硬币的滚动问题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
O r O1 90° 90° O2 C
A
2πr
2πr
B
O3
拓展延伸
问题：如图， 的线段AB在中点C处折成60 AB在中点 60° 问题：如图，将总长为 4 r π 的线段AB在中点C处折成60°， 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B需转 圈；
O O1 120° 120° 60° ° 60C
4 r ，则这枚半径为r的硬 π 则这枚半径为r
O1
币从点A无滑动地滚动到点B 币从点A无滑动地滚动到点B需转 2 圈；
r O
A
4 aπr
B
结论：当硬币在直线上滚动时， 结论：当硬币在直线上滚动时， 圆 过 路 长 经 的 径 硬币滚动的圈数= 硬币滚动的圈数= 圆 长 周 圆 经 的 径 心 过 路 长 = 圆 长 周
小硬币 大学问 硬币的滚动问题
提出问题
2009年广东省佛山市中考数学题 2009年广东省佛山市中考数学题 将两枚同样大小的硬币放在桌上， 将两枚同样大小的硬币放在桌上，固 定其中一枚， 定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动 一周，这时滚动的硬币滚动了( 一周，这时滚动的硬币滚动了( ) 1.5圈 A ．1 圈 B．1.5圈 2.5圈 C ．2 圈 D．2.5圈
多 形 周 为 πr 边 的 长 2
O
r
O
r
O
r
O
r
O
r
O
……
r r
边数n 边数n趋向于无穷大时
学以致用
将一枚半径为r 将一枚半径为r的硬币沿着另一枚半 径为2r的硬币的边缘滚动一周， 2r的硬币的边缘滚动一周 径为2r的硬币的边缘滚动一周，这时滚动 3 圈 的硬币滚动了
O r 2r O1 2r O r O1
r
r
第9题图
探究一 硬币在直线上滚动
问题：如图，将一枚半径为r 问题：如图，将一枚半径为r的硬币在直线上滚动一 圈，则这枚硬币滚动的距离为
O O1
2 r ； π
r
A
A1
l
圆滚动时， 圆滚动时，圆心经过的路径的长度等于 圆滚动过的长度. 圆滚动过的长度.
探究一 硬币在直线上滚动
问题：如图，若线段AB= 问题：如图，若线段AB=
r
r
第9题图
解决问题
圆滚动时， 圆滚动时，圆滚动过的长度等于圆心经过 的路径长度. 的路径长度. 结论： 结论：
O
r r
当硬币在曲线上滚动时， 当硬币在曲线上滚动时， 硬币转动的圈数
O1
圆 经 的 径 心 过 路 长 = 圆 长 周
2 ⋅2 π r =2 硬币转动的圈数= 硬币转动的圈数= 2πr
拓展延伸
问题：如图， 的线段AB在中点C处折成90 AB在中点 90° 问题：如图，将总长为 4 r π 的线段AB在中点C处折成90°， 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B需转 圈； O r A
2πr
C
90° 90°
2πr
B
拓展延伸
问题：如图， 的线段AB在中点C处折成90 AB在中点 90° 问题：如图，将总长为 4 r π 的线段AB在中点C处折成90°， 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B需转 圈；
Hale Waihona Puke r A2πr2πr
B
拓展延伸
思考： AB长为 AB上任一点 如图所示， 上任一点， 思考：若AB长为a，点C为AB上任一点，如图所示， 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B需转
r O O1
圈；
A
Cα
a 180−α + 2 r π 360
B
探究二 硬币在多边形上滚动
问题：如图，如果是一任意一个周长为 多边 问题：如图，如果是一任意一个周长为a多边 形呢，硬币需转几圈？ 形呢，硬币需转几圈？
A1 r An A5 A4
a +1 2 r π
结论： 结论：当硬币在多边形的外侧
A2 上滚动时，硬币转动的圈数 上滚动时， A3 =
多 形 周 边 的 长 +1 圆 长 周
探究四 圆在曲线上滚动
2009年广东省佛山市中考数学 2009年广东省佛山市中考数学 将两枚同样大小的硬币放在桌上， 将两枚同样大小的硬币放在桌上，固 定其中一枚， 定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动 一周，这时滚动的硬币滚动了( 一周，这时滚动的硬币滚动了( ) 1.5圈 A ．1 圈 B．1.5圈 2.5圈 C ．2 圈 D．2.5圈
r
a +1 2 r π
O O O O
2B
5
6 C3
探究三 硬币在多边形上滚动
问题：如图，将任意三角形改为任意四边形， 问题：如图，将任意三角形改为任意四边形，且该四 边形的周长为a， 边形的周长为 ，则这枚硬币沿四边形的外侧滚动一 周需转 圈. 1 5
2
a +1 2 r π
6 4 8 7 3
探究三 硬币在多边形上滚动
r
O
5
圈.
