经济数学-微积分吴传生10-3

dy 1 dt S 5 1 dS S 由已知 3 dt y(0) 0, S (0) 10
(1) (2)
S 10e

t 3
将上式代入方程 (1)得
t 3
t dy 1 3 e 5 dt 10
3 3 解此方程得 y e 5t c1 , y(0) 0 c1 10 10
再由p 0, x 1200得，C 1200
x 1200 3 p
当价格为一元时，市场上对该商品的需求量为
x 1200 31 400( 公斤)
P 时， x C 3
P
0
即平衡解 x = 0是稳定的。
例 2 设某种商品，它的价格主要由供求关系决定，设供给 量 S 与需求量 D 均是依赖于价格的线性函数 S a bp (a , b, c , d为常数), D c dp
t
3.设市场上某商品的需求函数与供给函数分别为 Qd 10 p 4 p p 和Qs 2 2 p 5 p 10 p
1 初始条件为 p t 0 5, p t 0 。试求在市场均衡条 2 件Qd Qs 下该商品的价格函数 p p( t )。 1 4、已知需求的价格弹性 E 2 又当 Q=0 时 Q
7.若某地区国民收入的增长率是以国民收入的固定 比例 增长，国民债务的增长率是以国民收入的固
dy dD 定比例 增长，即 y, y( , 0) 且 dt dt 当 t=0 时，国民收入为 y0 ，国民债务为 D0 ，求国
民收入及国民债务与时间 t 的函数关系。 8.某冷库存放一批苹果，已发现其中有些开始腐 败，若腐败率经检测为剩下的好苹果的 0.1，假定 开始存储时共有好苹果10 5 个，试求腐败苹果的数 量 x 与时间 t(月)的函数关系，并计算 10 个月后 腐败苹果的数量。
第三节 一阶微分方程在经济学中
的综合应用
一、微分方程在经济中的应用
二、小结
一、微分方程在经济中的应用
1.分析商品的市场价格与需求量(供应量)之间的关系 例1 某商品的需求量x对价格p的弹性为-pln3.若该 商品的最大需求量为1200(即p=0时，x=1200)(p的单位 为元，x的单位为千克)，试求需求量x与价格p的函数 关系，并求当价格为1元时市场上对该商品的需求量.
dy 2 x 数之间关系满足方程 2 y y e ，已知 x=0 dx
时 y=3,求 y=y(x)。
练习题答案
3 8t 5 1. P e , P ( 0.3) 1.32 4 4 1 a 3 2.(1) Pt ( ) ; b ( 2) P ( t ) Pe (1 Pe )e ( 3) Pe 3. P ( t ) e
2.已知商品的需求量 D 和供给量 S 都是价格 p 的
a 函数 D D( p) 2 , S S ( p) bp (a>0,b>o 为 p
常数)，价格 p 是时间 t 的函数且满足方程
dp K D( p) S ( p)(K 为正常数) 且 t=0 时 dt
p=1 试求：(1)需求量等于供给量时的均衡价格 pe ；(2)价格函数 p( t )；(3)求 lim p( t ) 。
即t月后鱼数与时间的函数关系为 y 1 t3 1000 3t 3 1000 3 y t 3 1000 y 9 9 3 9 3 t 3 1
6个月后鱼数为
k
y
k y 1 ae bt
t
1000 3 y 500(条 ) 2 93
2
0
dy ky( N y ) dt
3 3 即成本时间函数为 y e 5t . 10 10
t 3
４．公司的净资产分析
例6 某公司的净资产在运营过程中，像银行的存款 一样，以年5%的连续复利产生利息而使总资产增加， 同时，公司还必须以每年200百万元人民币的数额连续 地支付职工的工资。 (1) 列出描述公司净资产W的微分方程； (2) 假设公司的初始净资产为W0，求净资产W(t)； (3) 描绘出当W0分别为3000,4000,5000时的解曲线.
p dx 解 由已知 p ln 3 x dp dx dx 即 x ln 3 ln 3dp dp x
ln x p ln 3 ln C x Ce p ln 3 C 3 P
x Ce
p ln 3
C 3
P
dx x ln 3 dp
将 y t 0 100, y t 3 250代入得
1 ln 3 解得c , k 9 3000
c 1000 100 250 3000k ce 1000 250
y ce1000 kt 1000 y
1 ln 3 解得C , k 9 3000
解：(1) 净资产增长速率=利息盈取速率-工资支付速率
dW 0.05W 200 就是净资产所满足的微分方程. dt
即
W=4000为平衡解。
(1) 列出描述公司净资产W的微分方程； (2) 假设公司的初始净资产为W0，求净资产W(t)； (3) 描绘出当W0分别为3000,4000,5000时的解曲线.
