范围是指变动的样本估计值与
确定的总体参数之间离差的可能范围，它可
例题4
系统抽样又叫等距抽样或机械抽 样。它是先把总体所有单位按某一标志排 队，并根据总体单位数与样本单位数的比 例计算出抽样距离和间隔，随机确定一个 起始点作为第一个样本单位，以后每隔相 等的距离和间隔抽取样本单位。
2. 根据该种抽样方式的抽样平均误差公式计 算出抽样误差，我们往往要先计算样本标准差以替代 未知的总体标准差；
3. 根据所要求的置信水平，查正态分布表、 t分布表或其他分布表获得对应的概率度，然后再计 算出抽样极限误差，最后对总体参数作出区间推断。
点估计，也称定值估计，就是以样本估计 量直接代替总体参数的一种推断方法。
1. 无偏性
E(x) ;
E( p)
2. 一致性
lim P x 1; n
3. 有效性
ˆ1 ˆ
lim P p 1 n
总体参数的区间估计就是依照一 定的概率保证程度，用样本估计值估计 总体参数取值范围的方法。
参数估计的精度通常是指抽样误差 的大小。抽样误差越大，参数估计的精 度就越低；抽样误差越小，参数估计的 精度就越高。参数估计的精度必须通过 计算抽样误差才能反映。我们采用抽样 平均误差，即所有抽样估计值的标准差 作为参数估计的抽样误差大小的尺度。
M
(x )2
i 1
M
Up
M
(p )2
i 1
M
大数法则（大数定律）
lim P ( 1
n
n
n
Xi
i 1
) 1
大数法则从数量关系角度阐明了
样本和总体之间的内在联系，证明了随着
抽样容量n的增加，能够以接近1的概率期
望抽样平均数与总体平均数的偏差为任意
小。
1. 按照一定的抽样方式抽取适当的样本进 行调查，针对该种抽样方式选择总体参数的最优样本 估计量，计算估计值，以此作为总体参数的点估计；
1. 根据样本资料对总体的数量特征作出具有一 定可靠性的估计和推断
2. 按照随机性原则从全部总体中抽取样本单位
3. 抽样推断必然会产生抽样误差
1. 某些现象不可能进行全面调查，为了解其全面资料 就必须采用抽样推断方法
2. 某些理论上可以进行全面调查的现象，采用抽样推 断可以达到事半功倍的效果
3. 抽样推断可以对全面调查的结果进行评价和修正
不重复抽样又叫无放还抽样或不重 置抽样。它是每抽出一个样本单位后，把 结果记录下来，该单位就不再放回到总体 中去参加以后的抽选。在不重复抽样过程 中，总体单位数逐渐减少，并且每个单位 至多只有一次被抽中的可能性。
用样本指标来代表总体指标时就会产生一定 的误差，这种误差是抽样推断方法本身所固有的，所 以叫抽样误差，属于代表性误差。
二、参数估计的误差范围与概率度 三、总体参数的区间估计
一、简单随机抽样 二、分层抽样 三、系统抽样 四、整群抽样
一、平均数的必要样本容量 二、成数的必要样本容量 三、影响必要样本容量的因素
抽样推断方法与其它统计调查方法相比， 具有省时、省力、快捷的特点，能以较小 的代价及时获得总体的有关信息。
一、抽样推断的特点和作用 二、重复抽样与不重复抽样 三、抽样误差与抽样平均误差 四、抽样推断的理论基础 （大数法则、中心极限定理） 五、参数估计的基本步骤
一、总体参数的点估计 二、点估计量的优良标准
一、参数估计的精度与抽样平均误差计算
1. 抽样平均数的抽样平均误差 2. 抽样成数的抽样平均误差
方法：抽签法、随机数表法（计算机产生）
分层抽样，即类型抽样，它先将 总体各单位按某一有关标志分成若干个类 型组，然后按照一定比例再从各类型组中 随机抽取样本单位。采用这种方法可提高 样本的代表性，减少抽样误差。对于那些 总体情况复杂、各单位之间差异较大、单 位数量较多的抽样调查问题，一般都可以 采用分层抽样的方法进行抽样调查。
抽样误差主要包括样本平均数与总体平均数 的差数，样本成数与总体成数的差数。抽样误差愈小， 表示样本的代表性愈高；反之，代表性就愈低。
抽样误差的大小决定于以下几个因素： 1. 样本容量n的多少。 2. 总体被研究标志的变异程度。 3. 抽样方法的选择。
抽样平均误差就是抽样平均数或 成数的标准差。
Ux
一、抽样推断的基本概念与原理 二、参数估计中的点估计 三、参数估计中的区间估计 四、抽样组织方式及其参数估计 五、必要样本容量的确定
4. 抽样推断可用于工业生产过程中的质量控制
5. 利用抽样推断的原理，可以对某些总体的假设进行 检验，来判断假设的真伪，为决策提供依据
重复抽样又叫有放还抽样或重置抽 样。它是每抽出一个样本单位后，把结 果记录下来，随即将该单位放回到总体 中去，使它和其余的单位在下一次抽选 中具有同等被抽中的机会。在重复抽样 过程中，总体单位数始终保持不变，并 且同一个单位有多次被抽中的可能性。
用样本估计值与总体参数的最大绝对误差限
来表达。统计上称这一误差限为抽样极限误
差或抽样允许误差。
x
x
x
p p p
抽样极限误差的实际意义就是希望总体平均
数落在抽样平均数 x 的范围之内；总体成 x
数落在抽样成数 pp 的范围之内。
源自文库
例题3
开头例题
简单随机抽样又叫纯随机 抽样，是最简单、最普遍的抽样组织 方法。它是按照随机性原则直接从总 体的全部单位中，抽取若干个单位作 为样本单位，保证总体中每个单位在 抽选中都有同等被抽中的机会。
重复抽样：
ux
2
nn
不重复抽样：
ux
2 N n
n N 1
例题1
u 2 1 n
x
n N
重复抽样：
up
1
n
不重复抽样：
up
1
n
N N
n 1
up
1 1 n
n N
例题2
抽样误差范围是指变动的样本估计值与
确定的总体参数之间离差的可能范围，它可
例题4
系统抽样又叫等距抽样或机械抽 样。它是先把总体所有单位按某一标志排 队，并根据总体单位数与样本单位数的比 例计算出抽样距离和间隔，随机确定一个 起始点作为第一个样本单位，以后每隔相 等的距离和间隔抽取样本单位。
2. 根据该种抽样方式的抽样平均误差公式计 算出抽样误差，我们往往要先计算样本标准差以替代 未知的总体标准差；
3. 根据所要求的置信水平，查正态分布表、 t分布表或其他分布表获得对应的概率度，然后再计 算出抽样极限误差，最后对总体参数作出区间推断。
点估计，也称定值估计，就是以样本估计 量直接代替总体参数的一种推断方法。