傅里叶变换 傅里叶级数

傅里叶级数针对的是周期函数，傅里叶变换针对的是非周期函数，本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，都有相似的特性，因为四种傅里叶表示都利用了复正选信号，这些特性提供了一种透彻了解时域和频域信号表示的特征的方法

1、傅里叶级数

在高等数学中就已经知道，在满足一定的条件下，任何一个周期信号都可以分解为正弦信号的叠加。在高等数学中，这种分解就叫傅里叶级数。在信号处理学习的最初阶段，也是从这个概念出发，开始输入到信号处理的傅里叶世界。在信号处理中，周期连续信号的傅里叶分析称为傅里叶级数。此时，在傅里叶分析之前，信号是周期，连续的，在之后，结果是离散的。

2、傅里叶变换

对于连续信号，如果信号不是周期的，其傅里叶分析结果又是如何呢？非周期信号可以等效为周期为无穷大的周期信号。于是，由傅里叶级数出发，利用极限的有关概念，可以推导出非周期信号的傅里叶分析结果，这就是傅里叶变换。再啰嗦一句，非周期连续信号的傅里叶分析称为傅里叶变换。在傅里叶分析之前，信号是非周期的，连续的，在之后，结果也是连续的。

3、离散时间傅里叶变换

傅里叶级数和傅里叶变换都是针对连续信号而言的，那么对于数字信号而言，是否有对应的傅里叶分析呢？答案是肯定的，这就是离散时间傅里叶变换（DTFT）和离散傅里叶变换（DFT）。

对非周期离散信号的傅里叶分析称为离散时间傅里叶变换。在傅里叶分析之前，信号是非周期的，离散的，在之后，结果是连续的。

4、离散傅里叶变换

对周期离散信号的傅里叶分析称为离散傅里叶变换。在傅里叶分析之前，信号是周期的，离散的，在之后，结果是离散的。如果按照前面三种分析的命名，离散傅里叶变换叫离散傅里叶级数似乎更为妥当。但由于历史的原因，大家习惯把这种傅里叶分析称为离散傅里叶变换。当然，关于DFT是否隐含着信号周期性的问题，也有一些争论。有的认为进行DFT分析就意味着默认离散信号是周期的，有的则认为离散信号不一定要看成是周期的。此处采取默认离散信号周期性的说法，主要是基于如下理由：如果把DFT看做是对DTFT结果在频域的采样的话，那么根据信号系统的有关理论可知，频域的采样等效于时域的周期延拓，这样，离散信号自然变成周期的了。在实际分析中，将DFT看做是对DTFT结果在频域的采样是合乎情理的。

这上面的四个与傅里叶分析有关的概念，最重要的是DFT。因为前面三种分析都需要假定信号的时域及频域都是无限长的。从概念上讲，虽然DFT也需要时域频域无限长，但由于时域频域都是周期的，因此只需要一个周期的信息即可。另外，由于计算机等数字设备只能处理数字信号，也即是要求无论是时域还是频域，都要是离散的。因此，DFT在实践中占有最重要的地位。傅里叶级数，傅里叶变换，离散时间傅里叶变换这三个概念则更多的用于理论分析中。