O1
A
2πr
B
O2 O2 O2 O2 2 2 2 2
2πr
D
2πr
2πr
C
探究二 硬币在多边形上滚动
问题：如图，将等边三角形改为任意三角形， 问题：如图，将等边三角形改为任意三角形，且该三 角形的周长为a，则这枚硬币沿⊿ABC的外侧滚动一周 角形的周长为 ，则这枚硬币沿⊿ABC的外侧滚动一周 需转 圈. A 4 1
问题：如图， 连接AB 这时这枚半径为r AB， 问题：如图， 连接AB，这时这枚半径为r的硬币沿 ⊿ABC的外侧滚动一周需转 ABC的外侧滚动一周需转
r
O
4圈；
O1 120° 120°
A
2πr
60° ° 60C
2πr
B
探究二 硬币在多边形上滚动
问题：将等边三角形改为正方形， 问题：将等边三角形改为正方形，则这枚硬币沿正方形的 外侧滚动一周需转
学以致用
将4枚半径为1cm的硬币放在桌上，固定其中三枚， 枚半径为1cm的硬币放在桌上，固定其中三枚， 1cm的硬币放在桌上 而另一枚则沿着它们的边缘从⊙O滚动到⊙O′，这时硬 币滚动的路程为 ，转了 圈.
O4
O5
1
O O1
2
O2
3
O3
O′
课堂小结
本节课你学到 了哪些知识？有什 么收获？
A
2πr
2πr
B
O3
拓展延伸
问题：如图， 的线段AB在中点C处折成60 AB在中点 60° 问题：如图，将总长为 4 r π 的线段AB在中点C处折成60°， 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B需转 圈；
O O1 120° 120° 60° ° 60C
4 r ，则这枚半径为r的硬 π 则这枚半径为r
O1
币从点A无滑动地滚动到点B 币从点A无滑动地滚动到点B需转 2 圈；
r O
A
4 aπr
B
结论：当硬币在直线上滚动时， 结论：当硬币在直线上滚动时， 圆 过 路 长 经 的 径 硬币滚动的圈数= 硬币滚动的圈数= 圆 长 周 圆 经 的 径 心 过 路 长 = 圆 长 周
小硬币 大学问 硬币的滚动问题
提出问题
2009年广东省佛山市中考数学题 2009年广东省佛山市中考数学题 将两枚同样大小的硬币放在桌上， 将两枚同样大小的硬币放在桌上，固 定其中一枚， 定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动 一周，这时滚动的硬币滚动了( 一周，这时滚动的硬币滚动了( ) 1.5圈 A ．1 圈 B．1.5圈 2.5圈 C ．2 圈 D．2.5圈
多 形 周 为 πr 边 的 长 2
O
r
O
r
O
r
O
r
O
r
O
……
r r
边数n 边数n趋向于无穷大时
学以致用
将一枚半径为r 将一枚半径为r的硬币沿着另一枚半 径为2r的硬币的边缘滚动一周， 2r的硬币的边缘滚动一周 径为2r的硬币的边缘滚动一周，这时滚动 3 圈 的硬币滚动了
O r 2r O1 2r O r O1
r
r
第9题图
探究一 硬币在直线上滚动
问题：如图，将一枚半径为r 问题：如图，将一枚半径为r的硬币在直线上滚动一 圈，则这枚硬币滚动的距离为
O O1
2 r ； π
r
A
A1
l
圆滚动时， 圆滚动时，圆心经过的路径的长度等于 圆滚动过的长度. 圆滚动过的长度.
