数形结合课后作业题解析版

一、选择题
1. （2020·浙江高一期末）函数ln e
x
y =的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
令1ln ,01ln ln ,1x t x x x x ⎧<<⎪==⎨⎪≥⎩，则ln 1,01,1
x t
x y e e x
x x ⎧<<⎪===⎨⎪≥⎩， 当01x <<时，函数1
y x
=
为减函数，且为反比例函数； 当1x ≥时，函数y x =为增函数且为正比例函数； 所以ln x
y e =在()0,1上为减函数，在[)1,+∞为增函数.
故选：A.
2.设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)∪(0，1)
B ．(－1，0)∪(1，＋∞)
C ．(－∞，－1)∪(－1，0)
D ．(0，1)∪(1，＋∞) 【答案】A 【解析】 设h (x )＝
f （x ）
x
.∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，
∴h (－x )＝
f （－x ）－x ＝f （x ）
x
＝h (x )． ∴h (x )是偶函数． ∵xf ′(x )－f (x )＜0， ∴h ′(x )＝⎝
⎛⎭
⎪⎫f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2＜0.
∴h (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数，且h (±1)＝0，如图所示，
可知满足f (x )＞0的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．
3.（2020·江苏高三专题练习）已知函数221,0
()3,0
x x f x x x x ⎧-≤=⎨-->⎩,若不等式
|()|2f x mx ≥-恒成立,则实数m 的取值范围为( )
A ．[322,322]-+
B ．[0,32]-
C ．(322,32)-+
D ．[0,322]+
【答案】D 【解析】
函数221,0
()3,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-->⎩
∴221,0
()3,0
x x f x x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩
要保证不等式|()|2f x mx ≥-恒成立
只需保证函数|()|f x 的图像恒不在函数2y mx =-图像的下方 画出函数|()|f x 的图像,如图所示,
函数2y mx =-表示过定点()0,2-的直线, 结合图像可知:
当0m <时,不满足题意, 当0m =时,满足题意,
当0m >时,考查如图所示的临界条件,即直线与二次函数相切,
∴ 23,23y x x y x '=+=+,设切点坐标为()
2
000,3x x x +,切线的斜率为
02,3k x =+,
则切线方程()
()()2
0000323y x x x x x -+=+-过点()0,2-,
即:()
()()2
000023230x x x x --+=+-,
数形结合可知00x >,故2x 此时切线的斜率023223k x =+=,
故实数m 的取值范围为0,322⎡+⎣,
故选:D.
4.（2020·北京高三期末）已知正方形ABCD 的边长为2，以B 为圆心的圆与直线AC 相切.若点P 是圆B 上的动点，则DB AP ⋅的最大值是（ ）
A ．22
B ．42
C ．4
D ．8
【答案】D 【解析】
如图，建立平面直角坐标系，则()0,0B ，()A 0,2，()D 2,2， 圆B 的方程为：2
2
2x y +=,∴)
22P
cos sin θθ，，
∴()22DB =--，
，(
)
222AP cos sin θθ=-，，
∴22224444DB AP cos sin sin πθθθ⎛
⎫
⋅=--+=-+
⎪⎝
⎭
∴14sin πθ⎛⎫
+=- ⎪⎝
⎭
时，DB AP ⋅的最大值是8， 故选：D
二、填空题
5.（2018届北京市昌平区高三上期末）若函数()4,3,{ log ,3
a x x f x x x -+≤=> （0a >且
1a ≠）
，函数()()g x f x k =-. ①若1
3
a =
，函数()g x 无零点，则实数k 的取值范围是__________； ②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】 [)1,1- (]1,3 【解析】①a=
1
3
时，画出函数f （x ）的图象，如图所示：
若函数g （x ）无零点，则y=k 和y=f （x ）无交点， 结合图象，﹣1≤k ＜1；
②若0＜a ＜1，显然f （x ）无最小值，故a ＞1， 结合log a 3=1，解得：a=3， 故a ∈（1，3]；
故答案为：[﹣1，1），（1，3]．
6.（2020·江苏高三专题练习）在平面直角坐标系xoy 中，过圆C 1：
22
()(4)x k y k -++-＝1上任一点P 作圆C 2：2
2x y +＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 长最小时，k ＝_
_.
【答案】2 【解析】
如图，因为PQ 为切线，所以2PQ C Q ⊥，
由勾股定理，得221PQ PC =
-PQ 最小，则需2PC 最小，
显然当点P 为12C C 与1C 的交点时，2PC 最小，
此时，2121PC C C =-，所以当12C C 最小时，2PC 就最小，
22212(4)2(2)822C C k k k =+-+=-+≥
当2k =时，12C C 最小最小，得到PQ 最小， 故答案是：2. 三、解答题
7．已知直线l ：x －y ＝1与圆M ：x 2
＋y 2
－2x ＋2y －1＝0相交于A ，C 两点，点B ，D 分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧，求四边形ABCD 面积的最大值．
[解]
把圆M ：x 2
＋y 2
－2x ＋2y －1＝0化为标准方程：(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝3，圆心(1，－1)，半径r ＝ 3.
直线l 与圆M 相交，圆心到直线l 的距离d ＝|1×1－1×(－1)－1|12＋(－1)2
＝2
2， 所以弦长|AC |＝2×
(3)2
－⎝
⎛⎭
⎪⎫222
＝10. 又B ，D 两点在圆上，且位于直线l 的两侧，四边形ABCD 的面积可以看成是两个三角形△ABC 和△ACD 的面积之和，如图所示，当B ，D 为如图所示位置，即BD 为弦AC 的垂直平分线时(即为直径时)，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD 的面积最大，
最大面积为S ＝12|AC |×|BE |＋1
2|AC |×|DE |
＝12|AC |×|BD |＝1
2×10×2 3 ＝30.
8.已知A (1,1)为椭圆x 29＋y 2
5＝1内一点，F 1为椭圆的左焦点，P 为椭圆上一动点，求|PF 1|
＋|PA |的最大值和最小值．
解 由x 29＋y 2
5＝1可知a ＝3，b ＝5，c ＝2，左焦点F 1(－2，0)，右焦点F 2(2,0)．
由椭圆定义，知|PF 1|＝2a －|PF 2|＝6－|PF 2|， ∴|PF 1|＋|PA |＝6－|PF 2|＋|PA |＝6＋|PA |－|PF 2|. 如图，由||PA |－|PF 2||≤|AF 2|
＝(2－1)2＋(0－1)2＝2，知－2≤|PA|－|PF2|≤ 2. 当点P在AF2的延长线上的点P2处时，取右“＝”，
当点P在AF2的反向延长线上的点P1处时，取左“＝”，即|PA|－|PF2|的最大、最小值分别为2，－ 2.
于是|PF1|＋|PA|的最大值是6＋2，最小值是6－ 2.。