数形结合课后作业题解析版

一、选择题

1. （2020·浙江高一期末）函数ln e

x

y =的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A 【解析】

令1ln ,01ln ln ,1x t x x x x ⎧<<⎪==⎨⎪≥⎩，则ln 1,01,1

x t

x y e e x

x x ⎧<<⎪===⎨⎪≥⎩， 当01x <<时，函数1

y x

=

为减函数，且为反比例函数； 当1x ≥时，函数y x =为增函数且为正比例函数； 所以ln x

y e =在()0,1上为减函数，在[)1,+∞为增函数.

故选：A.

2.设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)∪(0，1)

B ．(－1，0)∪(1，＋∞)

C ．(－∞，－1)∪(－1，0)

D ．(0，1)∪(1，＋∞) 【答案】A 【解析】 设h (x )＝

f （x ）

x

.∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，

∴h (－x )＝

f （－x ）－x ＝f （x ）

x

＝h (x )． ∴h (x )是偶函数． ∵xf ′(x )－f (x )＜0， ∴h ′(x )＝⎝

⎛⎭

⎪⎫f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2＜0.

∴h (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数，且h (±1)＝0，如图所示，

可知满足f (x )＞0的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．

3.（2020·江苏高三专题练习）已知函数221,0

()3,0

x x f x x x x ⎧-≤=⎨-->⎩,若不等式

|()|2f x mx ≥-恒成立,则实数m 的取值范围为( )

A ．[322,322]-+

B ．[0,32]-

C ．(322,32)-+

D ．[0,322]+

【答案】D 【解析】

函数221,0

()3,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-->⎩

∴221,0

()3,0

x x f x x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩

要保证不等式|()|2f x mx ≥-恒成立

只需保证函数|()|f x 的图像恒不在函数2y mx =-图像的下方 画出函数|()|f x 的图像,如图所示,

函数2y mx =-表示过定点()0,2-的直线, 结合图像可知:

当0m <时,不满足题意, 当0m =时,满足题意,

当0m >时,考查如图所示的临界条件,即直线与二次函数相切,

∴ 23,23y x x y x '=+=+,设切点坐标为()

2

000,3x x x +,切线的斜率为

02,3k x =+,

则切线方程()

()()2

0000323y x x x x x -+=+-过点()0,2-,

即:()

()()2

000023230x x x x --+=+-,

数形结合可知00x >,故2x 此时切线的斜率023223k x =+=,

故实数m 的取值范围为0,322⎡+⎣,

故选:D.

4.（2020·北京高三期末）已知正方形ABCD 的边长为2，以B 为圆心的圆与直线AC 相切.若点P 是圆B 上的动点，则DB AP ⋅的最大值是（ ）

A ．22

B ．42

C ．4

D ．8

【答案】D 【解析】

如图，建立平面直角坐标系，则()0,0B ，()A 0,2，()D 2,2， 圆B 的方程为：2

2

2x y +=,∴)

22P

cos sin θθ，，

∴()22DB =--，

，(

)

222AP cos sin θθ=-，，

∴22224444DB AP cos sin sin πθθθ⎛

⎫

⋅=--+=-+

⎪⎝

⎭

∴14sin πθ⎛⎫

+=- ⎪⎝

⎭

时，DB AP ⋅的最大值是8， 故选：D

二、填空题

5.（2018届北京市昌平区高三上期末）若函数()4,3,{ log ,3

a x x f x x x -+≤=> （0a >且

1a ≠）

，函数()()g x f x k =-. ①若1

3

a =

，函数()g x 无零点，则实数k 的取值范围是__________； ②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】 [)1,1- (]1,3 【解析】①a=

1

3

时，画出函数f （x ）的图象，如图所示：

若函数g （x ）无零点，则y=k 和y=f （x ）无交点， 结合图象，﹣1≤k ＜1；

②若0＜a ＜1，显然f （x ）无最小值，故a ＞1， 结合log a 3=1，解得：a=3， 故a ∈（1，3]；

故答案为：[﹣1，1），（1，3]．