探究一 硬币在直线上滚动
问题：如图，若线段AB= 问题：如图，若线段AB=
r
r
第9题图
解决问题
圆滚动时， 圆滚动时，圆滚动过的长度等于圆心经过 的路径长度. 的路径长度. 结论： 结论：
O
r r
当硬币在曲线上滚动时， 当硬币在曲线上滚动时， 硬币转动的圈数
O1
圆 经 的 径 心 过 路 长 = 圆 长 周
2 ⋅2 π r =2 硬币转动的圈数= 硬币转动的圈数= 2πr
拓展延伸
问题：如图， 的线段AB在中点C处折成90 AB在中点 90° 问题：如图，将总长为 4 r π 的线段AB在中点C处折成90°， 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B需转 圈； O r A
2πr
C
90° 90°
2πr
B
拓展延伸
问题：如图， 的线段AB在中点C处折成90 AB在中点 90° 问题：如图，将总长为 4 r π 的线段AB在中点C处折成90°， 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B需转 圈；
Hale Waihona Puke r A2πr2πr
B
拓展延伸
思考： AB长为 AB上任一点 如图所示， 上任一点， 思考：若AB长为a，点C为AB上任一点，如图所示， 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B 这时这枚半径为r的硬币从点A到点B需转
r O O1
圈；
A
Cα
a 180−α + 2 r π 360
B
探究二 硬币在多边形上滚动
问题：如图，如果是一任意一个周长为 多边 问题：如图，如果是一任意一个周长为a多边 形呢，硬币需转几圈？ 形呢，硬币需转几圈？
A1 r An A5 A4
a +1 2 r π
结论： 结论：当硬币在多边形的外侧
A2 上滚动时，硬币转动的圈数 上滚动时， A3 =
多 形 周 边 的 长 +1 圆 长 周
探究四 圆在曲线上滚动
2009年广东省佛山市中考数学 2009年广东省佛山市中考数学 将两枚同样大小的硬币放在桌上， 将两枚同样大小的硬币放在桌上，固 定其中一枚， 定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动 一周，这时滚动的硬币滚动了( 一周，这时滚动的硬币滚动了( ) 1.5圈 A ．1 圈 B．1.5圈 2.5圈 C ．2 圈 D．2.5圈
r
a +1 2 r π
O O O O
2B
5
6 C3
探究三 硬币在多边形上滚动
问题：如图，将任意三角形改为任意四边形， 问题：如图，将任意三角形改为任意四边形，且该四 边形的周长为a， 边形的周长为 ，则这枚硬币沿四边形的外侧滚动一 周需转 圈. 1 5
2
a +1 2 r π
6 4 8 7 3
探究三 硬币在多边形上滚动
r
O
5
圈.
O1
A
2πr
B
O2 O2 O2 O2 2 2 2 2
2πr
D
2πr
2πr
C
探究二 硬币在多边形上滚动
问题：如图，将等边三角形改为任意三角形， 问题：如图，将等边三角形改为任意三角形，且该三 角形的周长为a，则这枚硬币沿⊿ABC的外侧滚动一周 角形的周长为 ，则这枚硬币沿⊿ABC的外侧滚动一周 需转 圈. A 4 1
问题：如图， 连接AB 这时这枚半径为r AB， 问题：如图， 连接AB，这时这枚半径为r的硬币沿 ⊿ABC的外侧滚动一周需转 ABC的外侧滚动一周需转
r
O
4圈；
O1 120° 120°
A
2πr
60° ° 60C
2πr
B
探究二 硬币在多边形上滚动
问题：将等边三角形改为正方形， 问题：将等边三角形改为正方形，则这枚硬币沿正方形的 外侧滚动一周需转
学以致用
将4枚半径为1cm的硬币放在桌上，固定其中三枚， 枚半径为1cm的硬币放在桌上，固定其中三枚， 1cm的硬币放在桌上 而另一枚则沿着它们的边缘从⊙O滚动到⊙O′，这时硬 币滚动的路程为 ，转了 圈.
O4
O5
1
O O1
2
O2
3
O3
O′
课堂小结
本节课你学到 了哪些知识？有什 么收获？