练习题
1.某商品的价格由供求关系决定，若供给量 S 与
S 1 3 P 需求量 D 均是价格 P 的线性函数： D 4 P ,
若价格 P 是时间 t(年)的函数。且已知在时刻 t 时，价格 P 的变化率与过剩需求 D-S 成正比，比 例系数为 2，试求价格 P 与时间 t 的函数关系， (设初始价格 P0 2 元时)，并问当 t=0.3 时价格 应为多少？
p=100，试确定价格函数即将价格 p 表为需求 Q 的 函数。
5.某商场的销售额 y 随广告费 x 增加的增长率等于 常数 20 减去广告费 x，已知 x=0 时销售额 y=25(万 元)，试求销售额 y 与广告费 x 之间的关系，并求广 告费 x 为多少万元时可获得最大销售额，最大销售 额为多少万元？ 6.某经济开发区在分析过去活动的基础下，预计未 来计划期内时刻 t 的国民储蓄额 S 为国民收入额 y 的 0.20 倍，而投资额正比于国民收入的增长率，比 例系数为 1，若当 t>0 时，国民收入为 3(亿元)，试 求国民收入函数。并计算 5 年后国民收入为多少亿 元?(假定时刻 t 的储蓄额全部用于投资)
kt dP P ( t ) 10e 解： 由题设得 kP d t k ln 2 10 P (0) 10, P (10) 20
P ( t ) 10e t ln 2 10 10 2t 10 P ( t ) 10 2t 10 40 t 20, 故至少20年后才能砍伐.
dp S a bp (D S) 解 由已知 dt D c dp 即 p ( c dp a bp) (a c ) (b d ) p
即 p (b d ) p (a c )
所以 p e
5000 4000 3000
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
W
W 4000 1000e 0.05 t
W 4000
W 4000 1000e 0.05 t
当W0=5000时,W 4000 1000e 0.05t . 0
27.7
t
二、小结
掌握一类经济问题建立数学模型的方法：
1.理解函数关系； 2.建立微分方程； 3.确定初始条件； 4.求解.
(a c )e ( b d )dt dt C ( b d ) t ( a c ) ( b d )t e e C (b d )
( b d )dt
p ( x )dx
y p( x ) q( x ) y e
ac 供求平衡价格 p ,当供大于求即S>D时, 价格p下降； bd
当求大于供即D>S时，则价格 p上升.
现若价格是时间t的函数 p = p(t)，在时间 t 时，价格 的变化率与此时刻的过剩需求量D-S成正比，即
dp (D S) dt
【α >0为常数】
试求价格p与时间t的函数关系.【设初始价格p(0)=p0】
q( x )e p( x )dx dx C
(a c ) ( b d ) t p(t ) e e C (b d ) ac ( b d ) t ( b d ) t Ce Ce p bd
dW dW 0.05dt 解：(2) 由 0.05W 200 W 4000 dt
W 4000 Ce 0.05t , C W0 4000
W 4000 (W0 4000)e0.05t .
(3) 当W0=4000时, W=4000为平衡解 【不稳定】 当W0=3000时,W 4000 1000e 0.05t .
9.某城市以分析过去的统计资料中，得出该城市 的流动消费 C，流动投资 I 均与流动收入 y 具有 线性函数关系。在时刻 t 时的 C,I,y 与均衡值 C , I , y 的偏差记为C1 , I1 , y1，它们之间的关系 为： C1 0.2 y1 , I 1 0.1 y 2 ，而流动收入 y1的变化
dy1 率正比于过渡需求，为 0.3(C1 I1 y1 )， dt 已知 t=0 时，流动收入 y0 5(亿元) ，若流动收 入的均衡值 y 4 (亿元) ，试求流动收入函数 y ( t )，并求 t=2 时的流动收入。
10.设某牧场现有 1000 只羊，如果每瞬时羊的只 数变化率与当时羊的只数成正比，若 10 年内该 牧场羊群达到 2000 只，试确定该羊群只数 a t 与 时间 t 的函数关系。 11.某企业成本控制部门发现，随企业规模扩大 面向办公室提供的平均月费用 y 与办公室人员 x
例4 在某池塘内养鱼，由于条件限制最多只能养 1000条.在时刻 t 的鱼数 y是时间 t 的函数 y =y(t)，其变 化率与鱼数 y和1000- y的乘积成正比. 现已知池塘内放 养鱼100条，3个月后池塘内有鱼250条，求 t月后池塘 内鱼数 y(t)的公式. 问6个月后池塘中有鱼多少？
dy 解：由已知 ky(1000 y), y(0) 100, y(3) 250 dt y 1000 kt ce 解此微分方程 1000 y 100
( b d ) t
由p(0) p0代入上式，得 C p0 p
故所求价格 p与时间t的函数关系为
p ( p0 p )e
均衡偏差
( b d ) t
p
均衡价格
显然当 t , p p, 即价格趋于平衡价格 .
2.预测可再生资源的产量，预测商品的销售量
例3 某林区现有木材10万立方米，如果时刻 t木材的 变化率与当时的木材数P(t)成正比。假设10年时木材为 20万立方米。若规定木材量达到40万立方米才可砍伐， 问至少多少年后才能砍伐。
称为逻辑斯提(Logistic)方程。
3. 成本分析
例5 某商场销售成本y和存储费用S均是时间t的函数， 销售成本的变化率等于存储费用的倒数与常数5的和； 而存储费用的变化率为存储费用的(-1/3)倍，若当t=0 时，销售成本y=0，存储费用S=10.试求销售成本与时 间t 的函数关系及存储费用与时间 t 的函数关系. dy 1 dt S 5 (1) 解(2)得 1 dS t S (2) 解： 由已知 3 dt S 10e 3 y(0) 0, S (0) 10